组合数与组合的应用6种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

组合数与组合的应用6种高频考点专项训练 组合数与组合的应用6种高频考点专项训练 考点目录 组合数公式和性质 实际问题中的组合计数问题 分组分配问题 隔板法 代数中的组合计数问题 几何组合计数问题 考点一 组合数公式和性质 例1．（25-26高二下·上海·月考）设为正整数，若，则_____． 【答案】或 【详解】因为，则或， 解得或，又，得到，经检验，或均合题意， 所以或. 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知，则___________． 【答案】5 【详解】由组合数的性质有，又， 所以，解得 例3．（25-26高二上·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 例4．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【详解】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 变式1．（24-25高三下·上海浦东新·月考）若，则正整数的值为_____. 【答案】5或7 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或， 解得或. 故答案为：5或7. 变式2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，则_________．（用数字作答） 【答案】495 【详解】由可得， 故. 故答案为：495. 变式3．（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 变式4．（24-25高二下·山东济南·月考）（1）求的值； （2）设，求证：； 【答案】（1）0 （2）证明见解析 【详解】（1）. （2）由 ，其中且， 所以有 ， 再由二项式性质可知，来对上式进行两两化简可得： ， 所以原等式得证； 考点二 实际问题中的组合计数问题 例1．（2026·广东江门·一模）某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（    ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 【答案】B 【详解】先从 5 种课外书中选 2 种给甲有种，再从剩下的3 种书中选 2 种给乙有种， 根据分步乘法计数原理，则两人选的课外书没有相同种类的选法有种. 例2．（25-26高三下·安徽·月考）甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有（    ） A．60种 B．70种 C．80种 D．100种 【答案】B 【详解】根据题意，他们选的景点完全相同的选法有种， 恰有1个景点相同的选法有种， 故总的选法有种. 例3．（2026·湖北恩施·二模）将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________． 【答案】29 【详解】根据题意，两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点， 即禁止斜对角相邻，可以上下左右相邻（共用两个方格顶点）或不相邻（无公共顶点）， 可以把的方格分为两类， 小球必不可能在中间方格，否则一定会有斜对角相邻的情况， 将四个角的方格设成类方格，以保证类在除去中间方格的情况下没有斜对角相邻的方格， 剩余4个小格为类方格，如图所示： （1）4个小球若占用4个A类方格，有种； （2）4个小球若占用3个A类方格，1个B类方格，有种； （3）4个小球若占用2个A类方格，2个B类方格， 此时只能选择隔着中间方格相对的B类方格，共2种可能，所以此时有种； （4）4个小球若占用1个A类方格，3个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. （5）4个小球若占用4个B类方格，此时一定会有斜对角相邻的情况，舍. 因此，共有种． 例4．（24-25高三上·浙江杭州·开学考试）摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，则最少要拍的照片数为________. 【答案】 【详解】设三人合影张，两人合影张， 则. 从而，当最大时，所拍照片总数最少. 当时，由知，有一人出现4次，在出现的4张三人合影中有其他人共八次， 故必有一人与在两张三人合影中同时出现，矛盾. 当时，，可以办到，将八个人编号为， 所拍的12张照片可以为， 所以最少要拍的照片数为12. 变式1．（24-25高二下·广东深圳·月考）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【答案】B 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 变式2．（24-25高二下·湖南长沙·月考）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 【答案】C 【详解】方法一： 将“至少有1个一等品”的不同取法分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”． 由分类加法计数原理，得不同取法有（种）． 方法二：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有（种）， 故选：C 变式3．（24-25高三上·陕西·期中）某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 【答案】 【详解】由题意知分两种情况： ①三个专业各选出1名男教授和1名女教授， 选法有：种； ②一个专业选出2名男教授，一个专业选出1名男教授和1名女教授，一个专业选出2名女教授， 选法有：先从3个专业中选出1个专业出2名男教授，有种选法； 再从剩下的2个专业中选出1个专业出2名女教授，有种选法； 最后剩下的1个专业中选出1名男教授和1名女教授，有种选法， 对于选出2名男教授的专业，有种选法； 对于选出2名女教授的专业，有种选法； 对于选出1男教授1女教授的专业，有种选法， 此时选法有：种， 所以组成这个委员会的所有可能的不同方法共有种. 变式4．（24-25高二下·江苏无锡·月考）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 【答案】10 【详解】由题设，若三人为甲、乙、丙，传递过程如下： 甲①②③④甲， 其中①④一定不会是甲，所以中间四个人的可能情况为： {乙，甲，乙，丙}、{乙，甲，丙，乙}、{乙，丙，甲，乙}、{乙，丙，甲，丙}、{乙，丙，乙，丙}、{丙，甲，乙，丙}、{丙，甲，丙，乙}、{丙，乙，甲，乙}、{丙，乙，甲，丙}、{丙，乙，丙，乙}，共10种情况. 考点三 分组分配问题 例1．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 例2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 【答案】C 【详解】安排1名同学去A公司实习，安排2名去B公司实习，3名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排1名同学去A公司实习，安排3名去B公司实习，2名去C公司实习， 则有种不同的安排方法； 安排2名同学去A公司实习，有种不同的安排方法. 故满足条件的不同安排方法有种. 例3．（25-26高二下·浙江温州·月考·多选）将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 【答案】AC 【详解】对于A，将7个小球分成3组即可，由隔板法得不同的放法种数有种，故A正确； 对于B，允许有空盒子，先给每个盒子一个虚拟的球， 即10个小球分成3组，每个盒子至少一个， 由隔板法得不同的放法种数有种，故B错误； 对于C，根据题意，每个盒子里球的个数情况有：；；；， 则不同的放法种数有，故C正确； 对于D，小球相同、盒子不同，恰有1个盒子放2个球（即只有1个盒子为2个）， 其余两个盒子至少1个球且不能为2个球：先选放2个球的盒子：， 剩余两个盒子共5个球，均不为2的放法只有共2种， 总放法，故D错误． 例4．（24-25高二下·广东肇庆·月考·多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 例5．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 【答案】 【详解】分情况讨论：若小李、小明所在场馆有人(即只有小李和小明)， 此时另一场馆有人，共种安排方法； 若小李、小明所在场馆有人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 若小李、小明所在场馆有4人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 所以共有种安排方法. 例6．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 变式1．（2026·贵州毕节·模拟预测）春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（    ） A．90 B．150 C．240 D．300 【答案】B 【详解】将5个不同的红包分3组，有两种不同的方式， ①：“1,1,3”型，则有种分法； ②：“2,2,1”型，则有种分法，所以共有25种分法， 将分好的3组，装入3个不同的红包袋中，共有种装法. 变式2．（2026·云南红河·模拟预测）森林植被是主要由树木组成的植物群落，常见的典型类型包括：常绿阔叶林（以云南西双版纳为代表）、落叶阔叶林（以华北地区为代表）和针叶林（以大兴安岭为代表）．某地理研究团队计划派5个研究小组对这三种典型森林植被的3个代表地区进行考察，要求每个研究小组只分配到一个地区，每个地区至少分配1个研究小组，则不同的分配方案共有（    ） A．300种 B．240种 C．150种 D．120种 【答案】C 【详解】5个小组分配到3个地区，每个地区至少有1个小组，可分为两种情况： ①各地区小组数分别为1，1，3： 先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种； ②各地区小组数分别为2，2，1： 先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种； 因此所求方案共有种方法． 变式3．（25-26高二下·河南南阳·月考·多选）某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（    ） A．若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B．若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C．若给无人机按1∼7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D．若给无人机按1∼7编号，已知甲、乙两街道各至少需要2架无人机，丙、丁两街道各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 【答案】BCD 【详解】对于A，满足条件的巡检方案数相当于将个相同的小球分到四个盒子， 每个盒子非空的分法数，由隔板法可得不同的巡检方案有种，A错误； 对于B，对于满足条件的任何一种巡检方案，若给每个街道再增加一架无人机则可得 将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的一种方案， 对于将架相同的无人机分到四个街道，每条街道都至少有一架无人机巡检的任意一种方案， 若从每个街道所分的无人机中取走一架无人机可得 将架相同的无人机分到四个街道，允许有的街道不用无人机巡检的一种方案， 故满足条件的巡检方案数等于将架相同的无人机分到四个街道， 每条街道都至少有一架无人机巡检的方案数， 由隔板法可得不同的巡检方案有种，B正确； 对于C， 先将编号为的架无人机排成一列，共种排法； 再将编号为的两架无人机排在前一个排列的两架无人机之间或该排列的最前面或最后面， 共种排法； 由分步乘法计数原理可得满足条件的总排法数为，C正确； 对于D，满足条件的巡检方案可分为四类， 第一类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为， 第二类，甲架，乙架，丙，丁各架，此类巡检方案数为， 第三类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为， 第四类，甲架，乙架，丙架，丁架，此类巡检方案数为， 由分类加法计数原理可得满足条件的总排法数为，D正确. 变式4．（25-26高二下·安徽六安·月考·多选）将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（    ） A．共有256种放法 B．若每个盒子都有小球，则有24种放法 C．若恰好有一个空盒，则有144种放法 D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 【答案】ABC 【详解】对于A：每个小球有4种放法，所以共有种放法，故A正确； 对于B：若每个盒子都有小球，则有种放法，故B正确； 对于C：先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中，有种放法， 再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球，有种放法，所以共有种放法，故C正确； 对于D：先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有种放法， 再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，所以共有种放法，故D错误. 变式5．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 【答案】 【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能两地举办，且各自承办其中一项有种安排方法； 其次5个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有种，故总数为种不同的安排方法. 考点四 隔板法 例1．（24-25高二下·广东江门·期末）把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】C 【详解】根据插板法公式，方法数为. 故选：C. 例2．（24-25高二下·河北邢台·月考）某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 【答案】A 【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板， 这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额， 则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等． 因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种． 故选：A. 例3．（24-25高二下·山西朔州·期中）11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有__________种放法.（用数字作答） 【答案】45 【详解】根据题意，将11个相同的小球放入3个盒中，每个盒子至少1个， 相当于将11个相同的小球分成3组，每组至少1个. 可将11个小球排成一列，然后在除两端的10个空位中，选取2个，插入隔板，故共有种放法. 故答案为：45 例4．（24-25高二下·上海·月考）某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式． 【答案】70 【详解】8个空位的排法有1种，出现了7个空，从中选3个，把三辆车排好的方法有： 种. 其中甲车在乙、丙两车之间的概率为：. 所以满足条件的排法种数为：种. 故答案为：70 变式1．（24-25高二下·江苏连云港·月考）2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（   ） A．455 B．364 C．210 D．120 【答案】B 【详解】11个名额分配给1个班，有种；分配给2个班，有种； 分配给3个班，有种；分配给4个班，有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：B 变式2．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 【答案】D 【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种. 故选：D 变式3．（24-25高二上·天津红桥·期末）某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共______种(用数字填写). 【答案】24310 【详解】构成一个隔板模型，取18个棋子排成一排，在相邻的每两个棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，这样就把18个元素分成10个区间， 第个区间的棋子个数对应第个班级的学生名额， 因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相等， 因隔板插入数为， 所以名额分配方案共有24310种. 故答案为：24310. 变式4．（24-25高二下·山西运城·月考）四元一次方程的正整数解有______组，非负整数解有______组． 【答案】 84 286 【详解】将问题转化为有10个小球排成一排，利用隔板法可求正整数解、非负整数解的组数. 的正整数解的组数相当于在10个小球之间的9个空隙中插入3个隔板， 把球分为4组的方法数，即一共有种， 故第1空答案为84； 非负整数解的组数相当于的正整数解的组数，即的正整数解组数， 同样的方法看成14个小球排成一排，在13个空隙中插入3个隔板分成4组的方法数， 则共有：种. 故答案为：84；286. 考点五 代数中的组合计数问题 例1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个. 从中随机选取两个素数有种情况， 其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况， 故所求概率为. 故选：A 例2．（25-26高二上·广东江门·月考）集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【详解】个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 个位数取自集合，十位数取自集合，共有个， 这两类中重复的有数字，故所有样本点的个数为. 故选：B 例3．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数. 【答案】510 【详解】方法一：由题设在凹数的谷底，且左右两侧的数均比零大， 先选择0左侧元素，余下元素放在右侧， 故共有个数； 方法二：1~9每个数字可能在0的左侧或0的右侧两种可能， 去掉全部在0的左侧和全部在0的右侧两种情况，共个数. 例4．（25-26高三上·山东菏泽·期末）数列共有项，，且（），满足这些条件的数列的个数为______． 【答案】 【详解】由题知，，，， 令，则， 所以， 即， 设中有个，有个， 则，解得， 所以在中，有个，个， 所以满足这些条件的数列的个数， 即为从个位置中选出两个位置放的组合数， 即. 故答案为： 变式1．（24-25高二下·云南昆明·月考）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为一个自然数从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”， 在0，1，2，3，…，9中任取4个数，其大小关系确定，所以“渐降数”共有个， 故选：C. 变式2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）从1，2，3，…，100中任取不同的两数，则该两数之和能被3整除的取法种数为（   ） A．1650 B．1617 C．1122 D．528 【答案】A 【详解】将1，2，3，…，100中的数按被3除余数多少分为3类： 被3除余的数组成集合，则中各有33个数，中有34个数， 从中任取两个数，其和可以被3整除，共有种取法： 从中取1个数，再从中取1个数，两者的和也可被3整除，有种， 故符合条件的取法种数为种． 故选：A． 变式3．（24-25高二下·广东深圳·期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有______．（用数字作答） 【答案】9 【详解】依题意，排数字0有种方法；排数字2有种方法；排数字6有1种方法， 所以组成的不同四位数的个数是. 故答案为：9 变式4．（24-25高二下·陕西安康·期末）从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______． 【答案】20 【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8, 先任选3个数，有种取法， 其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8； 三个数中只有两个数连续， 比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种， 同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种， 比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种， 同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种， 所以此时共有种， 综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1， 共有种选法． 故答案为：20． 考点六 几何组合计数问题 例1．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（    ）对 A．37 B．54 C．66 D．67 【答案】A 【详解】从上，，，取一个点和上，，取一个点， 确定的直线数有条，再加上直线，，则共可得条不同的直线， 则共有对直线， 其中直线与新的条直线都共面，直线与新的条直线也都共面，共24对， 新的条直线中，若直线过点，则形成直线，共有对共面， 直线上有4个点，故共有对共面， 新的条直线中，若直线过点，则形成4条直线， 其中两两共面，有对， 直线上有3个点，故共有对共面， 故异面直线有对. 故选：A 例2．（24-25高二下·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 【答案】D 【详解】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个，其中有12种情况4点共面（6个侧面，6个对角面）， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个. 故选：D 例3．（24-25高二下·河南郑州·期末）如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为______. 【答案】150 【详解】从11个顶点中任取3个，有种取法， 而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有： 三点都在三条水平边上，有种， 三点都在三条竖直边上，有3种， 三点在正方形的对角线方向上，有3种， 则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种； 所以可以构成三角形的组数为组. 故答案为：150. 例4．（24-25高三下·河北·开学考试）从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______. 【答案】 【详解】从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，基本事件总数， 其中这三条线段能构成一个三角形包含的基本事件有，，，，，，，共7个， 则这三条线段能构成一个三角形的概率为 故答案为： 变式1．（24-25高二下·广东·月考）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 变式2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 【答案】B 【详解】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：B． 变式3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画______个圆内接三角形. 【答案】 【详解】不共线的三点确定一个圆 从10个点任选3个点取法有， 故一共可画个圆内接三角形 故答案为： 变式4．（24-25高二下·广西贵港·月考）至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有______个． 【答案】42 【详解】如图，在正五棱台中，仅经过5个顶点的平面有2个． 因为，所以仅经过这8个顶点中的4个顶点的平面有4个， 类似于的平行线还有4组，则仅经过4个顶点的平面有个． 故所求的平面共有个． 故答案为：42． 2 学科网（北京）股份有限公司 $组合数与组合的应用6种高频考点专项训练 组合数与组合的应用6种高频考点专项训练 考点目录 组合数公式和性质 实际问题中的组合计数问题 分组分配问题 隔板法 代数中的组合计数问题 几何组合计数问题 考点一 组合数公式和性质 例1．（25-26高二下·上海·月考）设为正整数，若，则_____． 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知，则___________． 例3．（25-26高二上·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 例4．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 变式1．（24-25高三下·上海浦东新·月考）若，则正整数的值为_____. 变式2．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知，则_________．（用数字作答） 变式3．（24-25高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 变式4．（24-25高二下·山东济南·月考）（1）求的值； （2）设，求证：； 考点二 实际问题中的组合计数问题 例1．（2026·广东江门·一模）某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（    ） A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 例2．（25-26高三下·安徽·月考）甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有（    ） A．60种 B．70种 C．80种 D．100种 例3．（2026·湖北恩施·二模）将4个相同的小球摆放在的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为___________． 例4．（24-25高三上·浙江杭州·开学考试）摄影师给8名同学照相，有两人合影，也有三人合影，若任意两名同学都恰好合影一次，则最少要拍的照片数为________. 变式1．（24-25高二下·广东深圳·月考）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 变式2．（24-25高二下·湖南长沙·月考）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法是（    ） A．560 B．2735 C．1136 D．480 变式3．（24-25高三上·陕西·期中）某大学的数学与统计学院有数学与应用数学、统计学和信息与计算科学三个专业，每个专业有两名男教授和两名女教授，现在每个专业选两名教授组成一个六人的委员会，并且委员会中男、女各三人，则组成这个委员会的所有可能的不同方法共有___________种． 变式4．（24-25高二下·江苏无锡·月考）三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有______种. 考点三 分组分配问题 例1．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 例2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）将6名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排1名同学去A公司实习，至少安排2名同学去B公司实习，至少安排2名同学去C公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．210种 D．300种 例3．（25-26高二下·浙江温州·月考·多选）将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同特征，以及不同的放置限制条件，下列说法正确的有（   ） A．