23.1一次函数的概念精析精练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下精析精练 23.1一次函数的概念 1. 正比例函数定义 1．下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 2．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 4．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2. 一次函数的识别 5．下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 7．下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A． x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B． x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C． x … 1 2 3 4 … y … … D． x … 1 2 3 4 … y … … 8．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 9．函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（   ） A．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B．周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C．计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D．声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 3. 一次函数定义的应用 11．已知函数是一次函数，则a的值是________． 12．当__________时，函数是一次函数． 13．已知函数． （1）当m________时，y是x的一次函数． （2）当m________时，y是x的正比例函数． 14．八（1）班数学兴趣小组在学习了《神奇的加密术》后，设计了一款“明文-数字”加密术，如图．约定在一次函数中，x是明文对应的数字，y是密文．现收到密文．请写出明文_________． 明文 A B C D E F G H I J K L M 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明文 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 15．如图，在平面直角坐标系中，P为直线上一点，点P 的横坐标为， 则的长是_______． 16．在一次函数的图象上，到y轴的距离等于2的点的坐标是_____________. 17．与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加____________． 18．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________． 4. 一次函数解析式 19．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大2，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 20．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 21．如图，已知两直线 和 分别与 轴交于、两点，点的坐标为 ，且这两条直线相交于点． (1)求 的值； (2)求 的长． 22．北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 23．我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷．请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷． 24．A，B两地相距．甲8:00由A地出发骑自行车去B地，平均速度为；乙9:30由A地出发乘汽车也去B地，平均速度为． （1）分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式； （2）乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？ 1．如图，已知直线、所对应的函数表达式分别为与，且点在直线与之间，则字母m的取值范围为______． 2．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 3．已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 4．已知：点是一次函数上的点，则k的取值范围是__________． 5．已知一次函数． （1）若一次函数的图象经过点，则的值为_____； （2）已知点、的坐标分别为，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为_____． 6．如图，一次函数的图象经过点和，则的值为__________． 7．若是关于的正比例函数，求的值． 8．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 9．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 10．为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 1．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 2．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 3．小明在学习一次函数之后，对学习过程进行反思：在学习一个新函数的时候，我们从“数”和“形”两方面研究函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 问题一：认识函数 （1）函数中自变量x的取值范围是__________； A．    B．任意实数   C．        D． （2）如表是y与x的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是_______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ①方程有几个解； ②当时，的取值范围是_______； 问题三：反思延伸 （4）若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是____． 4．（1）问题探究：如图1，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A 在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B 在第二象限，点A 的坐标为，点C 的坐标为，则点 B 的坐标为 ． （2）问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，已知，若，点C 在第一象限，且，试求出点C 的坐标． （3）拓展提升：如图3，为等腰直角三角形，，直角顶点B 在第二象限．点C在y 轴上移动，以为斜边作等腰直角，直角顶点 D 随着C 点的移动而移动，请你猜想：D点的运动轨迹是 ，并求出相应的表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下精析精练 23.1一次函数的概念（解析版） 1. 正比例函数定义 1．下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义：形如（是常数，）的函数为正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义进行判断， 选项A：，符合正比例函数的定义，是正比例函数； 选项B：不符合定义，不是正比例函数； 选项C：不符合定义，不是正比例函数； 选项D：不符合定义，不是正比例函数． 2．下列四个点中，不在正比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标代入函数解析式，对比计算出的纵坐标与点的纵坐标是否一致，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：正比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式． A选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． B选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． C选项：当时，，与点的纵坐标相等，故该点在图象上． D选项：当时，，与点的纵坐标不相等，故该点不在图象上． 故选：D． 3．正比例函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知点坐标代入正比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：将点满足解析式，得， 解得． 4．下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数； D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； 故选：C． 2. 一次函数的识别 5．下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 6．下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、为常数，，自变量的次数为1的整式函数），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：中的最高次数是2，不是一次函数； B选项：，不是整式函数，故不是一次函数； C选项：符合一次函数的形式，是一次函数； D选项：不是整式函数，故不是一次函数； 7．下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A． x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B． x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C． x … 1 2 3 4 … y … … D． x … 1 2 3 4 … y … … 【答案】D 【分析】本题中每次增加1，只需判断的变化量是否一致即可． 【详解】解：对于一次函数，当每增加1时，的变化量始终相等， 分别计算各选项的变化量： 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意. D选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，从3到4，变化量为，变化量恒定相等，因此是的一次函数，符合题意． 8．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【详解】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 9．函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 10．下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（   ） A．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B．周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C．计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D．声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握形如的函数是一次函数，是解题的关键．根据一次函数包括一般地的一次函数和正比例函数，计算判断即可． 【详解】解：A.，不是一次函数，不符合题意； B. 根据题意得，长方形的另一边长为， 故，不是一次函数，不符合题意； C. 根据题意得，，不是一次函数，不符合题意； D. 根据题意得，，是一次函数，符合题意． 故选：D． 3. 一次函数定义的应用 11．已知函数是一次函数，则a的值是________． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，确定自变量次数与一次项系数的限制条件，求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：． 12．当__________时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，一次函数解析式 的结构特征：（1）是常数， ；（2）自变量的次数是；（3）常数项可以为任意实数． 根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴， 解得. 故答案为：． 13．已知函数． （1）当m________时，y是x的一次函数． （2）当m________时，y是x的正比例函数． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，熟练掌握正比例函数和一次函数的特点是解题的关键； （1）根据一次函数的特点求解即可； （2）根据正比例函数的特点求解即可． 【详解】解：（1）一次函数的一般形式为， 若使为一次函数 则需， 解得． ∴时，为一次函数． 故答案为：． （2）若使为正比例函数 则需 解得 ∴时，为正比例函数． 故答案为：． 14．八（1）班数学兴趣小组在学习了《神奇的加密术》后，设计了一款“明文-数字”加密术，如图．约定在一次函数中，x是明文对应的数字，y是密文．现收到密文．请写出明文_________． 明文 A B C D E F G H I J K L M 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 明文 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【答案】MATH 【分析】将每个密文代入给定的一次函数解析式，解一元一次方程得到明文对应的数字，再结合表格中数字与明文的对应关系，确定明文字母． 【详解】解：已知一次函数，其中为密文，为明文对应的数字， 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1得，由表格可知数字13对应明文M； 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1得，由表格可知数字1对应明文A； 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1得，由表格可知数字20对应明文T； 当时，代入得，移项得，合并同类项得，系数化为1，得，由表格可知数字8对应明文H， 综上，明文为MATH． 15．如图，在平面直角坐标系中，P为直线上一点，点P 的横坐标为， 则的长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理求两点间的距离，先求出点的坐标，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵P为直线上一点，点P 的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 故答案为：． 16．在一次函数的图象上，到y轴的距离等于2的点的坐标是_____________. 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 代入，，求出y值，进而可得出到y轴的距离等于2的点的坐标是或． 【详解】解：根据题意得：到y轴的距离等于2，即点的横坐标的绝对值为2，； 当时，， ∴点符合题意； 当时， ， ∴点符合题意； ∴到y轴的距离等于2的点的坐标是或． 故答案为：或． 17．与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加____________． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的函数值变化知识点，掌握一次函数中自变量变化时函数值变化量的计算方法是解题的关键． 先根据函数表达式求出增加1后的函数值，再用新函数值减去原函数值，得到的增加量． 【详解】解：∵ ∴当的值增加1时，新的值为 ∴对应的新的值为 ∴的增加量为 ∴的值增加2． 故答案为：2． 18．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入函数解析式，作差后利用已知条件求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过两点， ∴，， 则， 又∵， ∴． 故答案为：4． 4. 一次函数解析式 19．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大2，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了点坐标及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；掌握与轴平行的直线上的点横坐标相同是解题的关键． （1）由已知得，即可求解； （2）由平行于轴的直线上的点横坐标相同得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）解：由题意得 ， 解得：， ， ． 20．已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 21．如图，已知两直线 和 分别与 轴交于、两点，点的坐标为 ，且这两条直线相交于点． (1)求 的值； (2)求 的长． 【答案】(1)值为 (2) 【分析】（1）将点代入，即可求出值， （2）求出交点坐标，再根据两点间距离公式求出的长度， 本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求两直线交点坐标，以及两点间距离公式，解题的关键是：熟练掌握列方程求交点坐标，两点间距离公式． 【详解】（1）解：在直线上， 解得 ， 故答案为：值为， （2）直线 与交于点 C， ，解得：， 点坐标为：， 点是直线 与轴的交点， 时，，， 点坐标为：， ， 故答案为：． 22．北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 【答案】(1) (2)4400 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． 23．我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约为0.61至0.62万公顷．请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷． 【答案】15.66万至15.72万公顷 【分析】根据题意列出一次函数，在自变量的取值范围中求出函数值的取值． 【详解】解  设p表示今后10年每年新增造林的公顷数，则．设6年后该地区的造林总面积为S万公顷，则． 这个一次函数中，一次项系数，所以S随p的增大而增大． ∵， ∴，即． 答：6年后该地区的造林总面积达到15.66万至15.72万公顷． 【点睛】本题考查列一次函数并求函数值，自变量的取值范围是解题的关键． 24．A，B两地相距．甲8:00由A地出发骑自行车去B地，平均速度为；乙9:30由A地出发乘汽车也去B地，平均速度为． （1）分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式； （2）乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？ 【答案】（1）甲：；乙：．（2）10点以后乙超过甲． 【分析】（1）设行驶x时刻，行驶路程为y，根据题意即可直接列出甲、乙两个人的行程关于时刻的函数解析式．特别注意x表示的为时刻，和自变量的取值范围． （2）联立两个一次函数解析式，求出x即可． 【详解】（1）设行驶x时刻，行驶路程为y， 由题意可列出甲：， 整理得： ∵小时，即甲从A地到达B地用时2.5小时， ∴甲10:30到达B地， ∴ 即甲： 由题意可列出乙： 整理得： ∵小时，即乙从A地到达B地用时0.625小时， ∴乙10:07:30到达B地， ∴ 即甲：． （2）联立： 解得：． ∵符合题意． ∴乙在10:00后超过甲． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用和二元一次方程组的应用．根据题意找出数量关系列出等式是解答本题的关键． 1．如图，已知直线、所对应的函数表达式分别为与，且点在直线与之间，则字母m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意把点A的坐标分别代入两个函数表达式，求得对应的m的值，即可解答． 【详解】解：根据题意，把点代入， 得，解得； 把点代入， 得，解得； ∴当点在直线与之间时，m的取值范围为． 2．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【答案】 【分析】将原解析式变形为关于的一次式，根据对任意实数等式恒成立，可得的系数为0，计算即可得到定点坐标． 【详解】解：， ， 对任意实数，直线经过一个定点， ，解得， 将代入得， 这个定点为． 3．已知为正比例函数，且关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先根据正比例函数的定义得到a的取值限制，再解一元一次不等式组，根据不等式组整数解的个数确定a的取值范围，最后找出范围内满足条件的整数a并计算其和即可． 【详解】解：为正比例函数 根据正比例函数的定义，可得，即 解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 因此不等式组的解集为 不等式组有且仅有三个整数解， 三个整数解为 可得 三边同乘3得，移项并合并同类项得 结合，可得 该范围内的整数为 所有满足条件的整数的值之和为 4．已知：点是一次函数上的点，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将点代入到解析式中，整理得到关于和的等式，列出不等式计算即可； 【详解】解：点是一次函数上的点， ， ， ， 或， ． 5．已知一次函数． （1）若一次函数的图象经过点，则的值为_____； （2）已知点、的坐标分别为，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组． （1）将点坐标代入函数解析式求解m即可； （2）由点、的坐标可知为竖直线段，代入求y值，再根据y的取值范围求解即可． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过点， ∴； （2）∵点、的坐标分别为， ∴为竖直线段， 即线段上的点x恒为1，， 当时，， ∵一次函数的图象与线段有交点， ∴， 解得． 故答案为：，． 6．如图，一次函数的图象经过点和，则的值为__________． 【答案】36 【分析】本题考查了一次函数的性质，因式分解，代数式求值，掌握将点代入函数解析式得到关系式，通过因式分解简化代数式求值是解题的关键． 将点代入一次函数解析式，得到和的值，对所求代数式因式分解后代入计算． 【详解】解：一次函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 7．若是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 8．在平面直角坐标系中，对于，有如下规定：，则称点B为点A的“友谊点”．举例：的友谊点是，而的友谊点是． (1)点的“友谊点”是________； (2)点的“友谊点”在函数的图象上，求m的值； (3)已知点在函数的图象上，求点A的友谊点B的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的性质，解题的关键是理解定义，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据“友谊点”定义直接计算即可； （2）先根据定义计算的“友谊点”，再将“友谊点”代入函数中求出m； （3）先根据点在函数的图象上得，再根据的取值范围确定的取值范围，进而根据“友谊点”定义得出取值范围． 【详解】（1）解：，， ， “友谊点”为； （2）解：，， ， 点的“友谊点”为， 点的“友谊点”在函数的图象上， ， ； （3）解：点在函数的图象上， ， ， ， ． 9．个体户小勤购进一批苹果，到集贸市场零售，已知卖出的苹果数（千克）与售价（元）的关系如下表： 1 2 3 4 5 (1)售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为_____． (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款多少元？ 【答案】(1) (2)当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元 【分析】本题考查正比例函数关系式： （1）通过观察表格数据，发现售价y与卖出的苹果数量x成正比例关系，由此可解； （2）将代入（1）中关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，， 售价（元）与卖出的苹果数量（千克）的关系可以表示为：； （2）解：当时，， 即当小勤卖出苹果180千克时，得到苹果货款378元． 10．为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数的解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． ； （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为； （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 1．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们探索一次函数的图象与系数的关系．老师给出两个一次函数，（a，b均不为0，且），同学们利用图形计算器画出a，b不同取值下的两个一次函数的图象，并观察它们的交点位置．三个小组分别绘制了当（时的函数图象，得到了不同情况下函数和的图象的交点坐标． 数学思考：（1）请从（I）当时；（Ⅱ）当时；（Ⅲ）当时，三组值中任选一组，求此时函数和的图象的交点坐标． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 深入探究：（2）老师请同学们经过思考，提出新的问题． ①“运河小组”提出问题：不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值．请你证明结论，并求出这个定值． ②“武林小组”提出问题：若，要比较和的大小，需要分类讨论．请你比较和的大小． ③不论a，b如何取值，当x等于某个正数时，函数和的值都存在某种确定的等量关系，请你直接写出结论． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）①证明见解析，定值为-1；②当时，；当时，；当时，；③当时， 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，分类讨论是解答本题的关键． （1）数学思考：分别将三组数据代入解析式，联立方程组解答交点坐标即可； （2）①联立解析式，求出的值，根据，均不为0，且，得到为定值即可； ②令，则，得；令，则得； ③两解析式相加得），即时，不论，如何取值，． 【详解】解：（1）选择（Ⅰ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅱ）时函数和的图象的交点坐标是； 选择（Ⅲ）时函数和的图象的交点坐标是． （2）①由题意，得， 所以， 因为， 所以． 所以不论a，b如何取值，函数和的图象的交点的横坐标都是定值． ②由题意，得， 因为，所以， 所以当时，，； 当时，，； 当时，，． ③当时，． 2．综合与实践 【背景】两家商场对同一款电视机给出两种不同的优惠政策，选择哪家商场更优惠． 【素材呈现】 素材1：两家商场销售同一款型号的电视机的标价均为1200元； 素材2：甲商场的优惠条件是：第一台按原价，其余每台按六五折销售； 素材3：乙商场的优惠条件是：先用120元办张会员卡，然后所有电视机都按会员价（七折）销售． 【问题解决】 (1)设学校购买台电视机，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与x之间的关系式； (2)若学校只在一家商场购买，求该学校购买电视机数量x（台）满足什么条件，选择哪家商场购买才更划算？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)当为整数，且时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当为整数，且时，选择甲商场划算 【分析】本题考查的是列函数关系式，一元一次不等式的应用. （1）根据两种不同的优惠方式列函数关系式即可. （2）当时，，，则，当时，且为整数，再分三种情况求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得：当时，且为整数， ，. （2）解：当时，，，则， 当时，且为整数， 分三种情况，①，即， 解得时， 当时，选择乙商场划算； ②当，即， 解得时，选择两家商场一样划算； ③当，即， 解得时，选择甲商场划算； 综上：当，为整数时，选择乙商场划算；当时，选择两家商场一样划算；当，为整数时，选择甲商场划算． 3．小明在学习一次函数之后，对学习过程进行反思：在学习一个新函数的时候，我们从“数”和“形”两方面研究函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 问题一：认识函数 （1）函数中自变量x的取值范围是__________； A．    B．任意实数   C．        D． （2）如表是y与x的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是_______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ①方程有几个解； ②当时，的取值范围是_______； 问题三：反思延伸 （4）若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是____． 【答案】（1）B；（2）2；（3）画图见解析，①2，②；（4） 【分析】（1）由被开方数大于等于零得是任意实数； （2）将代入求值即可； （3）描点，连线画图即可； ①直接根据图象可得方程的解； ②根据图象求解即可； （4）由题意得函数图象的对称轴是直线，当时，随的增大而减小，而时，随的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小，当，，都有，故在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，得． 【详解】（1）解：∵， ∴自变量x的取值范围是任意实数； （2）解：将代入， ∴； （3）解：函数图象如图所示： ①∵， 由图象可得：，， ∴方程有2个解； ②当时， 由图象得，时，最小值是，当时，最大是3， ∴的取值范围是； （4）解：由题意可得，函数图象的对称轴是直线， 当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， ∵函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小， ∵当，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则， ∵当，， ∴， ∴的取值范围是． 4．（1）问题探究：如图1，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A 在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B 在第二象限，点A 的坐标为，点C 的坐标为，则点 B 的坐标为 ． （2）问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，已知，若，点C 在第一象限，且，试求出点C 的坐标． （3）拓展提升：如图3，为等腰直角三角形，，直角顶点B 在第二象限．点C在y 轴上移动，以为斜边作等腰直角，直角顶点 D 随着C 点的移动而移动，请你猜想：D点的运动轨迹是 ，并求出相应的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）直线，表达式为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，一次函数的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点B作轴于E，证明，得到，则，据此可得答案； （2）过点A作轴，过点B作于E，过点C作于D，同理可证明，得到，据此可得答案； （3）过点B作轴于F，可求出，当点D在上方时，过点D作交延长线于E，延长交y轴于G，设，同理可证明，可推出，则点D在直线上；点D在下方时，同理可得点D在直线上． 【详解】解：（1）如图所示，过点B作轴于E， ∵点A 的坐标为，点C 的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）如图所示，过点A作轴，过点B作于E，过点C作于D， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴点C的坐标为； （3）如图所示，过点B作轴于F， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，且点B为直角顶点， ∴， ∴， 如图所示，当点D在上方时，过点D作交延长线于E，延长交y轴于G，设， 同理可证明， ∴， ∴点C与点G的横坐标为， ∵点C在y轴上， ∴， ∴， ∴点D在直线上； 当点D在下方时，同理可得点D在直线上； 综上所述，点D的运动轨迹为直线，点D在直线或直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $