5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　极差、方差与标准差 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.本节的重点是理解极差、方差和标准差的意义和作用. 2.本节的难点是会计算样本数据的这些数字特征，并能解答有关实际问题. 1.极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差. 2.方差 (1)定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2=. (2)性质：如果a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为a2s2. 3.标准差 方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示. s=. |微|点|助|解| (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差. 基础落实训练 1.样本数据97，82，91，92，84，73的极差为 (　　) A.15 B.19 C.24 D.28 解析：选C　易得样本数据的极差为97-73=24. 2.样本数据：1，3，5，7的平均数和方差分别为 (　　) A.4，5 B.5，4 C.3，6 D.6，3 解析：选A　由×(1+3+5+7)=4，得平均数为4；s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5，故方差为5. 3.已知a，b，c的平均数与方差均为4，则a2，b2，c2的平均数为 (　　) A.16 B.18 C.20 D.24 解析：选C　由题意得=4， 故a+b+c=12， ==4， 解得=20. 题型(一)　极差、方差、标准差的计算 [例1]　(1)已知某9个数据的平均数为6，方差为5，现又加入一个新数据6，此时这10个数的平均数和方差分别为 (　　) A.6， B.6， C.5， D.5，5 (2)一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为　　　　.  解析：(1)设原9个数据分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9， 现又加入一个新数据6，此时这10个数为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，6， 则这10个数的平均数为 (a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+6)=6，这10个数的方差 s2=[(a1-6)2+(a2-6)2+(a3-6)2+(a4-6)2+(a5-6)2+(a6-6)2+(a7-6)2+(a8-6)2+(a9-6)2+(6-6)2]==. (2)由题意，可得该组数据的众数为2，所以=×2=3，解得x=4，故该组数据的平均数为 ×(1+2+2+4+5+10)=4. 所以该组数据的方差为×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9，即标准差为3. 答案：(1)A　(2)3 |思|维|建|模| 求方差的基本方法 (1)先求平均值，再代入公式 (2)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2. 　　[针对训练] 1.一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为 (　　) A.30 B.6 C.25 D.5 解析：选B　由题意得a=56+7=63，所以这组数据的平均数为=60，方差为=6，故选B. 2.若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的标准差是　　　　.  解析：设这40个数据为xi(i=1，2，…，40)，平均数为.由题意可知=56， 这40个数据的平均数=， 所以这40个数据的方差 所以这40个数据的标准差s===. 答案： 题型(二)　方差的性质 [例2]　(1)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数与方差s2分别为 (　　) A.=4，s2=12 B.=2，s2=12 C.=5，s2=12 D.=5，s2=7 (2)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2.若2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的平均数与方差相等，则2s2-的最大值为　　　　.  解析：(1)根据题意，数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数=2×2+1=5，其方差s2=22×3=12. (2)由题意可得2+4=4s2， 因为s2≥0，所以2+4≥0，解得≥-2. 令y=2s2-=-++2=-+(≥-2)，当=时，y取得最大值. 答案：(1)C　(2) |思|维|建|模| 　　若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则yi=axi+b，i=1，2，…，n，a，b∈R的平均数为a+b，方差为a2s2，标准差为|a|s. 　　[针对训练] 3.有一组样本数据x1，x2，…，x6如下表： x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 6 7 5 7 6 由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y6，其中yi=xi+c(i=1，2，…，6)，c为常数，则数据y1，y2，…，y6的方差为　　　　.  解析：因为样本数据x1，x2，…，x6的平均数为=6，方差为=.所以数据y1，y2，…，y6的方差为×=. 答案： 4.已知数据x1，x2，x3，x4的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，ax4+b(a，b∈R)的方差为12，则a=　　　　.  解析：由题意3a2=12，解得a=±2. 答案：±2 题型(三)　方差、标准差的应用 [例3]　如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次. (1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； (2)请用学过的统计知识对甲、乙两人这次的射击情况进行比较. 解：(1)甲、乙两人的射击成绩统计如下表： 环数 6 7 8 9 10 甲命中次数 0 0 2 2 2 乙命中次数 0 1 0 3 2 (2)=×(8×2+9×2+10×2)=9(环)， =×(7×1+9×3+10×2)=9(环)， =×[(8-9)2×2+(9-9)2×2+(10-9)2×2]==×[(7-9)2+(9-9)2×3+(10-9)2×2]=1， 因为=<， 所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定. |思|维|建|模| 　　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定. 　 　　[针对训练] 5.甲、乙两名跳高运动员进行了8次比赛，他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70　1.65　1.68　1.69　1.72　1.73　1.68　1.67 乙：1.60　1.73　1.72　1.61　1.62　1.71　1.70　1.75 (1)甲、乙两名运动员的平均跳高成绩分别是多少? (2)哪位运动员的成绩更为稳定? (3)教练根据这8次成绩，从甲、乙两名运动员中挑选一人参加省大学生运动会，若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛?若预测跳过1.70 m才能得冠军呢? 解：(1)甲的平均成绩为(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69(m). 乙的平均成绩为(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68(m). (2)=×[(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2]=0.000 6. =×[(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2]=0.003 15. 显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定. (3)由于甲的平均成绩高于乙，成绩稳定，且甲1.65 m 以上的成绩有8次，乙1.65 m以上的成绩有5次，所以若跳过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛. 由于甲1.70 m以上的成绩有3次，乙1.70 m以上的成绩有5次，所以若跳过1.70 m才能获得冠军，应派乙参赛. 学科网（北京）股份有限公司 $