第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：二次根式+勾股定理全部内容）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+勾股定理全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·安徽铜陵·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期末）小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（   ） A．5 B．5或 C． D．2 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级下·重庆江津·月考）二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算：；⑤若x=，，且，则整数．以上结论正确的是（   ） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）式子有意义的条件是________． 12．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定运算“★”是，则__________． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______． 14．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·月考）两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为___________； （2）比较大小：__________（选填“>”“<”或“=”）； （3）计算：___________． 16．（25-26九年级上·山东临沂·期末）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 三、解答题（7小题，共72分） 17．（25-26八年级下·新疆喀什·月考）计算 (1)； (2)． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 20．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；1． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简和． (2)化简：． 21．（25-26八年级上·吉林长春·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） (2)在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； (3)在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 22．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 23．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式+勾股定理全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（2026·安徽铜陵·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质与二次根式的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解∶A．，故A错误； B．，当时，结果为，不等于，故B错误； C．，原计算正确，故C正确； D．，故D错误． 2．（24-25八年级下·北京·开学考试）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 3．（25-26八年级上·上海·期末）小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的乘法，先理解题意，观察计算器，得，整理得，即． 【详解】解：观察计算器，得，， ∴， 则 ∴ 即， 故选：B 4．（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（   ） A．5 B．5或 C． D．2 【答案】B 【分析】由于未明确x是直角边还是斜边，需分其为直角边和斜边两种情况，分别按照勾股定理求解即可． 【详解】解：∵题目未说明x是直角边还是斜边， ∴分两种情况讨论： ①当x为斜边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴； ②当长为4的边为斜边，x为直角边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴． 综上，x的值为5或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期末）一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出米，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米， ∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度， 过作交半圆于、两点，连接与， ∵， ∴为的中线， ∴，即为卡车的最大宽度， ∵是半圆的直径， ∴米， ∴米， ∴米， 即卡车的宽度不得宽于米， 故选：C． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据的定义得到，，，…，进而求出，即可计算出的值为2025． 【详解】解：∵，，，…， ∴ ， ∴ ． 故选：D 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 故选：D． 8．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，，，， ； 如图所示，当沿着长把长方体展开时 在中，，，， ； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，，，， ； ， ∴沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是， 故选：A． 9．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　） ①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积等于两个三角形的面积之和可判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误． 【详解】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AD=AE， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD， ∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴CE=BD， ∠ABD=∠ACE，故①正确； ∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°， ∴BD⊥CE， ∴S四边形BCDE=BD•CE，故④正确； 由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2， 在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2， ∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2， 在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2， 在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2， ∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2， ∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确； 从题干信息没有给出 所以只有时，=90°， 无法说明，更不能说明 故②错误； ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC， 条件不足以证明 ∠AEC与∠AEB相等无法证明， ∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①④⑤共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 10．（24-25八年级下·重庆江津·月考）二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算：；⑤若x=，，且，则整数．以上结论正确的是（   ） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了分母有理化，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键题． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与y可以利用分母有理化化简， 可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值． 【详解】解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ∵a是 的小数部分，， ∴， ∴， 故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得．故⑤正确． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段练习）式子有意义的条件是________． 【答案】且 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则， 解得且． 12．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）规定运算“★”是，则__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴当，时，． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______． 【答案】72 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求六个小正方形的面积之和． 【详解】解：根据勾股定理知：，，， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·月考）两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为___________； （2）比较大小：__________（选填“>”“<”或“=”）； （3）计算：___________． 【答案】 （答案不唯一） > 【分析】（1）先利用平方差公式计算，从而可得答案； （2）先变形可得，，结合，从而可得答案； （3）先分母有理化，从而原式可化为，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式为． （2）∵，， 而， ∴， ∴． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，与实数运算相关的规律探究，分母有理化的应用，熟练的利用分母有理化解决问题是解本题的关键． 16．（25-26九年级上·山东临沂·期末）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【分析】通过观察已知等式中各底数的变化规律，分别归纳出第k个等式中三个数的底数表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 三、解答题（7小题，共72分） 17．（25-26八年级下·新疆喀什·月考）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长． 【答案】支渠的长是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先由勾股定理求出，得到，再由勾股定理计算即可． 【详解】解：， ． ，， ． ． ． 答：支渠的长是． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)甲同学所做的点表示的数是_______； (2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、用数轴上的点表示无理数． (1)根据勾股定理可得，可知，所以点表示的数是； (2)构造，使，，，根据勾股定理可得，所以点表示的数是． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如下图所示，在中，，，， ， ， 点表示的数是． 20．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；1． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简和． (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分子，分母同乘，再根据二次根式的运算法则，即可化简；分子，分母同乘，再利用平方差公式和约分，化简即可； （2）首先将各项分母有理化，然后相加求解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 21．（25-26八年级上·吉林长春·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） (2)在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形； (3)在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义． （1）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （2）根据网格的特点以及勾股定理，作，即可求解； （3）根据网格的特点，作边长为的正方形，即可求解． 【详解】（1）如图①，即为所求； ∵ ∴是一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形） （2）如图②，即为所求 ∵ ∴ ∴是一个三边都为无理数的等腰直角三角形 （3）如图③，正方形即为所求． 22．（2026八年级下·浙江·专题练习）阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】(1)， (2)，最大值为 【分析】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． （1）把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； （2）由题意可得，从而得到，并得到时，y有最大值． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 23．（25-26八年级上·福建泉州·期末）综合与实践 (1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求的距离； (2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；②千米 (2)20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，尺规作线段垂直平分线，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求； ②设千米，则千米，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①如图，点P即为所求作的点； ②设千米，则千米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设，则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $