排列数与排列的应用6种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

排列数与排列的应用6种高频考点专项训练 排列数与排列的应用6种高频考点专项训练 考点目录 排列数公式与性质 全排列问题 元素（位置）有限制的排列问题 相邻问题 不相邻问题 相邻问题与不相邻问题综合 考点一 排列数公式与性质 例1．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 例2．（24-25高二下·广西河池·月考）若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】 由，得，解得（舍去） 故选：D． 例3．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 【答案】 【详解】， 由题意得， 解得. 故答案为：. 例4．（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 【答案】3 【详解】由题设，且，， 则， 所以，则， 所以，可得（非整数解舍）. 故答案为：3 变式1．（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 变式2．（24-25高二下·河南郑州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 变式3．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则n的值为____. 【答案】4 【详解】由，解得. 故答案为：4. 变式4．（24-25高二下·广东潮州·月考）若，则正整数=_________. 【答案】 【详解】因为，所以，且， 整理得到，解得， 故答案为：. 考点二 全排列问题 例1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ） A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【详解】先将节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》捆绑在一起， 有种排法，再把这个整体和另外三个节目全排列，有种排法， 则共有种排法，故A正确. 故选：A 例2．（25-26高二上·湖南·期末）在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 【答案】B 【详解】法本题相当于将6位同学排列到6个不同的位置，排列数即为6位同学的全排列数，故总排列数为； 法2：排队分为三步，第一步从6人中选1人排列，排列数为，第二步从剩下的5人中选2人并排列，排列数为， 第三步在前两排选完后，将剩下的3人排列，排列数为；故总排列数为. 故选：B. 例3．（25-26高二上·江西宜春·期末）现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有_____种.（请用数字作答） 【答案】 【详解】. 当四个骰子朝上的数字为时，有， 当四个骰子朝上的数字为时，有， 当四个骰子朝上的数字为时，有， 所以一共有种情形. 故答案为： 例4．（2026·新疆·模拟预测）截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 【答案】624 【详解】当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片，则有种情况， 又电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，故剩余的4个人与4张宣传海报进行全排列， 有种情况，故此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产古装片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 综上，共有种情况. 故答案为：624 变式1．（25-26高二上·辽宁·月考）某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 【答案】C 【详解】将7名大学生分为3人，2人、2人的3个小组，分别去参观这三个地点， 共有种不同参观方案. 故选：C 变式2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 【答案】D 【详解】六个互不相同的数的全排列共有个， 为使行中的任意两行都不重复，则需，故的最大值为720. 故选：D. 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有______种． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 变式4．（24-25高二下·上海松江·月考）现有7名同学分别去A、B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为______（用数字作答） 【答案】70 【分析】先将7人分成两组，再把两组分配到两个小区，应用排列组合数求解即可. 【详解】由题意，将7分成3人和4人两组，再把两组人安排到A、B两个小区即可， 所以不同的安排方法数有种. 故答案为：70 考点三 元素（位置）有限制的排列问题 例1．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 例2．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 例3．（2026·河北承德·一模）将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有________种． 【答案】60 【详解】由题知将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中， 将这6张不同的卡片，标号分别为， 将6张卡片均匀分成三组，然后放到三个不同的信封中，总的放法种数为． 不满足题目要求的情况如下：①其中有2个信封中的卡片标号相同， 则卡片的分组为，，，共1种，此时放法种数为. ②有1个信封中的卡片标号相同，则卡片的分组为，，； ，，；，，； ，，，共4种，此时放法种数为． 所以若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法种数为． 例4．（25-26高二上·江西上饶·月考）从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 【答案】18 【详解】根据题意，该三位数的百位数字不能为0，所以只能从1，2，3中任取1个数字，有种选择； 而十位数字和个位数字可从剩余的3个数字中任选2个即可，有种选择， 所以从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为种选择. 故答案为：18. 变式1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 【答案】A 【详解】第一张为1时; 若第五张为1，则仅有1种排法； 若第三张为1，有种排法. 若第四张为1，有种排法. 第二张为1时; 若第四张为1，则共种排法， 若第五张为1，有种排法， 第三张为1时，第五张为1，有种排法， 综上可得：总计12种排法. 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 变式3．（25-26高二下·安徽六安·月考）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入到节目单中，那么不同的插法种数为______. 【答案】 【详解】原来有3个节目，它们之间（包括两端）共有4个空，所以第一个节目有种插法； 插入一个新节目后，节目变成了个，共产生个空，所以第二个节目有种插法， 根据分步乘法计数原理，共有种插法. 变式4．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 【答案】 【详解】考虑所有情况为种， 如果第一场选择“峡谷之巅”共有种， 那么第一场不选择“峡谷之巅”，则有种选法. 考点四 相邻问题 例1．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 例2．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】D 【详解】四大名著恰有3本相邻共有种插法； 4本相邻时共有种插法， 所以不同的插法共有600种， 故选：D. 例3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 【答案】 【详解】将3名女生看成一个整体有种排法，再和其他5名男生排成一排有种排法，所以一共有种方法. 故答案为： 例4．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有________种．（结果用数字作答） 【答案】72 【详解】设6个座位编号为， 第一步，从3个人中选两人相邻，共有种方法； 第二步，这相邻两人先选择位置，然后第3人按照要求进行选择， 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式； 若相邻两人选择座位，显然座位不能有人，因此第3人有种方式， 所以不同坐法共有种. 故答案为： 变式1．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 【答案】B 【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右）， 把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法， 所以总的停放方法是种. 变式2．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（    ）． A．408种 B．336种 C．240种 D．120种 【答案】B 【详解】“礼”不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有 种方法；再将剩余5个元素全排列，有 种方法，共 种， 先将“射”和“御”捆绑，内部有 种排法；将此捆绑体与其余4个元素（含“礼”）排列，要求“礼”不在首尾，排法有 种， 故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的排法共 种， 故不同的排法共有种． 变式3．（25-26高二上·上海·期中）某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是________． 【答案】 【详解】10名学生任意排有种，一班的3名学生恰好被排在一起， 所以一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率为. 故答案为： 考点五 不相邻问题 例1．（2026·安徽安庆·一模）将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（   ） A．12 B．30 C．60 D．90 【答案】B 【详解】总排列数：， 两个1相邻的排列数：， 两个2相邻的排列数：， 两个3相邻的排列数：， 两个1相邻且两个2相邻的排列数：， 两个1相邻且两个3相邻的排列数：， 两个2相邻且两个3相邻的排列数：， 两个1，两个2，两个3都相邻的排列数：， 由容斥原理得：两个1相连或两个2相连或两个3相邻的排列数为：. 所以相同的数字牌不相邻的排法总数为. 例2．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 例3．（25-26高三下·浙江·开学考试）某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 【答案】38 【详解】用表示三道函数题且难度从易到难， 用表示两道几何题且难度从易到难， 用表示两道概率统计题且难度从易到难， 先排几何题与概率统计题，则有①或、②或、 ③或这三类不同情况， 针对情况①：之间与之间必须插入一道函数题， 则剩余的道函数题有个位置可选，共有种情况； 针对情况②：再插入三道函数题，共有种情况； 针对情况③：则之间或之间必须插入一道函数题，共有种情况； 综上，共有种不同情况. 例4．（25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 【答案】 【详解】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，不同的站法种数为. 故答案为：. 变式1．（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（   ） A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 【答案】D 【详解】甲和乙之间恰好有1人，有两种情况： 甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻，有种， 甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件，有种，共有种． 故选：D. 变式3．（25-26高三上·四川宜宾·月考）现组织高二（1）班师生一起看话剧，总共有4位教师和8位学生坐在一排，一排有12个座位，要求4位教师必须坐在8位学生中间，并且4位教师不可以坐在一起，总共有______种不同的坐法（用排列数作答）． 【答案】 【详解】8位学生的座位排列方法有种， 4位教师必须坐在8位学生中间，所以不能将教师安排在学生首尾两端的空隙中，只能安排在8位学生之间的7个空隙中， 如图．将4位教师的座位插入8位学生间隔的7个空位中，全排列有种坐法，    由分步乘法计数原理可得，座位的排列方法总共有种． 故答案为： 变式4．（25-26高三上·青海西宁·月考）如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为__________种.    【答案】96 【详解】假设三个不同班级的各两名代表分别为、、， 若号座位只有两个不同班级的代表，则同一班级的在号座位， 则号座位需为另一同班级的两名代表， 此时号座位为同一班级的两名代表，不符合题意， 故号座位必须是3个不同班级的代表，有种方法； 则号座位只有种就坐方法，因此所有可能坐法为. 故答案为：. 考点六 相邻问题与不相邻问题综合 例1．（25-26高三上·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 例2．（24-25高二下·广东广州·月考）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作和）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具和必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【详解】因为女生必须站在一起，且3名女生的站位是固定的， 所以4名男生､3名女生的排列方法为种， 然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：共有种， 则总方法数为. 故选：B. 例3．（24-25高二下·江苏连云港·月考·多选）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法 C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法 【答案】AC 【详解】对于A，利用“捆绑法”，把两人看成整体与其他3人进行全排， 再考虑两人的顺序，故不同的方法有种，故A正确； 对于B，考虑另外3人的不同站法，再将两人在另外3人留下的4个空位上选两个位置进行插空， 故不同的方法有种，故B错误； 对于C，因排队后与只有两个相同可能性的顺序，故先考虑5人全排， 再取其一半，则不同的方法有种，故C正确； 对于D，依题意，分成两类情况： ①站在最右边，则与3人随便站，有种不同的站法； ②不站在最左边，也不站在最右边，有3种站法，因不站最右边，故有3种站法， 余下3人全排即可，故不同的站法有种； 综上，不同的站法共有种，故D错误. 故选：AC. 例4．（24-25高二下·四川眉山·期中·多选）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C．甲乙不相邻的排法种数为70种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】AD 【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体， 与丙，丁，戊全排列，有种排法，故A正确； 对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，故B错误； 对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排， 再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，故C错误； 对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法， 甲乙丙全排列有种排法， 则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确． 故选：AD 例5．（24-25高二下·福建福州·月考）某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 【答案】10 【详解】设停车位有个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将个停车位排好， 再将这3辆共享汽车插入到所成的个间隔中，故有种． 恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素， 再和另一辆插入到将个停车位排好所成的个间隔中，故有种． 因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等， 所以，解得． 故答案为：. 例6．（24-25高二下·湖南株洲·月考）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有______种. 【答案】5160 【详解】①当与同行，与也同行时，有种种植方案； 与不同行时，有种种植方案； ②当与不同行时，有种种植方案. 故不同的种植方案有（种）. 故答案为： 变式1．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（    ） A．72 B．144 C．216 D．432 【答案】C 【详解】第一步：先排A，B，C，3辆车共有种排法， 第二步：再排另3辆车共有种排法， 第三步：还剩两个空车位，把两个捆绑体插入两个空车位产生的3个空中共有种排法， 由分步乘法计数原理可知这6辆车不同停放种数共有：种排法. 故选：C 变式2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）当今，人工智能技术飞速发展，软件是我国一款基于人工智能深度求索软件.现将单词中的字母重新排列，则仅有2个字母相邻而另外2个字母不相邻的不同排法种数为（    ） A．240 B．720 C．480 D．1440 【答案】B 【详解】先将除字母外的四个字母排序有种排法， 则从5个空中选一个放两个，有种排法， 再从剩下的4个空中选2个放另外两个，有种排法， 根据分步乘法计数原理共有种排法， 故选：B. 变式3．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 【答案】BCD 【详解】已知某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天， A：课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，有3！种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 排法数为，A错误. B：“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，B正确． C：用间接法：总排法，减去“数”在第一天的， “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的． 排法数为，C正确． D：课程“书”在第1天或最后一天，有2种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 课程“书”不在第1天或最后天，有4种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 排法数为：，D正确 变式4．（25-26高二上·江苏南通·期末·多选）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 【答案】ACD 【详解】A选项，如果教师的节目不排在最后，从学生的节目选1个放在最后， 剩余的10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，A正确； B选项，如果教师的节目不排在两端，从学生的节目选2个放在两端， 剩余的9个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，B错误； C选项，如果教师的节目必须相邻，将2个教师的节目进行捆绑，2个教师节目可以进行全排列， 再和9个学生的节目一共10个节目进行全排列，那么不同排法的种数为，C正确； D选项，如果教师的节目不能相邻，先安排9个学生的节目， 再将2个教师的节目插空，那么不同排法的种数为，D正确. 故选：ACD 变式5．（24-25高二下·广东汕头·月考）在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有______种． 【答案】24 【详解】解法1：分三步：第一步，将糖、什锦馅的烧饼捆绑，有种不同的方法； 第二步，将糖、什锦馅的烧饼相邻捆绑当成一个元素，与火腿馅的烧饼全排列，有种不同的方法； 第三步，将肉馅和腊肠馅的烧饼插入到第二步中所形成的3个空中的2个，有种不同的方法． 故一共有（种）不同的方法． 故答案为：24. 解法2：把糖、什锦馅的烧饼捆绑当成一个元素，与余下的三个馅的烧饼，共4个元素进行全排列，有种不同的方法； 糖、什锦馅的烧饼相邻，且肉馅和腊肠馅的烧饼相邻摆放有种， 所以所求摆放方法共有（种）． 故答案为：24. 变式6．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有__种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 【答案】 【详解】由题意得，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到， 当“立春”和“惊蛰”、“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧， 此时再用捆绑法，将三者捆在一起即， 所以最终满足题意的排法为. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $排列数与排列的应用6种高频考点专项训练 排列数与排列的应用6种高频考点专项训练 考点目录 排列数公式与性质 全排列问题 元素（位置）有限制的排列问题 相邻问题 不相邻问题 相邻问题与不相邻问题综合 考点一 排列数公式与性质 例1．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·广西河池·月考）若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（25-26高二上·甘肃庆阳·期末）已知，则_______. 例4．（24-25高二下·吉林·期末）若，则_________. 变式1．（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·河南郑州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则n的值为____. 变式4．（24-25高二下·广东潮州·月考）若，则正整数=_________. 考点二 全排列问题 例1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ） A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 例2．（25-26高二上·湖南·期末）在啦啦操的某次队形变化时，六位同学要排成一个“三角形”队形，其中第一排站一位同学，第二排站两位同学，第三排站三位同学，请问这六位同学的站位有（    ） A．1080种 B．720种 C．360种 D．60种 例3．（25-26高二上·江西宜春·期末）现有红、黄、蓝、绿四个骰子，每个骰子的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6.若同时掷这四个骰子，则四个骰子朝上的数字之积等于12的情形共有_____种.（请用数字作答） 例4．（2026·新疆·模拟预测）截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 变式1．（25-26高二上·辽宁·月考）某高校7名大学生到抚顺参观雷锋纪念馆、西露天矿坑、赫图阿拉城，若每名学生都要参观，且只参观一个地点，每个地点至少有2名学生参观的不同方案共有（   ） A．105种 B．210种 C．630种 D．1260种 变式2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有______种． 变式4．