第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：相交线与平行线+实数全部内容）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线+实数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 2．（2026·江苏徐州·一模）的结果值介于（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 3．（24-25七年级上·重庆江北·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南三门峡·一模）如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 9．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．（2025八年级上·上海·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·陕西西安·一模）已知，且m是整数，则m的值为________． 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 13．（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，直线与相交于点，，若，则的度数是______． 14．（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 15．（25-26七年级下·上海·月考）定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示： 明文及对应数字 （） （） （） （） （） … … 密钥及对应数字 （） （） （） （） （） （） … 密文=明文+密钥 （） （） （） （） （8） … … 如果明文为，那么密文应该是______． 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为________． 三、解答题（7小题，共72分） 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，，是长方形的外角，求． 19．（2025七年级下·浙江宁波·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，长方形的四个顶点都是格点． (1)画出将长方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的长方形，其中点A，B，C，D的对应点分别为． (2)求出上述两个长方形未重叠部分的面积和． 20．（24-25七年级下·吉林·月考）阅读下面的两则材料，解答问题： 材料一：（）计算下列各式：①，则； ②，则． 材料二：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)通过计算，我们可以发现___________． 从上面的结果可以得到： ①化简：___________； ②化简的结果是___________． (2)已知，其中是整数，且，求的值． 21．（25-26七年级上·河南南阳·期末）潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，请将证明过程补充完整（填理由或数学式）． 证明：（已知） （_______________） （已知） （_______________） _____， _______________，（平角的定义） ， _____，（等量代换） _______________．（_______________） 22．（25-26七年级下·福建·期末）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 23．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相交线与平行线+实数全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）下列命题中正确的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 C．两点之间，直线最短 D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条 【答案】B 【分析】此题考查真假命题的判断，根据相关知识逐项进行判断即可． A选项同位角相等需两直线平行才成立，否则不一定；C选项应为两点之间线段最短；D选项过一点作已知直线的平行线，需分点在直线上或外，不一定有且只有一条；B选项根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确． 【详解】解：A选项：只有当两直线平行时，同位角才相等，否则不一定，∴ A错误． ∵ 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，∴ B选项正确． C选项：两点之间，线段最短，直线是无限长的，∴ C错误． D选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；但过直线上一点，不存在与已知直线平行的直线（除本身），∴ D错误． 故选：B． 2．（2026·江苏徐州·一模）的结果值介于（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】夹逼法进行估算即可. 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ 即； ∴的结果值介于5和6之间. 3．（24-25七年级上·重庆江北·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的和差关系求出 的度数，再利用对顶角相等即可求出 的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 4．（2026·河南三门峡·一模）如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】标记，根据题意得到，根据平行的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：标记，如解图所示；易得， ， , , 故选C． 5．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 6．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 7．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·月考）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，先求出圆周长，再确定点B的位置表示的实数即可． 【详解】解：圆滚动一周，点A到达了点B的位置，则即为圆周长π， ∴点B的位置表示的实数为， 故选：C． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：B． 9．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 10．（2025八年级上·上海·专题练习）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键． 根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故选项B正确，不符合题意． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的x的整数值为2、3、4，它们的和为，故选项C错误，符合题意． 设第3次运算的数为x，则， ∴，即； 第2次运算的数为y，则， ∴， ∵， ∴取，则； 第1次运算的数为a，则， ∴，取，则， ∴a的最大值为255，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（2026·陕西西安·一模）已知，且m是整数，则m的值为________． 【答案】3 【分析】先估算无理数的取值范围，再结合已知不等式和为整数的条件，即可确定的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，即 ． ∵ ，且是整数， ∴ 满足条件的整数为． 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 13．（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，直线与相交于点，，若，则的度数是______． 【答案】/46度 【分析】本题考查了垂线的定义，角的和差，由可得，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推． （1）当时，______； （2）当时，______． 【答案】 2 / 【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可； （2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和． 【详解】（1）当时，， ； （2）当时， ， ， ， 因此结果每3个数为一个循环周期， 一个周期内的和为， ， ． 15．（25-26七年级下·上海·月考）定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示： 明文及对应数字 （） （） （） （） （） … … 密钥及对应数字 （） （） （） （） （） （） … 密文=明文+密钥 （） （） （） （） （8） … … 如果明文为，那么密文应该是______． 【答案】 【分析】根据给定的加密规则，先将明文的字母转换为对应数字，再依次与密钥对应位置的数字相加，计算和对的余数，最后将余数转换为对应字母即可得到密文. 【详解】根据规则可得： 明文对应数字依次为，，， 密钥对应数字依次为，，， 逐个计算密文对应余数： 第一个字母：，余数对应字母为， 第二个字母：，余数对应字母为， 第三个字母：，余数对应字母为， 故密文为：. 16．（24-25七年级上·吉林长春·期末）图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定与性质定理逐项分析判断即可． 【详解】解：， ， ， ， 故结论①正确； 当时， ， ， 又， ， ， 故结论②正确； 当时， ， ， 与不平行， 故结论③错误； 当时， 则， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共72分） 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）两边同时除以2，进而得出答案； （2）先移项，进而得出答案； （3）先移项，两边同时除以9，进而得出答案； （4）先移项，两边同时除以4，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， 解得或． 18．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，，是长方形的外角，求． 【答案】 【分析】本题考查长方形的内角为，邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键． 根据长方形的内角为，求出，，，的度数，相加即可求解． 【详解】解：长方形， ， 是长方形的外角，即和互为邻补角， ， ， 同理可得：，，， ． 19．（2025七年级下·浙江宁波·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，长方形的四个顶点都是格点． (1)画出将长方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的长方形，其中点A，B，C，D的对应点分别为． (2)求出上述两个长方形未重叠部分的面积和． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题考查了平移作图，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求作图． （1）根据平移的性质作图即可； （2）由平移可知，两个未重叠部分的面积相等，由长方形的面积减去重叠部分长方形的面积再乘2即可． 【详解】（1）解：长方形如图所示， （2）解：两个长方形未重叠部分的面积和． 20．（24-25七年级下·吉林·月考）阅读下面的两则材料，解答问题： 材料一：（）计算下列各式：①，则； ②，则． 材料二：，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)通过计算，我们可以发现___________． 从上面的结果可以得到： ①化简：___________； ②化简的结果是___________． (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（）先通过材料中的例子归纳出二次根式乘法公式，再利用这个公式对和进行分解化简； （）先确定的范围，从而分离出的整数部分和小数部分，再根据是整数、的条件求出和的值，最后代入计算结果． 【详解】（1）解：根据材料一可得：； ①； ②； （2）解：∵，且， ∴， ∴，即， ∵已知，其中是整数，且， ∴，且， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故的值为． 21．（25-26七年级上·河南南阳·期末）潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，请将证明过程补充完整（填理由或数学式）． 证明：（已知） （_______________） （已知） （_______________） _____， _______________，（平角的定义） ， _____，（等量代换） _______________．（_______________） 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角相等）和判定定理（内错角相等，两直线平行），并结合等量代换进行推理是解题的关键． 先利用平行线的性质得出内错角相等，结合已知的反射角等于入射角，通过等量代换得到四个角相等；再依据平角的定义表示出和，通过等量代换证明这两个角相等，最后利用内错角相等判定两直线平行，从而完成证明并补全各空． 【详解】证明：∵（已知）， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵，（已知）， ∴，（等量代换）． ∵， ，（平角的定义）． ∴，， ∴，（等量代换）． ∴，（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 22．（25-26七年级下·福建·期末）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 【答案】(1)方程的一个正根为 (2)见解析 【分析】此题考查了算术平方根和无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的应用是解题的关键． （1）根据题目中的方法进行解答即可； （2）求出，得到． 省略后，被开方数N的误差为．因为，所以，即．N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小，所以．即可得到结论． 【详解】（1）解：因为方程可化为， 所以方程的正根可表示为． ①估计1530的整数部分 估计1530为． 因为，所以估计为3． 将代入，估计即为630． 因为， 所以估计为9． ②估计1530的小数部分 将，，代入中， 所以估计为． 所以估计为． 所以方程的一个正根为． （2）因为N的算术平方根整数部分和小数部分分别为，， 所以．所以． 省略后，被开方数N的误差为． 因为，所以，即． N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小， 所以． 所以． 所以估计为是合理的． 23．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 学科网（北京）股份有限公司 $