5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

极差、方差与标准差 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.本节的重点是理解极差、方差和标准差的意义和作用. 2.本节的难点是会计算样本数据的这些数字特征，并能解答有关实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.极差 一组数的极差指的是这组数的__________________________. 2.方差 (1)定义：如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2=_____________. (2)性质：如果a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为____. 最大值减去最小值所得的差 a2s2 3.标准差 方差的算术平方根称为标准差.标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示. s=________________________________________. |微|点|助|解| (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大.因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差. 基础落实训练 1.样本数据97，82，91，92，84，73的极差为 (　　) A.15 B.19 C.24 D.28 解析：易得样本数据的极差为97-73=24. √ 2.样本数据：1，3，5，7的平均数和方差分别为 (　　) A.4，5 B.5，4 C.3，6 D.6，3 解析：由×(1+3+5+7)=4，得平均数为4；s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2 +(7-4)2]=5，故方差为5. √ 3.已知a，b，c的平均数与方差均为4，则a2，b2，c2的平均数为 (　　) A.16 B.18 C.20 D.24 解析：由题意得=4， 故a+b+c=12，==4， 解得=20. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　极差、方差、标准差的计算 [例1]　(1)已知某9个数据的平均数为6，方差为5，现又加入一个新数据6，此时这10个数的平均数和方差分别为 (　　) A.6， B.6， C.5， D.5，5 √ 解析：设原9个数据分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9， 现又加入一个新数据6，此时这10个数为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，6， 则这10个数的平均数为(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+6)=6，这10个数的方差s2=[(a1-6)2+(a2-6)2+(a3-6)2+(a4-6)2+(a5-6)2+(a6-6)2+(a7-6)2+ (a8-6)2+(a9-6)2+(6-6)2]==. (2)一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为______.  3 解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以=×2=3，解得x=4，故该组数据的平均数为×(1+2+2+4+5+10)=4. 所以该组数据的方差为×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2] =9，即标准差为3. |思|维|建|模| 求方差的基本方法 (1)先求平均值，再代入公式 (2)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2. 针对训练 1.一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为 (　　) A.30 B.6 C.25 D.5 解析：由题意得a=56+7=63，所以这组数据的平均数为 =60，方差为=6，故选B. √ 2.若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的标准差是_______.  解析：设这40个数据为xi(i=1，2，…，40)，平均数为.由题意可知 =56， 这40个数据的平均数=， 所以这40个数据的方差 所以这40个数据的标准差s===. 题型(二)　方差的性质 [例2]　(1)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数与方差s2分别为(　　) A.=4，s2=12 B.=2，s2=12 C.=5，s2=12 D.=5，s2=7 解析：根据题意，数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数=2×2+1=5，其方差s2=22×3=12. √ (2)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2.若2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的平均数与方差相等，则2s2-的最大值为______.  解析：由题意可得2+4=4s2， 因为s2≥0，所以2+4≥0，解得≥-2. 令y=2s2-=-++2=-+(≥-2)，当=时，y取得最大值. |思|维|建|模| 　　若样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则yi=axi+b，i=1，2，…，n，a，b∈R的平均数为a+b，方差为a2s2，标准差为|a|s. 针对训练 3.有一组样本数据x1，x2，…，x6如下表： 由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y6，其中yi=xi+c(i=1，2，…，6)，c为常数，则数据y1，y2，…，y6的方差为_____.  x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 6 7 5 7 6 解析：因为样本数据x1，x2，…，x6的平均数为=6，方差为=.所以数据y1，y2，…，y6的方差为×=. 4.已知数据x1，x2，x3，x4的方差为3，若数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，ax4+b(a，b∈R)的方差为12，则a=_____.  解析：由题意3a2=12，解得a=±2. ±2 题型(三)　方差、标准差的应用 [例3]　如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次. (1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； 解：甲、乙两人的射击成绩统计如下表： 环数 6 7 8 9 10 甲命中次数 0 0 2 2 2 乙命中次数 0 1 0 3 2 (2)请用学过的统计知识对甲、乙两人这次的射击情况进行比较. 解：=×(8×2+9×2+10×2)=9(环)， =×(7×1+9×3+10×2)=9(环)， =×[(8-9)2×2+(9-9)2×2+(10-9)2×2]==×[(7-9)2+(9-9)2× 3+(10-9)2×2]=1， 因为=<， 所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定. |思|维|建|模| 　　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差).标准差越大，说明数据的离散性越大；标准差越小，说明数据的离散性越小或数据越集中、稳定. 针对训练 5.甲、乙两名跳高运动员进行了8次比赛，他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70　1.65　1.68　1.69　1.72　1.73　1.68　1.67 乙：1.60　1.73　1.72　1.61　1.62　1.71　1.70　1.75 (1)甲、乙两名运动员的平均跳高成绩分别是多少? 解：甲的平均成绩为(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69(m). 乙的平均成绩为(1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68(m). (2)哪位运动员的成绩更为稳定? 解：=×[(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2]=0.000 6. =×[(1.60-1.68)2+(1.73-1.68)2+…+(1.75-1.68)2]=0.003 15. 显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定. (3)教练根据这8次成绩，从甲、乙两名运动员中挑选一人参加省大学生运动会，若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛?若预测跳过1.70 m才能得冠军呢? 解：由于甲的平均成绩高于乙，成绩稳定，且甲1.65 m 以上的成绩有8次，乙1.65 m以上的成绩有5次，所以若跳过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛. 由于甲1.70 m以上的成绩有3次，乙1.70 m以上的成绩有5次，所以若跳过1.70 m才能获得冠军，应派乙参赛. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是 (　　) A.[5，11] B.{5，11} C.{5} D.[6，17] √ 解析：除去参数以外的五个数从小到大排序：5，7，8，9，11，此时极差为11-5=6，所以5≤a≤11. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(多选)已知数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d，由这组数据得到新数据y1，y2，y3，…，y10，其中yi=3xi+2(i=1，2，3，…，10)，则所得新数据的 (　　) A.平均数是3a B.中位数是3b C.方差是9c D.极差是3d √ 解析：y1，y2，y3，…，y10的平均数是3a+2，中位数是3b+2，方差是9c，极差是3d. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45 mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3 mm，方差为0.2 mm2，若再加入1根直径为45.3 mm的钢管，则这11根钢管直径的 (　　) A.平均数变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.方差变大 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设11根钢管的平均直径为 mm，方差为s2 mm2，则= =45.3，故A、B错误；s2==<0.2，故C正确，D错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若一组数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2-5x+4=0的两根，则这组数据的方差是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析：x2-5x+4=0的两根是1，4.当a=1时，a，3，5，7的平均数是4；当a=4时，a，3，5，7的平均数不是1.所以a=1，b=4，则方差为s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，年龄在(-s，+s)内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数，s为标准差，结果精确到1%)(　　) A.14% B.25% C.56% D.67% √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为=×(36+36+37+37+40+43+43+44+44)=40，s2=×(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=，即s=.年龄在(-s，+s)内，即内的人数有5人，所以百分比为≈56%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9 (x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 √ 解析：由这组数据的平均数为10，方差为2可得x+y=20，(x-10)2+(y-10)2 =8.设x=10+t，y=10-t，由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4，所以|x-y|=2|t|=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 (　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差　 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A、C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 (　　) A.55.2，3.6 B.55.2，56.4 C.64.8，63.6 D.64.8，3.6 √ 解析：设这组数据分别为x1，x2，…，xn， 由其平均数是4.8，方差是3.6，得=(x1+x2+…+xn)=4.8， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=3.6. 若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1+60，x2+60，…，xn+60， 则其平均数为=[(x1+60)+(x2+60)+…+(xn+60)]=64.8， 方差为=[(x1+60-64.8)2+(x2+60-64.8)2+…+(xn+60-64.8)2]=3.6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.某中学高三(1)班开展了“铭记历史，缅怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有20人，女生有30人，根据统计分析，男、女生成绩的方差分别为11，6，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于5，若该班成绩的方差为s2，则s2的最大值为 (　　) A.8 B.10 C.12 D.14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设男生、女生成绩的平均数分别为m，n，全班成绩的平均数为，则=m+n. 由题意知|m-n|≤5，s2=[11+]+[6+]= +=8+(m-n)2≤8+×52=14， 即s2的最大值为14. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：   甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派_____参赛最为合适.  解析：由题表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适. 丙 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，则更正后平均分和方差分别是____，____.  70　 50 解析：甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差s2=(++…++502+1002-48×702)=75，更正后方差s'2=(++…++802+702-48×702)=(++…++502+1002 -48×702-1 200)=s2-×1 200=50. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，求新的样本数据的方差. 解：设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9， 则a1+a2+…+a9=72，a1+a2+…+a9+k=90，所以k=18， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲　6　9　7　8　8　5　6 乙　a　3　9　8　9　6　4 经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的. (1)求实数a的值；(3分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：由题意知，甲的平均成绩为=×(6+9+7+8+8+5+6)=7， 乙的平均成绩为=×(a+3+9+8+9+6+4)=(a+39).又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，所以有(a+39)=7，解得a=10.故实数a的值为10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定?(7分) 解：甲的方差为=×[(6-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2] =， 乙的方差为=×[(10-7)2+(3-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(4-7)2]=.由<知，甲的成绩比乙更稳定. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 记zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2.(6分) 解：由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11， s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+ (18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).(4分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：因为2=2==11=>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $