7.1·复数的概念【10个题型归纳+知识梳理】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【7.1·复数的概念】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的基本概念】 【练方法】 知识梳理 定义：形如的数，其中，为实部，为虚部 分类： 实数： 虚数： 纯虚数：且 核心：，为虚数单位 解题方法 1.识别形式：将复数化为标准形式 2.区分实部与虚部：为实部（含符号），为虚部（仅系数，不含） 3.判断类型：根据是否为0判断实数/虚数/纯虚数 名师点睛 口诀：“复数标准式，实部虚部分清，换先化简” 易错点：虚部是，不是；纯虚数要求且 高考常考基础概念判断，是送分题 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列四个命题，错误的是（   ）经典例题1例题 A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 （25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ）经典例题2例题 A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 （24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【多选题】（23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是（   ）小试牛刀2 A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【多选题】（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ）小试牛刀3 A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【题型2：求复数的实部与虚部】 【练方法】 知识梳理 复数，实部，虚部 若复数为分式形式，需先化简为标准形式 解题方法 1.化简：若为分式，分子分母同乘分母的共轭复数，化为 2.提取：直接提取实部和虚部 3.注意符号：实部、虚部均包含符号 名师点睛 口诀：“分式先化简，实部虚部看常数” 高频场景：等分式型，先化简再求实部虚部 易错点：化简时符号错误，导致实部虚部符号判断失误 （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________．经典例题2例题 （2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（    ）小试牛刀1 A．2 B． C．3 D． （25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（    ）小试牛刀2 A．1 B．i C． D． （25-26高三上·贵州·月考）若复数的虚部是实部的3倍，则实数__________.小试牛刀3 【题型3：复数相等求参数】 【练方法】 知识梳理 复数相等条件：且 核心：实部与实部相等，虚部与虚部相等 解题方法 1.化简：将等式两边复数化为标准形式 2.列方程：令实部相等、虚部相等，得方程组 3.解方程组：求参数等 名师点睛 口诀：“复数相等看实虚，对应相等列方程” 本质是复数问题实数化，是高考求参的核心方法 高频考法：已知，且，求 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________．经典例题1例题 （25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ）经典例题2例题 A．-1 B． C． D．1 （2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有______组.小试牛刀1 （24-25高一下·江苏南通·月考）若 ，则（    ）小试牛刀2 A． B．0 C．1 D．2 （24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________．小试牛刀3 【题型4：由复数的类型求参数】 【练方法】 知识梳理 实数：为实数 虚数：为虚数 纯虚数：为纯虚数且 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.列条件： 实数：令虚部 虚数：令虚部 纯虚数：令实部且虚部 3.解方程/不等式，求参数 名师点睛 口诀：“实数虚部零，纯虚实零虚非零” 易错点：纯虚数易遗漏条件，导致多解 高考常考“纯虚数求参数”，需同时满足两个条件 （25-26高一下·全国·课堂例题）当m为何值时，复数,是：经典例题1例题 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知, ．若，求实数m的取值范围．经典例题2例题 （2026高一下·北京·专题练习）已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________小试牛刀1 （25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________．小试牛刀2 （25-26高二上·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）．小试牛刀3 A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【题型5：复数的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 复平面：以轴为实轴，轴为虚轴，建立平面直角坐标系 复数对应复平面内点，也对应向量 核心：复数与复平面内点/向量一一对应 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.对应：实部为横坐标，虚部为纵坐标 3.写出点坐标或向量坐标 名师点睛 口诀：“复数对应点，实部横虚部纵” 本质是复数几何化，将复数问题转化为平面几何问题 高考常考“复数与点的对应关系”，是基础题 （25-26高三下·四川成都·开学考试）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求：经典例题2例题 (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________．小试牛刀1 （25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________．小试牛刀2 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.小试牛刀3 【题型6：判断复数所在的象限】 【练方法】 知识梳理 复数对应点，象限由符号决定： 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 若或，点在坐标轴上，不属于任何象限 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.定符号：判断实部、虚部的正负 3.判象限：根据符号对应象限 名师点睛 口诀：“正正一，负正二，负负三，正负四” 易错点：化简时符号错误，导致象限判断失误 高考常考“分式型复数化简后判断象限” ．（2026·江西赣州·二模）在复平面内，复数对应的点位于（   ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2026·四川德阳·二模）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·天津河北·期末）在复平面内，对应的点位于第________象限.小试牛刀2 （25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）小试牛刀3 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型7：由复数的象限求参数】 【练方法】 知识梳理 象限条件：根据点所在象限，列不等式组： 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式（含参数） 2.列不等式组：根据象限条件，列关于参数的不等式组 3.解不等式组，求参数范围 名师点睛 口诀：“象限看符号，列不等式组求参” 本质是几何问题代数化，将象限条件转化为代数不等式 高考常考中档题，需注意分母不为0等隐含条件 （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点：经典例题1例题 (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． （25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围．小试牛刀1 (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. （25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数，（），小试牛刀2 (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. （24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值．小试牛刀3 (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【题型8：求复数的模长】 【练方法】 知识梳理 定义：复数的模，表示点到原点的距离 性质：，， 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.代入公式： 名师点睛 口诀：“模长是距离，平方和开根号” 高频技巧：，可用于简化计算 高考常考基础计算，是送分题 （2026·河北石家庄·一模）若复数满足，则（    ）经典例题1例题 A． B．13 C． D．5 （2026·浙江嘉兴·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模．小试牛刀1 （2026·河南开封·模拟预测）已知复数，为虚数单位，为z的共轭复数，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D．不能确定 【题型9：由复数的模长求参数】 【练方法】 知识梳理 模长公式：，若已知，可列方程 核心：将模长条件转化为关于参数的方程 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式（含参数） 2.列方程：，平方得 3.解方程，求参数 4.验证：参数需使复数有意义（如分母不为0） 名师点睛 口诀：“模长平方化，方程求参数” 易错点：平方后可能产生增根，需验证 高考常考中档题，结合分式、二次根式等考查 （25-26高二下·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ）经典例题1例题 A．2 B． C．1 D． （2025·云南·一模）设复数，若且，则满足条件的________．（写一个即可）经典例题2例题 （25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则=___________．小试牛刀1 （24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____．小试牛刀2 （2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.小试牛刀3 【题型10：复数的轨迹与最值问题】 【练方法】 知识梳理 轨迹：复数满足的条件，对应复平面内点的轨迹 ：以为圆心，为半径的圆 ：线段的垂直平分线 最值：转化为平面几何中距离、面积等最值，或用代数函数求最值 解题方法 1.设，将复数条件转化为关于的方程 2.识别轨迹：判断是圆、直线、线段等 3.求最值： 几何法：利用图形性质（如圆上点到定点的距离最值） 代数法：转化为函数求最值 4.验证：结果是否符合复数定义 （2026高三·全国·专题练习）判别下列各式在复平面所表示的图形．经典例题1例题 (1) (2) (3) （25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________．经典例题2例题 （25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________．小试牛刀1 （25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）．小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知复数，则z的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南·月考）已知为实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2025·河北沧州·模拟预测）若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建福州·月考）已知为实数，则（   ） A． B．2 C． D．5 8．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若复数满足，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 10．（25-26高二上·上海·期中）设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（25-26高三上·安徽·月考）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 12．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 13．（2025·广东广州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 二、填空题 14．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第_____象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 15．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）若为纯虚数，则__________. 16．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 三、解答题 17．（24-25高一下·天津武清·月考）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 18．（2025高三·全国·专题练习）实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【7.1·复数的概念】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复数的基本概念】 【练方法】 知识梳理 定义：形如的数，其中，为实部，为虚部 分类： 实数： 虚数： 纯虚数：且 核心：，为虚数单位 解题方法 1.识别形式：将复数化为标准形式 2.区分实部与虚部：为实部（含符号），为虚部（仅系数，不含） 3.判断类型：根据是否为0判断实数/虚数/纯虚数 名师点睛 口诀：“复数标准式，实部虚部分清，换先化简” 易错点：虚部是，不是；纯虚数要求且 高考常考基础概念判断，是送分题 （25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列四个命题，错误的是（   ）经典例题1例题 A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【答案】ABCD 【分析】根据虚数不能比大小可判断A的正误；取可判断B的正误；取可判断C的正误；根据纯虚集、虚数集、实数集三者之间的关系可判断D的正误. 【详解】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误； 对于B，取，则，但，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集， 若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误． 故选：ABCD． （25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ）经典例题2例题 A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. （24-25高一下·上海浦东新·期末）已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）小试牛刀1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 【多选题】（23-24高一下·吉林通化·期中）下列命题错误的是（   ）小试牛刀2 A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 【多选题】（23-24高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ）小试牛刀3 A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 【题型2：求复数的实部与虚部】 【练方法】 知识梳理 复数，实部，虚部 若复数为分式形式，需先化简为标准形式 解题方法 1.化简：若为分式，分子分母同乘分母的共轭复数，化为 2.提取：直接提取实部和虚部 3.注意符号：实部、虚部均包含符号 名师点睛 口诀：“分式先化简，实部虚部看常数” 高频场景：等分式型，先化简再求实部虚部 易错点：化简时符号错误，导致实部虚部符号判断失误 （25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知为虚数单位，则的虚部为（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用求解. 【详解】，虚部为－1 故选：A. （25-26高一下·全国·课堂例题）以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： （2026·山东·一模）复数的共轭复数的虚部是（    ）小试牛刀1 A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以复数的虚部为. 故选：C （25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（    ）小试牛刀2 A．1 B．i C． D． 【答案】A 【分析】本题考查虚数的概念及其运算，直接求解即可. 【详解】因为，所以的虚部为1. 故选：A （25-26高三上·贵州·月考）若复数的虚部是实部的3倍，则实数__________.小试牛刀3 【答案】/ 【分析】根据实部和虚部的关系列方程，化简求得的值. 【详解】因为的虚部是实部的3倍，所以，解得. 故答案为： 【题型3：复数相等求参数】 【练方法】 知识梳理 复数相等条件：且 核心：实部与实部相等，虚部与虚部相等 解题方法 1.化简：将等式两边复数化为标准形式 2.列方程：令实部相等、虚部相等，得方程组 3.解方程组：求参数等 名师点睛 口诀：“复数相等看实虚，对应相等列方程” 本质是复数问题实数化，是高考求参的核心方法 高频考法：已知，且，求 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则实数________，________．经典例题1例题 【答案】 2 【分析】根据复数相等的定义，列出方程组，即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得 故答案为：；2 （25-26高三上·河南·月考）设为虚数单位，若，则（    ）经典例题2例题 A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可. 【详解】由题得解得所以. 故选：. （2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有______组.小试牛刀1 【答案】四 【分析】分别令，可得答案. 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. （24-25高一下·江苏南通·月考）若 ，则（    ）小试牛刀2 A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A （24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________．小试牛刀3 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 【题型4：由复数的类型求参数】 【练方法】 知识梳理 实数：为实数 虚数：为虚数 纯虚数：为纯虚数且 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.列条件： 实数：令虚部 虚数：令虚部 纯虚数：令实部且虚部 3.解方程/不等式，求参数 名师点睛 口诀：“实数虚部零，纯虚实零虚非零” 易错点：纯虚数易遗漏条件，导致多解 高考常考“纯虚数求参数”，需同时满足两个条件 （25-26高一下·全国·课堂例题）当m为何值时，复数,是：经典例题1例题 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据实数的定义进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）， 当m满足，即或时，z为实数． （2）当m满足，即且时，z为虚数． （3）当m满足即时，z为纯虚数． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知, ．若，求实数m的取值范围．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据实数的性质，结合复数的性质进行求解即可. 【详解】，，均为实数，且的实部小于的实部， ，解得， ，故实数m的取值范围是． （2026高一下·北京·专题练习）已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________小试牛刀1 【答案】 【分析】根据复数，可知其实部为0，虚部不为0，由此可求解. 【详解】复数是纯虚数， 故，解得，故. （25-26高一下·全国·课后作业）复数是实数，则实数的值为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】由复数的概念可得，若复数是实数，则其虚部为0，由此即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． （25-26高二上·江苏扬州·期末）已知复数是纯虚数，则实数的值为（   ）．小试牛刀3 A．0或2 B．0 C．1或2 D．1 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列出等式，然后计算即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 【题型5：复数的坐标表示】 【练方法】 知识梳理 复平面：以轴为实轴，轴为虚轴，建立平面直角坐标系 复数对应复平面内点，也对应向量 核心：复数与复平面内点/向量一一对应 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.对应：实部为横坐标，虚部为纵坐标 3.写出点坐标或向量坐标 名师点睛 口诀：“复数对应点，实部横虚部纵” 本质是复数几何化，将复数问题转化为平面几何问题 高考常考“复数与点的对应关系”，是基础题 （25-26高三下·四川成都·开学考试）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数几何意义得，再利用共轭复数定义即可得解. 【详解】根据题意，则. 故选：D. （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求：经典例题2例题 (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （3）由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数. 【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合相等向量的意义求解. 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： （25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，已知复数，，，它们所对应的点分别是A，B，C．若，则的值是_____________．小试牛刀2 【答案】5 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和复数对应的向量进行计算即可. 【详解】由已知，得，，， 所以． 由，可得，解得， 故． 故答案为：5 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知复数，，，它们在复平面上的对应点分别是正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.小试牛刀3 【答案】 【详解】设第四个顶点对应的复数为，如图. 则， . ， ，解得，故点对应的复数为. 【题型6：判断复数所在的象限】 【练方法】 知识梳理 复数对应点，象限由符号决定： 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 若或，点在坐标轴上，不属于任何象限 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.定符号：判断实部、虚部的正负 3.判象限：根据符号对应象限 名师点睛 口诀：“正正一，负正二，负负三，正负四” 易错点：化简时符号错误，导致象限判断失误 高考常考“分式型复数化简后判断象限” ．（2026·江西赣州·二模）在复平面内，复数对应的点位于（   ）经典例题1例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数对应复平面内点，位于第二象限. （2026·四川德阳·二模）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由整理可得， 可知复数在复平面内对应的点为， 因为，则，， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. （2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，为等边三角形，点为坐标原点，点对应的复数为，点在第二象限，则点对应的复数的虚部为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点的坐标，最后根据复数的几何意义得到点对应的复数，进而求出其虚部. 【详解】已知点对应的复数为，根据复数的几何意义，所以点的坐标为. 所以向量.又因为为等边三角形， 所以，且. 又因为，所以，即. 设，则. 又因为 而，联立方程组可得 或. 由题可知点在第二象限，所以即点的坐标为. 即点对应的复数为.所以虚部为. 故选：C. （25-26高三上·天津河北·期末）在复平面内，对应的点位于第________象限.小试牛刀2 【答案】四 【分析】根据复数的乘法运算，求出复数的实部和虚部，再根据复数与复平面内点的对应关系，判断结果. 【详解】由题意得，复数在复平面内的对应点的坐标为，该点在第四象限. 故答案为：四. （25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）小试牛刀3 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的乘法求出，进而确定对应点的位置. 【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 【题型7：由复数的象限求参数】 【练方法】 知识梳理 象限条件：根据点所在象限，列不等式组： 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式（含参数） 2.列不等式组：根据象限条件，列关于参数的不等式组 3.解不等式组，求参数范围 名师点睛 口诀：“象限看符号，列不等式组求参” 本质是几何问题代数化，将象限条件转化为代数不等式 高考常考中档题，需注意分母不为0等隐含条件 （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点：经典例题1例题 (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． （25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在复平面内，复数对应的点恰好位于第四象限，则的取值范围是（        ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知复数， 其对应点的坐标为，因此， 解得，即的取值范围是. （25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，若复数对应的点，满足下列条件时，分别求实数m的取值范围．小试牛刀1 (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上. 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由实部为0，列式即可解出答案； （2）由实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）由实部、虚部异号，列出不等式求解即可； （4）由实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为． 由题意得， 解得或． （2）由题意，， ． （3）由题意，， 或． （4）由已知得，故． （25-26高二上·广西钦州·期中）已知复数，（），小试牛刀2 (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. （24-25高一下·江苏南京·期中）已知复数，根据下列条件求实数的值．小试牛刀3 (1)是实数； (2)是纯虚数； (3)在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】(1)1或2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【详解】（1）由题意 ， 若是实数，则，解得或 （2）若是纯虚数，则，解得； （3）若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 【题型8：求复数的模长】 【练方法】 知识梳理 定义：复数的模，表示点到原点的距离 性质：，， 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式 2.代入公式： 名师点睛 口诀：“模长是距离，平方和开根号” 高频技巧：，可用于简化计算 高考常考基础计算，是送分题 （2026·河北石家庄·一模）若复数满足，则（    ）经典例题1例题 A． B．13 C． D．5 【答案】A 【详解】由得 （2026·浙江嘉兴·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，则，， 所以. （25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内画出复数，，对应的向量，，，并求出各复数的模．小试牛刀1 【答案】作图见解析，，，. 【分析】根据复数的几何表示方法和复数的模的计算公式，结合图象，即可求解. 【详解】三个复数对应的向量，，，如图所示． ， ， ． （2026·河南开封·模拟预测）已知复数，为虚数单位，为z的共轭复数，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. （25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】，． ，． 故选：B 【题型9：由复数的模长求参数】 【练方法】 知识梳理 模长公式：，若已知，可列方程 核心：将模长条件转化为关于参数的方程 解题方法 1.化简：将复数化为标准形式（含参数） 2.列方程：，平方得 3.解方程，求参数 4.验证：参数需使复数有意义（如分母不为0） 名师点睛 口诀：“模长平方化，方程求参数” 易错点：平方后可能产生增根，需验证 高考常考中档题，结合分式、二次根式等考查 （25-26高二下·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ）经典例题1例题 A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. （2025·云南·一模）设复数，若且，则满足条件的________．（写一个即可）经典例题2例题 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据模长公式计算求解. 【详解】复数，取，满足且，符合题意． 故答案为：（答案不唯一） （25-26高三上·上海嘉定·期中）已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则=___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用待定系数法，设，根据题意列出相关方程即可求出答案. 【详解】设， 由题意得，且为纯虚数，则，解得， 代入，解得， 又因为复数在复平面上所对应的点位于第二象限，则，则， 所以. 故答案为：. （24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则_____．小试牛刀2 【答案】或 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 （2024·吉林·模拟预测）复数满足，则________.小试牛刀3 【答案】 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 【题型10：复数的轨迹与最值问题】 【练方法】 知识梳理 轨迹：复数满足的条件，对应复平面内点的轨迹 ：以为圆心，为半径的圆 ：线段的垂直平分线 最值：转化为平面几何中距离、面积等最值，或用代数函数求最值 解题方法 1.设，将复数条件转化为关于的方程 2.识别轨迹：判断是圆、直线、线段等 3.求最值： 几何法：利用图形性质（如圆上点到定点的距离最值） 代数法：转化为函数求最值 4.验证：结果是否符合复数定义 （2026高三·全国·专题练习）判别下列各式在复平面所表示的图形．经典例题1例题 (1) (2) (3) 【答案】(1)表示以原点为圆心，半径为1的圆周． (2)表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. (3)动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． 【分析】（1）设，，结合模的定义列方程，根据方程的几何意义求解即可. （2）设，，求，列不等式，结合不等式的几何意义求解即可. （3）设，，由条件结合模的定义列方程，结合两点距离公式确定轨迹即可. 【详解】（1）设，，所以，则，即， 所以在复平面表示以原点为圆心，半径为1的圆周． （2）设，，则，所以， 则，即， 所以在复平面表示以为圆心，半径为和的两个圆之间的圆环，包括半径为的圆周但不包括半径为的圆周. （3）设，，则，， 所以，， 则，即， 所以在复平面表示动点到和的距离相等，表示线段的垂直平分线． （25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________．经典例题2例题 【答案】 6 4 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 （25-26高三上·江苏常州·期末）已知复数的模长，则的取值范围为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. （25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则|z|的最大值为（   ）．小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D    （25-26高二上·浙江·期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的定义，代入计算即可求出在复平面内对应点的轨迹方程. 【详解】, , 即， 所以的轨迹方程为. 故选：D 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知复数，则z的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据共轭复数的定义可得. 【详解】根据共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数. 所以z的共轭复数是. 故选：B. 2．（2025高三上·江苏·学业考试）若复数是实数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 3．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知复数（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】化简复数后，写出对应点坐标即可得到答案． 【详解】复数，所以对应的点为,则在复平面内复数对应的点位于第二象限； 故选：B 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 5．（25-26高三上·河南·月考）已知为实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数的分类，结合复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】因为为实数， 所以，解得，则， 故选：B 6．（2025·河北沧州·模拟预测）若复数是虚数单位为纯虚数，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由纯虚数的定义求得，进而写出的共轭复数，即可得. 【详解】因为为纯虚数，所以，则， 所以，其共轭复数为. 故选：C 7．（25-26高三上·福建福州·月考）已知为实数，则（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意结合复数的分类可得，代入结合复数的模长公式运算求解. 【详解】因为为实数，则，即， 所以. 故选：C. 8．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）若复数满足，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据复数模长计算公式即可得到答案. 【详解】复数，所以. 故选：D. 9．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数. 【详解】因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部为3. 故选：D. 10．（25-26高二上·上海·期中）设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念求出命题“”的等价命题，再由复数的概念，结合充要条件定义即可判断. 【详解】因，则， 而“为实数”即，故“”是“z为实数”的充要条件. 故选：C. 11．（25-26高三上·安徽·月考）若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数为纯虚数得出相应的等式，解出即可. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，即， 所以， 故选：C. 12．（25-26高三上·山东潍坊·月考）已知复数为纯虚数，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】由题意，知，因为复数为纯虚数，所以，所以， 故选：C 13．（2025·广东广州·一模）“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：B 二、填空题 14．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于第_____象限.（填“一、二、三、四”中的一个） 【答案】一 【分析】先设，再根据复数相等列方程，解得，最后根据复数几何意义得到答案. 【详解】设，故，则 解得，，故在复平面内，复数所对应的点为，位于第一象限. 故答案为：一. 15．（2025高二上·山东枣庄·学业考试）若为纯虚数，则__________. 【答案】 【分析】利用虚数的概念计算参数，再计算模长即可. 【详解】由题意可知，即， 则. 故答案为： 16．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 三、解答题 17．（24-25高一下·天津武清·月考）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若是纯虚数，求的值； (2)在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【详解】（1）由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； （2）由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 18．（2025高三·全国·专题练习）实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）的实部为，虚部为． （1）复数是实数的充要条件是：， 所以当时复数为实数． （2）复数是虚数的充要条件是：且， 所以当且时复数为虚数 （3）复数是纯虚数的充要条件是：， 所以当时复数为纯虚数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $