5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教B版）

5.1.2 第2课时 极差、方差与标准差 [课时跟踪检测] 1.已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是 (　　) A.[5，11] B.{5，11} C.{5} D.[6，17] 解析：选A　除去参数以外的五个数从小到大排序：5，7，8，9，11，此时极差为11-5=6，所以5≤a≤11. 2.(多选)已知数据x1，x2，x3，…，x10的平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d，由这组数据得到新数据y1，y2，y3，…，y10，其中yi=3xi+2(i=1，2，3，…，10)，则所得新数据的 (　　) A.平均数是3a B.中位数是3b C.方差是9c D.极差是3d 解析：选CD　y1，y2，y3，…，y10的平均数是3a+2，中位数是3b+2，方差是9c，极差是3d. 3.某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45 mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3 mm，方差为0.2 mm2，若再加入1根直径为45.3 mm的钢管，则这11根钢管直径的 (　　) A.平均数变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.方差变大 解析：选C　设11根钢管的平均直径为 mm，方差为s2 mm2，则==45.3，故A、B错误；s2==<0.2，故C正确，D错误. 4.若一组数据a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2-5x+4=0的两根，则这组数据的方差是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　x2-5x+4=0的两根是1，4.当a=1时，a，3，5，7的平均数是4；当a=4时，a，3，5，7的平均数不是1.所以a=1，b=4，则方差为s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5. 5.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用样本估计总体，年龄在(-s，+s)内的人数占公司人数的百分比是(其中是平均数，s为标准差，结果精确到1%) (　　) A.14% B.25% C.56% D.67% 解析：选C　因为=×(36+36+37+37+40+43+43+44+44)=40，s2=×(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=，即s=.年龄在(-s，+s)内，即内的人数有5人，所以百分比为≈56%. 6.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：选A　由这组数据的平均数为10，方差为2可得x+y=20，(x-10)2+(y-10)2=8.设x=10+t，y=10-t，由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4，所以|x-y|=2|t|=4. 7.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则 (　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差　 解析：选BD　取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A、C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确.故选BD. 8.一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 (　　) A.55.2，3.6 B.55.2，56.4 C.64.8，63.6 D.64.8，3.6 解析：选D　设这组数据分别为x1，x2，…，xn， 由其平均数是4.8，方差是3.6，得 =(x1+x2+…+xn)=4.8， 方差=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=3.6. 若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1+60，x2+60，…，xn+60， 则其平均数为=[(x1+60)+(x2+60)+…+(xn+60)]=64.8， 方差为=[(x1+60-64.8)2+(x2+60-64.8)2+…+(xn+60-64.8)2]=3.6. 9.某中学高三(1)班开展了“铭记历史，缅怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有20人，女生有30人，根据统计分析，男、女生成绩的方差分别为11，6，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于5，若该班成绩的方差为s2，则s2的最大值为 (　　) A.8 B.10 C.12 D.14 解析：选D　设男生、女生成绩的平均数分别为m，n，全班成绩的平均数为，则=m+n. 由题意知|m-n|≤5，s2=[11+] +[6+]= + =8+(m-n)2≤8+×52=14， 即s2的最大值为14. 10.(5分)国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派　　　　参赛最为合适.  解析：由题表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适. 答案：丙 11.(5分)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，则更正后平均分和方差分别是　　　　，　　　　.  解析：甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此平均分不发生变化；原方差s2=(++…++502+1002-48×702)=75，更正后方差s'2=(++…++802+702-48×702)= (++…++502+1002-48×702-1 200)=s2-×1 200=50. 答案：70　50 12.(10分)已知一组样本数据共有9个数，其平均数为8，方差为12.将这组样本数据增加一个数据后，所得新的样本数据的平均数为9，求新的样本数据的方差. 解：设增加的数为k，原来的9个数分别为a1，a2，…，a9，则a1+a2+…+a9=72，a1+a2+…+a9+k=90，所以k=18， 13.(10分)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下： 甲　6　9　7　8　8　5　6 乙　a　3　9　8　9　6　4 经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的. (1)求实数a的值；(3分) (2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定?(7分) 解：(1)由题意知，甲的平均成绩为=×(6+9+7+8+8+5+6)=7， 乙的平均成绩为=×(a+3+9+8+9+6+4)=(a+39).又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，所以有(a+39)=7，解得a=10.故实数a的值为10. (2)甲的方差为=×[(6-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=， 乙的方差为=×[(10-7)2+(3-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(4-7)2]=.由<知，甲的成绩比乙更稳定. 14.(10分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10)，试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2.(6分) (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果（，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.（4分） 解：(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11， s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. (2)因为2=2==11=>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 学科网（北京）股份有限公司 $