若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 B．若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21 C．若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301 D．若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15 例4．（24-25高二下·广东肇庆·月考·多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 例5．（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 例6．（2026·湖北孝感·二模）2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 变式1．（2026·贵州毕节·模拟预测）春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（    ） A．90 B．150 C．240 D．300 变式2．（2026·云南红河·模拟预测）森林植被是主要由树木组成的植物群落，常见的典型类型包括：常绿阔叶林（以云南西双版纳为代表）、落叶阔叶林（以华北地区为代表）和针叶林（以大兴安岭为代表）．某地理研究团队计划派5个研究小组对这三种典型森林植被的3个代表地区进行考察，要求每个研究小组只分配到一个地区，每个地区至少分配1个研究小组，则不同的分配方案共有（    ） A．300种 B．240种 C．150种 D．120种 变式3．（25-26高二下·河南南阳·月考·多选）某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（    ） A．若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案 B．若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案 C．若给无人机按1∼7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种不同的顺序 D．若给无人机按1∼7编号，已知甲、乙两街道各至少需要2架无人机，丙、丁两街道各至少需要1架无人机，则共有2100种不同的巡检方案 变式4．（25-26高二下·安徽六安·月考·多选）将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（    ） A．共有256种放法 B．若每个盒子都有小球，则有24种放法 C．若恰好有一个空盒，则有144种放法 D．若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 变式5．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 考点四 隔板法 例1．（24-25高二下·广东江门·期末）把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 例2．（24-25高二下·河北邢台·月考）某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 例3．（24-25高二下·山西朔州·期中）11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有__________种放法.（用数字作答） 例4．（24-25高二下·上海·月考）某停车场有一整排11个空车位．甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式． 变式1．（24-25高二下·江苏连云港·月考）2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（   ） A．455 B．364 C．210 D．120 变式2．（24-25高二下·河北·期末）现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（   ） A．504种 B．126种 C．84种 D．56种 变式3．（24-25高二上·天津红桥·期末）某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共______种(用数字填写). 变式4．（24-25高二下·山西运城·月考）四元一次方程的正整数解有______组，非负整数解有______组． 考点五 代数中的组合计数问题 例1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·广东江门·月考）集合，从中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（   ） A．12 B．11 C．8 D．6 例3．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数. 例4．（25-26高三上·山东菏泽·期末）数列共有项，，且（），满足这些条件的数列的个数为______． 变式1．（24-25高二下·云南昆明·月考）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）从1，2，3，…，100中任取不同的两数，则该两数之和能被3整除的取法种数为（   ） A．1650 B．1617 C．1122 D．528 变式3．（24-25高二下·广东深圳·期末）将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有______．（用数字作答） 变式4．（24-25高二下·陕西安康·期末）从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______． 考点六 几何组合计数问题 例1．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（    ）对 A．37 B．54 C．66 D．67 例2．（24-25高二下·广东汕头·期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．66 C．62 D．58 例3．（24-25高二下·河南郑州·期末）如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为______. 例4．（24-25高三下·河北·开学考试）从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______. 变式1．（24-25高二下·广东·月考）现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 变式2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）正八边形的对角线的条数是（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 变式3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画______个圆内接三角形. 变式4．（24-25高二下·广西贵港·月考）至少经过正五棱台的3个顶点的平面共有______个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $