课时作业(5) 第1课时 组合与组合数-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

课时作业（五） 组合与组合数 答案见P ‖基础训练川 (3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种 一、选择题 选法？ 1.(多选)以下四个问题中，属于组合问题的有 (4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多 少种选法？ A.从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C,在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选 出2名幸运之星 D.设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有2个 元素的子集 2.从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参 加数学建模比赛，则不同的选法种数是() A.12 B.18 C.35 D.36 3.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲 选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案 共有 A.36种 B.48种 C.96种 D.192种 4.满足条件A>C%的自然数n有 10.(1)求值：C+C: A.7个 B.6个 2尼知亡品求C. C.5个 D.4个 5.(选)已知C范2=C5,则x的可能取值为 A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题 6.6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手 次（用数字作答）. 7.甲，乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项， 乙承包2项，丙承包1项，不同的承包方案有 种（用数字作答）。 8.若4(C+C)=A,则n= 三、解答题 9.判断下列各事件是排列问题，还是组合问题 (1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？ ·113. ‖能力提升川 (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负. 1L在平面直角坐标系xOy中，平行直线x=n(n 问全部赛程共需比赛多少场？ 0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5) 组成的图形中，矩形共有 ( A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 12.计算：C+.十C胜十C十…十C”= 13.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初 试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列 条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人： (2)甲、乙、丙3人必须参加： (3)甲、乙、丙3人不能参加： (4)甲、乙，丙3人只能有1人参加. I拓展探究川 15化简1++阅器 20×19×…×3 1×2×…×18 A.C B.C C.C D.C 16.规定C=-D一m+D,其中r∈R, 21 m∈N,且C=1,这是组合数C"(n∈N”,m∈N 且≤)的一种推广 (1)求C3,的值： (2)组合数具有两个性质：①C”=C";②C十 C+1=C".这两个性质是否都能推广到 C(x∈R,m∈N)?若能，请写出推广的形式并 给出证明；若不能，请说明理由， 14.某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段 进行： (1)小组赛：经抽签分甲、乙两组，每组6支球队 进行单循环比赛（参加比赛的6支球队必须分 别两两交锋一次)，以积分及净胜球数取前 两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第 一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两 队主客场各赛一场)决出胜负： ·114.(2)第一步，将6个演唱节目排成一列，有A=720(种)方法， 排好后形成7个空： 12面衣超老得2号≤长号又G出 第二步，将4个舞骝节目插入7个空中，有A=840(种)方法. n=6.所以原式=CB十C报十C骋十…+C是=C十C。+ 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）安排 C+…+C2=19+18+17+…+12=124. 顺序 答室124 (3)加入2个节目后共有12个节目，若所有节目没有顺序 13.解析(1)从中任选5人是组合问题，共有C=792(种)不同 要求，全部排列，则有A种排法，但原来的10个节目已定 的选法， 好顺序，所以节日滨出的随序有是-怎=12种 (2)甲、乙、丙3人必须参加，则只需要从另外9人中选2 人，共有C号=36（种）不同的选法. 课时作业（五） (3)甲、乙、丙3人不能参加，则只需要从另外9人中选5 人，共有C=126(种)不同的选法， 1.CD解析从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序 无关：集合A的任一个含2个元素的子集与元素顺序无关， (4)甲、乙、丙3人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、 故C,D项是组合问题.故选CD项. 丙中选1人，有C种选法；再从另外9人中选4人，有C 2.B解析先从3名男生中选出2人，有(C=3(种)选法，再从 种选法.根据分步乘法计数原理，共有CC=378(种)不同 4名女生中选出2人，有C写=6（种）选法，所以共有3×6= 的选法 18(种)选法，故选B项」 14.解析(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队 3.C解析甲选修2门，有C=6(种)方案，乙、丙各选修3门， 的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个 各有C=4(种)方案.根据分步乘法计数原理，共有6×4× 元素中任取2个元素的组合数，共有两组，所以小组赛共要 4=96(种)方案.故选C项， 比赛2C=2x65=30(场). 4.C照ǖ由A>C得n(m-1)>m)-2 3×2×1 ,即n<8, (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组的第一名与甲 又n≥3，且n∈N,所以n=3,4,5,6,7.故选C项. 组的第二名)主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A= 5.BD解析根据组合数的性质得x+2=2x一5或x+2+2x 2×1×2=4(场). 5=12,解得x=7或x=5.故选BD项. (3)决赛只需比赛一场，即可决出胜负。 6解扬每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手 所以全部赛程共需比赛30十4十1=35（场）. C=15(次) 答室15 1.c题1+是+是+淡袋+…+2得 1×2×…×18 7.解析由题意得，满足要求的承包方案共有CC=60(种). C8十C+C匠+Cg+…+C装=C+C+C臂+Cg+…+C= 答多60 C故选C项。 8.解析由已知得n≥4，且4(C十C)=A=CA=6C,所以 16.照折1)由题意得C3,=一7)X(8)X(-》=一81 n! n 2C=C,即2X41”一31”3，即2(n一3)=4，解得 (2)性质①不能推广，如当x=2时，C物有意义，但C号无 n=5. 意义.性质②能推广，它的推广形式是C十C1=C 答案5 (x∈R,m∈N).证明如下：当m=0时，有Cy+C=1十x= 9解析(1)是排列问题.发信人与收信人是有区别的 (2)是组合问题.甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一 C+1:当m≥1时，有C+C1=rrDx-m+D+ m! 次电话，没有顺序的区别， (3)是红合问题.3个代表之间没有顺序的区别. x(c-1D(x-2)(x-m=x(x-)（r-m+里(1+ (m十1)！ m! (4)是排列问题.3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区 x+1)x(x-1)…(x-m+D=C. 别的. m十1 (十1)！ 5一n, 综上，性质②的推广得证 5一≥0， 10.解析(1)由题意得 9-≤n+1, 解得4≤n≤5，因为n∈ 课时作业（六） 9-n≥0， 1,A解析先选取三个不同的数，有C种方法，然后把其中最 N°，所以n=4或n=5.当n=4时，原式=C十C=5:当n=5 大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有 时，原式=Cg+C=16. A种排法，故共有C得A=40(个)三位数.故选A项. (2)由题意可知m的取值范国为(m0≤m≤3，m∈N,由已知 2.D解析如果按“1男2女”选出3名同学，则有C心C=30(种) 得m3mlm4mL_5m5mL,即12m=(5 3! 4! 12×5！ 方法，如果按“2男1女”选出3名同学，则有CC=40(种) m)(4-m),整理得m2一21m十20=0，解得m=20(舍去)或 方法，再将选出的3名同学安排到3个地方，则共有(30十 m=1,所以C=C=8. 40)×A3=420(种)方法.故选D项. 1L.D解扬在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y 3.AC解析选取的3个学生都是女生的不同选法共有C= 轴的6条直线中任取2条，4条直线相交得出一个矩形，所 4(种)，故A项正确：选取的3个学生给有1个女生的不同选 以矩形共有CC8=15×15=225(个).故选D项. 法共有CC=12(种)，故B项错误：选取的3个学生至少有1 ·193·