利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 平行线的判定与性质综合应用 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，点在的延长线上，，交于点，且，，，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，若，，则________． 例5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知，，则的度数是 ________ ． 例6．（25-26七年级上·四川乐山·月考）已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 变式1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如题图所示，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·山西·月考）如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的一点P．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级下·四川自贡·月考）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 变式4．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 变式5．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 变式6．（25-26七年级上·海南海口·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点分别落在点和点的位置上，与的交点为，若，则为 ______ 度． 考点二 平行线的判定与性质综合应用 例1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）． (1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点． （i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系； （ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等． 例2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 例3．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 例4．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 变式1．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图1，在中，已知，，是的平分线，交延长线于点， (1)求证：； (2)如图2，过点作于点，交的延长线于点，试探究与之间的关系； (3)在（2）的条件下，若，，求的度数． 变式2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，平分． (1)如图1，判断和的位置关系，并说明理由； (2)点在射线上，点在射线上，，连接． ①如图2，若点在点的右侧，，求的度数； ②如图3，若点在点的左侧，，求的度数．（用含的代数式表示） 变式3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，． (1)如图1，点在直线与直线之间，证明：； (2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求． (3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 变式4．（24-25七年级下·广西南宁·月考）综合与实践 已知，E，F分别是，上的两点．点G在，之间．探究、与之间的数量关系． (1)当点G在如图1所示位置时，，，则____________． (2)当点G在如图2所示位置时，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，且与的延长线交于点M，作平分，平分相交于点N，当时，若，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 平行线的判定与性质综合应用 考点一 利用平行线的性质求角度 例1.(25-26七年级上山西长治期末)如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要 作用是动力传输，如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，己知AB∥CD,CG∥EF,∠BAG=I50°， ∠AGC=80°，则∠DEF的度数为() D G -B A 图1 图2 A.150° B.155° C.130° D.80° 【答案】C 【详解】解：延长EF交直线AB于点M, D CG∥EF,∠AGC=80°， M A B 图2 :LAFE=LAGC=80°， ∠AFM=180°-∠AFE=100°， :∠BAG=150°， ∠AMF=150°-100°=50°， :AB CD, LDEF+LAMF=I80°， ∠DEF=180°-50°=130°， 故选：C 例2.(25-26七年级上·福建泉州期末)如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射， 折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=70°，L2=38°，则∠DBC的度数为() 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 A 空气 M 水 E A.21° B.32° C.25° D.46° 【答案】B 【详解】解：MN‖EF,∠1=70°， .∠MBC=∠1=70°， LMBD=∠2=38°， ∠DBC=∠MBC-∠MBD=32°， 故选：B. 例3.(24-25七年级下·湖北黄石·月考)如图，点E在CA的延长线上，DE,AB交于点F,且∠BDE=∠AEF, ∠B=∠C,∠EFA=70°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP,FM为∠EFP的平分 线，则∠QFM的度数是() A.20 B.30° C.35 D.45° 【答案】C 【详解】解：∠BDE=AEF, ∴CE∥BD, ∠B=∠EAF, ∠B=∠C,∠EFA=70°， AB∥CD, ∴∠AFQ=∠QFP, ∠FQP=∠QFP, ∠AFQ=∠QFP, ∠QFP=∠AFP, 2 2 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 ~FM为∠EFP的平分线， ∠MFP=i∠EFP-∠EA+∠AP=EA+5∠aP=)∠EFA+∠OFP. 1 0FM=∠MFP-∠QFn=5∠EFA=x70=35, 即∠QFM的度数是35°. 例4.(25-26八年级上宁夏银川期末)如图，若∠1=∠D=37°，∠C=53°，则∠B= A 【答案】 127 【详解】解：：∠1=∠D=37°， .ABII CD, ∠B+∠C=180°， :∠C=53°， :∠B=180°-53°=127°. 例5.(25-26七年级上江苏苏州月考)如图，已知FC∥AB∥DE,∠a:∠D:LB=2:3:4,则∠a的度数是 -E 【答案】72°72度 【详解】解：如图， 21 -H A B D ∠a:∠D:∠B=2:3:4, 设∠a=2x,则∠D=3x,∠B=4x, FC∥AB∥DE, ∴∠B=∠BCH=4x,∠D=∠FCD=3x, ∴∠I=∠BCH-∠BCD=2x,∠2=∠FCD-∠BCD=x· 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 ∠1+∠BCD+∠2=180°， .2x+2x+x=180°， x=36°， ∠a=2x=72°. 例6.(25-26七年级上四川乐山月考)已知AB∥CD,点M,N分别是AB,CD上两点，点G在AB,CD之间， 连接MG,NG.点E是AB上方一点，连接EM,EN,若GM的延长线MF平分∠AME,NE平分∠CNG, 2∠MEN+∠MGN=105°，则∠AME= E B D 【答案】50°50度 【详解】解：如图，过G点作GK∥AB,过E点作ET∥AB M 3 B K---- ->G 6 AB∥CD, .ET I ABII GK II CD, 设∠1=x,∠2=y,则∠MGN=x+y,∠3=∠1=x,∠4=∠2=y. ~NE平分∠CNG, 5=∠6=3<CvG-180-∠4到-180-=90-. ÷∠END=∠4+∠5=y+90°-y >y=9O±5y, ×∠7=∠3， ∠7=x, MF平分∠AME, ∠AME=2∠7=2x, 4 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 ~ET∥AB, LTEM=∠AME=2x. ET CD “∠7EN=∠6=90-7y ∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°- 2y-2x, ~2∠MEN+∠MGN=105°， 290--2小x+10s. 解得x=25°， ∴.∠AME=2x=50°. 变式1.(25-26八年级上广东梅州期末)如题图所示，已知∠1=∠2，LABC=120°，则∠C的度数为() A B 了2 D C A.70° B.50° C.55° D.60° 【答案】D 【详解】解：∠1=∠2， AB∥CD, ∠C=180°-∠ABC=180°-120°=60°， 故选：D. 变式2.(25-26七年级上山西·月考)如图，平行于主光轴MN的光线AB,CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE ,DF的反向延长线交于主光轴MN上的一点P.若∠EPF=70°，∠CDF=150°，则∠ABP的度数是() E B 4---- ------W D F A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【详解】解：LCDF=150°， ∠CDP=180°-150°=30°， 5 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 MN∥CD, ∠NPF=∠CDP=30°， LEPN=LEPF-∠NPF=70°-30°=40°， MN∥AB, ∠ABP=∠EPN=40°. 故选：C. 变式3.(24-25七年级下·四川自贡·月考)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分∠AFG,过点 F作FG⊥EH于点G,且∠AFG=2∠D,则下列结论：①∠D=45°；②2LD+∠EHC=90°；③FD⊥FG;④FH 平分∠GFD.其中正确结论的是() D H A.①② B.③④ C.②③ D.①②③④ 【答案】C 【详解】解：延长FG交CH于I, F B AB∥CD, G C D H .∠BFD=∠D,∠AFG=∠FIH, :FD∥EH, ·LEHC=LD, :FE平分∠AFG,∠AFG=2LD, .∠FIH=2∠AFE=2∠EHC, :FG⊥EH, :LFIH+∠EHC=3LEHC=90°， .∠EHC=30°， ∠D=30°， .2LD+∠EHC=2×30°+30°=90°， ∠D=30°，故①错误；②正确； 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 :FD∥EH,FG⊥EH, FD⊥GF,故③正确： :FE平分∠AFG, LAF1=30°x2=60°， :∠BFD=∠D=30°， ∠GFD=90°， LGFH+∠HFD=90°，故④不一定正确， :其中正确结论的是②③， 故选：C 变式4.(25-26八年级上·四川成都期末)如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反 射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角"，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律，若入射角 的度数为50°，反射光线DC与镜面OB平行，则两镜面的夹角∠AOB的度数为°. LLLLLLLLLL D B 【答案】40 【详解】解：如下图所示， :DK⊥0A,∠i=50°， ∠i=∠r=50°，∠ADK=∠1+∠r=90°， .∠1=40°， CDOB, :∠A0B=∠1=40°， 故答案为：40， 、K B E 变式5.(25-26八年级上·江西宜春期末)为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非 > 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：己 知AB∥CD,∠BAE=75°，∠DCE=120°，则∠E= D 图1 图2 【答案】45°/45度 【详解】解：过点E作EF∥AB, :∠BAE+LAEF=180°， :LBAE=75°， .∠AEF=180°-∠BAE=105°， :AB∥CD, EF∥CD, :∠DCE+∠CEF=180°， ∠DCE=120°， ∠CEF=180°-∠DCE=60°， :∠AEC=∠AEF-∠CEF=105°-60°=45°. A C B D 图2 变式6.(25-26七年级上·海南海口期末)如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D和 点C的位置上，ED'与BC的交点为G,若LEFG=56°，则∠I为 度 A E D B D' C 6 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 【答案】68 【详解】解：由题意可得，∠FED=∠D'EF, ·∠DED'=2∠DEF, ~AD∥BC, ∠DEF=LEFG=56°， ∠DED'=2∠DEF=2×56°=112°， ∠1=180°-112°=68°， 则∠1的度数为68°， 故答案为：68. 9 利用平行线的性质求角度、平行线的判定与性质综合应用专项训练 考点二 平行线的判定与性质综合应用 例1.(25-26七年级上·福建泉州期末)直线MN∥PQ,点A在直线P9上，点B在直线MN、PQ之间， ∠BAP=45°，点C在直线MN上，记∠MCB=a(0°<a<22.5°). M CN A D O 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠ABC的度数；（用含a的代数式表示） 2过点B作∠ABD交直线P四于点D(D在A的右侧)使得∠ABD=!∠ABC.点E为平面内一点且满足 3 ∠MCE=∠BCE,直线CE与直线BD交于点F, (i)如图2，若点E在直线MN上方，求∠BFC与LMCB的数量关系； ()如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点，且满足 ∠GFB+LHCF=150°，连接GH,试说明三角形BCF,BFG,BGH,BCH中必有某两个三角形的面积相等 【答案】(1)45°+a ②G①D∠BFC=30°Z∠MCB(i)见解场 【详解】(1)解：过点B作BK∥MN, M C N B ---K A Q BK∥MN, ZKBC ZMCB =a, MN∥PQ, ∴BK II PO, ∠KBA=∠PAB=45°， ∠ABC=∠KBA+∠KBC=45°+a; (2)(1)法：：∠ABD=}∠ABC且LABC=45+a, Γ3 4an-4c=15+a,4cD-号48c-0+ , 过点F作FT∥MN,则FT∥PQ, 10