（24-25高二下·上海松江·月考）现有7名同学分别去A、B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为______（用数字作答） 考点三 元素（位置）有限制的排列问题 例1．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 例2．（2026·山东淄博·一模）有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 例3．（2026·河北承德·一模）将标号为1，1，2，2，3，4的6张不同卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张标号不同的卡片，则不同的放法共有________种． 例4．（25-26高二上·江西上饶·月考）从0，1，2，3中任取3个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是______.（用数字作答） 变式1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 变式2．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 变式3．（25-26高二下·安徽六安·月考）某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入到节目单中，那么不同的插法种数为______. 变式4．（2026·湖南·模拟预测）某电竞战队从张不同地图中选择3张，按顺序用于场比赛，且每张地图最多使用一次．若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有__________种． 考点四 相邻问题 例1．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 例2．（2026·浙江·模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 例3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 例4．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两人相邻的不同坐法共有________种．（结果用数字作答） 变式1．（2026·新疆·模拟预测）有5辆车停放在一排的5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（    ） A．24 B．48 C．72 D．120 变式2．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（    ）． A．408种 B．336种 C．240种 D．120种 变式3．（25-26高二上·上海·期中）某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是________． 考点五 不相邻问题 例1．（2026·安徽安庆·一模）将1，1，2，2，3，3六张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（   ） A．12 B．30 C．60 D．90 例2．（25-26高三上·吉林四平·期末）6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（   ）种 A．40 B．60 C．80 D．120 例3．（25-26高三下·浙江·开学考试）某校数学教师命制一张试卷，试卷要求考查函数、几何、概率统计三个板块内容，其中函数题3道、几何题2道、概率统计题2道，且同板块试题难度互不相同．现要求同一板块的试题不相邻且难度从易到难，则该试卷不同的排版方案有___________种（用数字作答）． 例4．（25-26高三上·上海·期末）有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 变式1．（25-26高三上·山西太原·期末）某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（   ） A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 变式3．（25-26高三上·四川宜宾·月考）现组织高二（1）班师生一起看话剧，总共有4位教师和8位学生坐在一排，一排有12个座位，要求4位教师必须坐在8位学生中间，并且4位教师不可以坐在一起，总共有______种不同的坐法（用排列数作答）． 变式4．（25-26高三上·青海西宁·月考）如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为__________种.    考点六 相邻问题与不相邻问题综合 例1．（25-26高三上·河北衡水·期末）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 例2．（24-25高二下·广东广州·月考）有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作和）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具和必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 例3．（24-25高二下·江苏连云港·月考·多选）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ） A．若、两人站在一起有种方法 B．若、不相邻共有种方法 C．若在左边有种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有种方法 例4．（24-25高二下·四川眉山·期中·多选）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种 C．甲乙不相邻的排法种数为70种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 例5．（24-25高二下·福建福州·月考）某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停放点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________． 例6．（24-25高二下·湖南株洲·月考）在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有______种. 变式1．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（    ） A．72 B．144 C．216 D．432 变式2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）当今，人工智能技术飞速发展，软件是我国一款基于人工智能深度求索软件.现将单词中的字母重新排列，则仅有2个字母相邻而另外2个字母不相邻的不同排法种数为（    ） A．240 B．720 C．480 D．1440 变式3．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 变式4．（25-26高二上·江苏南通·期末·多选）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，则（   ） A．如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为 B．如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为 C．如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为 D．如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为 变式5．（24-25高二下·广东汕头·月考）在如图所示的标有不同号码的5格餐具盒里面放入5种馅料的烧饼（肉、糖、什锦、腊肠、火腿）各1个，每个格子只能放1个，若要求糖、什锦馅的烧饼相邻摆放，且肉馅和腊肠馅的烧饼不能相邻摆放，则不同的摆放方法共有______种． 变式6．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏”“芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有__种（要求：用数字填空，用式子填空不给分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $