第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：四边形+平面直角坐标系全部内容）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：四边形+平面直角坐标系全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海长宁·阶段练习）如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 2．（2026八年级下·上海·专题练习）将各顶点的纵坐标乘，得到新．若各顶点的坐标分别为A，，，则下列图像中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．32025 D．0 5．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 6．（24-25八年级下上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则__________． 8．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 9．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在中，．若，则的度数是_____． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，直线轴，直线与轴交于点，点在直线上，则点的坐标为___________． 11．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为_____个单位长度． 12．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，四边形的对角线与互相垂直．点分别是的中点，连结，已知． （1）四边形的面积为______． （2）的长为______． 13．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，，下列说法正确的有__________正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是． 14．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，在长方形纸片中，点，分别在边和上，将该长方形纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为点，．若点恰好落在边上，且，则点之间的距离为___________． 15．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 17．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 18．（24-25八年级下·浙江绍兴·月考）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·湖北黄石·月考）如图所示，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则的度数是多少？ 20．（25-26八年级上·江苏·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 21．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)若与关于轴对称，则点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______ (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的．（点、、的对应点分别是点、、） 22．（25-26九年级上·山东烟台·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点，使点和点在直线l的两旁； ②以为圆心，的长为半径画弧，交l于点，，连接； ③分别以点，为圆心，以，长为半径画弧，两弧相交于点（点和点在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹；可以继续完成小明的作图，也可以按照小明的思路在备用图中自主完成） (2)你认为小明的做法正确吗？请说明理由． 23．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 24．（24-25九年级上·天津和平·期末）如图1，在四边形中，，于点，且，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移．过点作垂直于直线，垂足为点，设点平移的时间为秒． (1)当 时经过点； (2)与四边形重叠部分的面积为．请写出与的关系式，并写出的取值范围； (3)如图2，当经过时，将绕点逆时针针旋转度，记旋转后的为，、的对应点分别是、．直线、直线和直线分别交于、M．在整个旋转过程中，能否为等腰三角形？若存在，请直接写出此时旋转角度的值；若不存在，请说明理由． 25．（24-25八年级下·广西南宁·期中）综合与实践． 【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别9，12，15或，，的三角形就是型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】如图1：在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点N，然后展平． 【解决问题】 (1)请在图2中证明：四边形是正方形． (2)请在图4中判断与的数量关系，不用说明理由． (3)请在图4中证明：是型三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：四边形+平面直角坐标系全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海长宁·阶段练习）如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确的是（    ） A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加 C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加 【答案】D 【分析】多边形的外角和恒为与边数无关；内角和公式为边数增加2时内角和增加． 本题主要考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和与外角和的计算公式是解题关键． 【详解】解：∵多边形的外角和恒为 ∴边数增加2后外角和不变； 设原边数为则原内角和为 新内角和为 ∴内角和增加． 故选：D． 2．（2026八年级下·上海·专题练习）将各顶点的纵坐标乘，得到新．若各顶点的坐标分别为A，，，则下列图像中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标变化规律是解题的关键．先根据纵坐标乘2的规则求出新三角形各顶点的坐标，再根据坐标判断对应的图像． 【详解】解：∵，，，将各顶点的纵坐标乘2， ∴，，， ∴新三角形的顶点坐标为，，， 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式．菱形面积（a、b是两条对角线的长度），由此即可计算． 【详解】解：四边形是菱形， 菱形的面积， 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A．1 B．－1 C．32025 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识，理解并掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题关键． 首先根据关于轴对称的点的坐标特征“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，可得，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【分析】对于方案一，根据平行四边形的性质证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；对于方案二，通过证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】解：方案一：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 6．（24-25八年级下上海宝山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，解此题的关键是找到横坐标和纵坐标的变化特点．横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，据此规律，横坐标为13的点有13个，根据，且第14列走向是向上的，即可求得答案． 【详解】解：横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，据此规律，横坐标为13的点有13个， ，且第14列走向是向上的， 第102个点在此列上，横坐标为14，纵坐标为从第92个点向上数10个点，即为10， 第102个点的坐标为． 故答案为：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）从七边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将七边形分成个三角形，则__________． 【答案】9 【分析】本题考查多边形的性质，根据从多边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，将多边形分为个三角形，求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴． 故答案为：9． 8．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 9．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）如图，在中，．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，直线轴，直线与轴交于点，点在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据“y轴上的点的横坐标为0”，可得P点的横坐标为0．根据“平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同”，可得P点纵坐标为1．由此可得点的坐标为． 本题主要考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的特征和平行于坐标轴的直线上的点的特征，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵P点在y轴上， ∴P点的横坐标为0． ∵直线轴，P点和Q点都在直线上 ∴P点和Q点的纵坐标相同， ∵， ∴P点纵坐标为1， ∴点的坐标为． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为_____个单位长度． 【答案】5 【分析】本题考查了两坐标间的距离，由图得，，利用两坐标间的距离公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，， ∴A，B两点的距离为， 故答案为：5． 12．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，四边形的对角线与互相垂直．点分别是的中点，连结，已知． （1）四边形的面积为______． （2）的长为______． 【答案】 【分析】（1）设对角线交于点，根据即可求解； （2）如图所示，去中点，连接，分别交于点，根据中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）设对角线交于点， ∵， ∴， ∴ ； （2）如图所示，取中点，连接，分别交于点， 在中，，， ∴， 同理，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 故答案为：①；②． 【点睛】本题主要考查三角形高的计算，中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是关键． 13．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，，下列说法正确的有__________正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 先设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，再表示出图1的阴影部分的面积，图2的阴影部分的面积，结合题意可得，将两式展开整理解答①；然后根据解答②；接下来求出a，b的值解答③④即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图1的阴影部分是边长为的正方形，因此面积是， 图2的阴影部分是边长为的大正方形与边长为a，边长为b的两个正方形的面积差为， ∵图1，图2的阴影部分的面积分别为4，30， ∴， ∴， 即，则①正确； ∴，则②正确； ∵， ∴， 解得， ∴， 即正方形A与正方形B的面积差为16，则③正确； 由于，即正方形A的边长为5，则④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 14．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，在长方形纸片中，点，分别在边和上，将该长方形纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为点，．若点恰好落在边上，且，则点之间的距离为___________． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，由折叠，得，继而由勾股定理求出，得到，再由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，如图 由长方形与折叠，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·上海长宁·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的外角和，根据三角形内角和定理得，由平行线的性质得，根据多边形的外角和是即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 17．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 【答案】 【分析】根据题意得出，，……得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴， ∵， 当时，，即，即， ∴． 18．（24-25八年级下·浙江绍兴·月考）如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 【答案】 64 12.25 【分析】本题考查正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键．根据“台灯”的造型及图1，可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并与相交于点L，连接，可得出四边形是平行四边形，求出长即可解决问题． 【详解】解：由图1可知， 七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6，然后，最小的直角边长为3， 正方形和平行四边形的短边长都是3． 过点N作和的垂线，垂足分别为J，K，则， 又 ，且是等腰直角三角形， ，故． 又， 四边形是矩形， ． 又， ， 故矩形的周长为． 延长经过点E与交于点L，连接， ，且， ． 又点H到的距离与到的距离相等， 点H在的角平分线上，则． ， ， 又， 四边形是平行四边形． 又， ． ．则， 四边形是正方形， 印章区域的面积为． 故答案为：64，12.25． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·湖北黄石·月考）如图所示，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则的度数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26八年级上·江苏·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上或与坐标轴平行的点的坐标特征； （1）根据点在x轴上，纵坐标为0即可求解； （2）根据题意列出关于m的方程即可求解； （3）与轴平行的直线上的点横坐标相同，由此得，解出m即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ，， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 21．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)若与关于轴对称，则点的对应点的坐标为______，点的对应点的坐标为______ (2)请在平面直角坐标系中画出关于直线对称的．（点、、的对应点分别是点、、） 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，画轴对称图形，熟练掌握对称作图是解题的关键． （1）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，确定坐标即可； （2）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵与关于x轴对称，，， ∴， 故答案为：；； （2）解：如图所示，即为所求： 22．（25-26九年级上·山东烟台·期末）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①任意取一点，使点和点在直线l的两旁； ②以为圆心，的长为半径画弧，交l于点，，连接； ③分别以点，为圆心，以，长为半径画弧，两弧相交于点（点和点在直线的两旁）； ④作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹；可以继续完成小明的作图，也可以按照小明的思路在备用图中自主完成） (2)你认为小明的做法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查了作图中的复杂作图：复杂作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，即可求解． （1）利用作法补全图形； （2）根据两组对边分别相等判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： ； （2）解：小明的做法正确，理由： 连接， 由（1）中作图易得：，， ∴四边形是平行四边形， ； 23．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 24．（24-25九年级上·天津和平·期末）如图1，在四边形中，，于点，且，，，动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移．过点作垂直于直线，垂足为点，设点平移的时间为秒． (1)当 时经过点； (2)与四边形重叠部分的面积为．请写出与的关系式，并写出的取值范围； (3)如图2，当经过时，将绕点逆时针针旋转度，记旋转后的为，、的对应点分别是、．直线、直线和直线分别交于、M．在整个旋转过程中，能否为等腰三角形？若存在，请直接写出此时旋转角度的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)存在，满足条件的的值为或或或 【分析】（1）如图中，作于．则四边形是矩形，，．求出的长即可解决问题； （2）分四种情形①如图中，当时，重叠部分是．②如图中，当时，重叠部分是四边形．③如图中，当时，重叠部分是五边形．④如图中，当时，重叠部分是梯形；分别求解即可； （3）观察图，图，图，图可知，满足条件的的值为或或或． 【详解】（1）解：如图中，作于．则四边形是矩形，，． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为 （2）①如图中，当时，重叠部分是，． ②如图中，当时，重叠部分是四边形． ． ③如图中，当时，重叠部分是五边形． ④如图5中，当时，重叠部分是梯形， 综上所述， （3）能．理由如下： ①如图6中， ∵，， ∴当时，是等腰直角三角形． ②如图7中，， 即当时，是等腰三角形． ③如图8中，当时，是等腰三角形． ④如图9中，，则， 即当时，是等腰三角形． 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用所学知识解决问题，注意不能漏解． 25．（24-25八年级下·广西南宁·期中）综合与实践． 【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别9，12，15或，，的三角形就是型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】如图1：在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点N，然后展平． 【解决问题】 (1)请在图2中证明：四边形是正方形． (2)请在图4中判断与的数量关系，不用说明理由． (3)请在图4中证明：是型三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，由折叠的性质得，，先证明四边形是矩形，再由得到结论； （2）连接，由折叠得到，根据正方形的定义得到，证明，即可得到结论； （3）由折叠得：，设，则，在中，，解得，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：矩形纸片， ， 由折叠的性质得，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （2）解：， 连接，由折叠得到， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：四边形是正方形， 由折叠得：， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 故是型三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $