5.1.1 第2课时 分层抽样-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　分层抽样 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法. 3.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 逐点清(一)　分层抽样的概念 [多维理解] 　　一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样). |微|点|助|解| (1)通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征. (2)分层抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大，且互不重叠，否则将失去分层的意义. (3)所有层都按同一抽取比例等可能抽取，以保证每个个体被等可能抽取. (4)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整. [微点练明] 1.简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是 (　　) A.都是从总体中逐个抽取 B.将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 C.抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的 D.将总体分成几层，然后分层按照比例抽取 解析：选C　只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取，故A错误.只有分层抽样是将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取，故B错误.简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同，故C正确.只有分层抽样是将总体分成几层，分层进行抽取，故D错误. 2.①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90~100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为 (　　) A.分层随机抽样，简单随机抽样 B.简单随机抽样，简单随机抽样 C.简单随机抽样，分层随机抽样 D.分层随机抽样，分层随机抽样 解析：选A　①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当. 3.(多选)在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法正确的是 (　　) A.不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是 B.采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C.在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体特征 D.在上述抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 解析：选AC　根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是=，故A正确，B错误；由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，方法二抽到的样本更有代表性，故C正确，D错误. 4.对一个容量为N的总体抽取容量为n(n≥2)的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p1，某个体第一次被抽中的概率为p2；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p3，则 (　　) A.p2<p1<p3 B.p1=p2=p3 C.p2<p1=p3 D.p1，p2，p3没有关系 解析：选B　根据抽样调查的原理可得简单随机抽样、分层随机抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1=p2=p3. 逐点清(二)　分层抽样中的相关计算 [多维理解] 　　分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法 (1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni=Ni×，其中Ni为第i(i=1，2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数. (2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni=n×(i=1，2，…，k). [微点练明] 1.某中学有高中生1 800人，初中生1 200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n= (　　) A.48 B.72 C.60 D.120 解析：选D　由题意可知，分层抽样按照n∶3 000的比例进行抽取，则高中生抽取的人数为1 800×=；初中生抽取的人数为1 200×=.因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，所以-=24，解得n=120，故选D. 2.(多选)某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有 (　　) A.用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人 B.用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 C.西部地区学生小刘被选中的可能性为 D.中部地区学生小张被选中的可能性为 解析：选AC　由题设可得东部地区、中部地区、西部地区的学生的抽样比为12∶8∶5，故抽取100人时东部地区、中部地区、西部地区的学生人数分别为100×，100×，100×，即48，32，20，故A正确.用简单随机抽样的方法从新生中选出人数为25n(n∈N+均合适，故B错误.由分层抽样的性质可得无论哪一个地区的学生，被抽取到的概率均为=，故C正确，D错误. 3.在100个人中，45人为女性，55人为男性，计划抽取20人测量身高.若按性别进行分层随机抽样，则应该抽取　　　　位男性测量身高.  解析：利用分层随机抽样的方法从100个人中抽取了20人测量身高，其中45人为女性，55人为男性，则每个人被抽到的概率为=，设应该抽取n位男性，可得=，解得n=11，即应该抽取11位男性测量身高. 答案：11 4.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表： 产品类别 A B C 产品数量/件 1 300 样本容量 130 由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是　　　　件.  解析：设C产品的数量为x件，样本容量为a，则A产品的数量为3 000-1 300-x=(1 700-x)件，样本容量为10+a， 由分层随机抽样的定义可知==，解得a=80，x=800. 答案：800 逐点清(三)　分层抽样的设计 [典例]　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取? 解：因为职工年龄与这项指标有关，故采用分层抽样. 步骤如下： (1)分层.按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工. (2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为=，则在不到35岁的职工中抽取125×=25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×=56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×=19(人). (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样，组成样本. 　　|思|维|建|模|　分层抽样的步骤 　[针对训练] 　一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法进行抽样?并写出具体过程. 解：采用分层抽样的方法，其原因在于疾病与地理位置和水土均有关系，不同乡镇的发病情况差异明显，具体过程如下： ①将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层； ②按照样本容量的比例， 随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×=60(人)， 300×=40(人)， 300×=100(人)， 300×=40(人)， 300×=60(人)； ③将300人组到一起就得到一个样本. 学科网（北京）股份有限公司 $