第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：二次根式+勾股定理全部内容）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+勾股定理全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025八年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．9，12，13 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，即满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、0.3、0.4、0.5不是正整数， ∴不是勾股数，故选项A不符合题意； B、、不是整数， ∴不是勾股数，故选项B不符合题意； C、∵，且6、8、10均为正整数， ∴是勾股数，故选项C符合题意； D、∵，，， ∴不是勾股数，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·四川广安·期中）设n为正整数，，已知，则（　　） A．1822 B．2021 C．3624 D．4042 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式化简前几项，归纳得到的一般规律，再代入的值计算． 【详解】解：∵，为正整数， ∴． ∵ ， ∴． 同理可得， 归纳得到规律：． 当时，， ∵ ， ∴ ． 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 6．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 7．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 8．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 9．（25-26八年级上·广东河源·月考）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 10．（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）有依次排列的一列式子：，，，，，…小红对式子进行计算得： 第1个式子：； 第2个式子：…… 根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8个式子为；②对第n个式子进行计算的结果为；③前100个式子的和为；④将第n个式子记为，令，且，则正整数．小红得到的结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接写出第n个式子的通式可判断①②，③④直接计算即可． 【详解】由题可知，第n个式子：，故②正确； 那么第8个式子为 而，故①正确； 第100个式子为： 则前100个式子的和为：，故③正确； 令，则可化为 因为 所以可化为： 若，则，故④错误． 综上所述，①②③正确． 故选：C 【点睛】此题考查二次根式的规律，解题关键是将此数式的通式直接写出来，同时化简时需要分母有理化． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，利用完全平方公式对原式进行变形是解此题的关键． 先将被开方数用完全平方公式进行变形，再根据二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵的化简结果与无关， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 【答案】10或 【分析】本题考查勾股定理的应用， 需分两种情况讨论：当已知两边均为直角边时，或当其中一边为斜边时（由于斜边最长，6不能为斜边，故只考虑8为斜边的情况）. 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则___________ ． 【答案】3 【详解】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用x表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴． 故答案为：3． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形和圆的面积公式，解题的关键是根据面积相等建立方程求解半径． 先计算长方形的面积，再根据圆的面积公式列出方程，求解半径． 【详解】解：长方形的面积为 设圆的半径为，则圆的面积为， 由题意可知，即， ， ∴（半径为正数，舍去负根） 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 16．（2025·山东济南·三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________    【答案】①②③ 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，． ∴． ∴． 故①正确； ∵， ∴． ∴． ∴． 故②正确； ∵，， ∴． 即． ∴． ∴． 故③正确； ∵点A是线段的中点， ∴． 即． ∴． ∴． ∴． 故④不正确； 故答案是①②③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，用表示出相关线段的长度，从而解决问题． 三、解答题（7小题，共72分） 17．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式以及根式的化简规则，先化简再合并同类二次根式． （1）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可； （3）先化简二次根式，再计算加减法即可； （4）根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，为延长线上一点，且．求的长． 【答案】18 【分析】本题主要考查了勾股定理、线段的和与差等知识点，灵活运用勾股定理求线段长是解题的关键． 先运用勾股定理求得，即，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴．     ∴． ∴． 19．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米． (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离？ (2)如果梯子底部B向外移动的距离为1.7米，那么顶部A下滑的距离是否与相等？请给予说明． 【答案】(1)0.8米 (2)相等，理由见解析 【分析】（1）在中，根据勾股定理求出，在中， 根据勾股定理求出，即可求解； （2）在中， 根据勾股定理求出，进而求出，即可判断． 【详解】（1）解∶在中，，，， ∴， 根据题意，得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：梯子底部B向外移动的距离为0.8米； （2）解：相等， 理由：当时，， 在中，，， ∴， ∴， ∴顶部A下滑的距离与相等． 20．（24-25八年级下·云南西双版纳·月考）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简______；______．（） (2)方法迁移，解决变式问题：化简______． (3)化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】根据题目所给的方法进行分母有理化并化简，有同类二次根式的要进行合并． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 21．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 【答案】(1) (2)能，画图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格问题，利用网格特点灵活画出正方形是解答关键． （1）根据10个小正方形组成的面积不变来求解； （2）根据题意画出边长为的正方形图形即可； （3）根据数轴求出的距离，再结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：10个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，为10， 所以拼成的正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：能，如图所示： （3）解：由数轴可知， 点表示的数为， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 【答案】（1）①，，1；②，，2；（2）当时，；（3）当时，此时选择路线1路程最短；当时，此时选择路线2路程最短 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题关键， （1）①根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案； （2）根据勾股定理分别求出，根据即可得出答案； （3）结合（1）（2）结论得出答案即可； 【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线1路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线2路程最短； （2）由题意得：，，， 当时，， 解得：， 当时，； （3）由题意得：当时，； 此时选择路线1路程最短； 当时，； 此时选择路线2路程最短． 23．（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】(1)A，C (2) (3)铺设管道所需的最少费用为910元． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+勾股定理全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2025八年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．9，12，13 4．（24-25八年级下·四川广安·期中）设n为正整数，，已知，则（　　） A．1822 B．2021 C．3624 D．4042 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 6．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 7．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 9．（25-26八年级上·广东河源·月考）口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）有依次排列的一列式子：，，，，，…小红对式子进行计算得： 第1个式子：； 第2个式子：…… 根据小红的观察和计算，她得到以下几个结论：①第8个式子为；②对第n个式子进行计算的结果为；③前100个式子的和为；④将第n个式子记为，令，且，则正整数．小红得到的结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·上海·期末）如果的化简结果与无关，那么的取值范围是____________． 12．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为________． 13．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则___________ ． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某小区做园林规划设计时，将图纸上的一块长为，宽为的长方形的花坛改成等面积的圆形，则这个圆形花坛的半径是_____． 15．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 16．（2025·山东济南·三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________    三、解答题（7小题，共72分） 17．（25-26八年级上·浙江·假期作业）计算 (1) (2) (3) (4) 18．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，为延长线上一点，且．求的长． 19．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米． (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离？ (2)如果梯子底部B向外移动的距离为1.7米，那么顶部A下滑的距离是否与相等？请给予说明． 20．（24-25八年级下·云南西双版纳·月考）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简______；______．（） (2)方法迁移，解决变式问题：化简______． (3)化简：． 21．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图①，有十个边长为1的小正方形组成的图形．我们可以把这个图形剪开拼成一个正方形，如图②中的虚线． (1)图②中拼成的正方形的边长是_____； (2)在的方格图③中，连接4个格点能组成面积为10的正方形吗？若能，请用直尺画出来． (3)如图④，数轴上点表示的数是_____． 22．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 23．（25-26八年级上·广西贵港·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． (1)施工人员测量的是点________与点________之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． (3)若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 学科网（北京）股份有限公司 $