第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）（考试范围：四边形+平面直角坐标系全部内容）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：四边形+平面直角坐标系全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 2．（25-26八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的坐标特征，关键是掌握“平行于轴的直线上的所有点横坐标相同，纵坐标不相等”这一核心知识点．根据直线与轴平行的性质，得出、两点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：∵直线与轴平行，点，点， ∴，得； 故选：B． 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 4．（25-26八年级下·上海虹口·开学考试）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合表示弘义阁的点的坐标和表示本仁殿的点的坐标，画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【详解】解：如图所示： 表示乾清门的点的坐标是， 故选：B ． 5．（2026八年级·上海·专题练习）如图①，在的小正方形网格中，小正方形的边长都为1，四边形的顶点均在格点（网格线的交点）上．利用四边形的不稳定性，将小正方形网格变为小菱形网格，且小菱形的较小内角为60°，四边形也相应地变为了四边形，如图②，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由网格可知四边形是矩形，通过勾股定理求出，，然后根据矩形的面积公式可求出四边形的面积；再证明四边形是矩形，通过勾股定理求出，，然后根据矩形的面积公式可求出四边形的面积，由此可求解． 【详解】解：由网格可知四边形是矩形，，， ． ∵小菱形网格中，小菱形的较小内角为， ∴，同理， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 故选：D． 6．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点，连接，根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，结合已知可得出C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后根据平移规律求解即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 根据网格特征知：，D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵将线段沿射线方向平移得到线段， ∴C向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∵，，点为中点， ∴，即， ∴，即． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海虹口·模拟预测）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 8．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 【答案】二 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出a的值，再代入得到点B的坐标，最后根据各象限点的坐标特征判断点B所在象限． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标为0，点在y轴上， ∴， 将代入点B的坐标得，， ∴点B的坐标为， ∵第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点B在第二象限． 9．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，O是的重心，若的面积是30，则阴影部分的面积的和是______． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， 故答案为：． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，设，则，构造方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 设，则， ， ， 解得， 故． 11．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，．若点在坐标轴上，使的面积为，求点的坐标为___________． 【答案】或或或 【分析】分点在轴和轴两种情况，在轴上时，以为底，点纵坐标绝对值为高，根据面积公式列方程即可求；在轴上时，以为底，点横坐标绝对值为高，根据面积公式列方程即可求，进而得点坐标． 【详解】解：当点在轴上时 ， 设点的坐标为 ， ∴点到原点的距离为，此距离即为以为底边时的底边长， ∵点的坐标为，其纵坐标的绝对值，即为的高（点到轴的距离）， ∴根据三角形面积公式：， 解得：或； 故点的坐标为或， 当点在轴上时 ， 设点的坐标为， ∴点到原点的距离为，此距离即为以为底边时的底边长， ∵点的坐标为，其横坐标的绝对值，即为的高（点到轴的距离） ， ∴根据三角形面积公式，， 解得：或， 故点的坐标为或． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，位于处的1班准备前往相距的处与位于处的2班会合，用南偏西，就可以描述2班相对于1班的位置．反过来，1班相对于2班用方向和距离可描述为_______________． 【答案】北偏东， 【分析】本题考查了方位角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．根据方位角的概念，可得答案． 【详解】解：根据题意得：1班位于 处，2班位于处，如图所示： ∵2班在1班的南偏西处，； ∴1班在2班的北偏东，处． 故答案为：北偏东，． 13．（2026八年级下·上海闵行·专题练习）如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 14．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点对应刻度尺上的“2”，数轴上的点对应刻度尺上的“3”，以点为圆心，以为边的正方形的对角线为半径作弧交数轴于点．点在刻度尺上对应的数为_____． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，正方形的性质，实数与数轴．根据正方形的性质和勾股定理求出，即可求出点在刻度尺上对应的数． 【详解】解：如图，四边形是正方形， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴点在刻度尺上对应的数为， 故答案为： 由题意可得， 16．（2025·山西忻州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：由坐标系可得，则点B的对应点的坐标为，即． 17．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数），再逐项判断即可． 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数），（双数，单数）；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数），（双数，双数）， ∴位置是A种瓷砖， 故答案为：A． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是是解题的关键． 先根据多边形的外角和定理求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 21．（24-25八年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若P到y轴的距离为2，求m的值； (2)若点P的横纵坐标相等，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在第二象限内有一点Q，使轴，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)或5 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意得到，解方程即可求解； （2）根据题意得到，解方程即可求解； （3）根据坐标与图形的意义，即可求解． 【详解】（1）解：点P到y轴的距离为2， ， 或； （2）解：点P的横纵坐标相等， ， ， ； （3）解：∵轴， ∴点P与点Q的纵坐标相同，   ∴点Q的纵坐标为2，   ∵， ∴或，    ∵点Q在第二象限， ∴． 22．（2026·安徽铜陵·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度后得到，请画出； (2)画出关于轴对称的，并写出点，的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）分别将点、、向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度得到对应点、、，即可得到； （2）先利用关于轴对称的点的性质得到点、、的对应点、、，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． ． 23．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 24．（25-26八年级下·上海闵行·月考）请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： (1)问题背景： 小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则___________， ， ___________， 又， 为等边三角形， ___________， ，即． 类比运用： (2)如图2，与相交于点，，求线段的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）作，两线交于，连接，证是直角三角形，得，过点作于点，根据三线合一，勾股定理得则，根据四边形是平行四边形可得答案； 【详解】（1）证明：过点作且使．连接， ∴四边形为平行四边形，则． ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）解：过作，过作，两直线交于，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ∴． 25．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：四边形+平面直角坐标系全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 3．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海虹口·开学考试）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2026八年级·上海·专题练习）如图①，在的小正方形网格中，小正方形的边长都为1，四边形的顶点均在格点（网格线的交点）上．利用四边形的不稳定性，将小正方形网格变为小菱形网格，且小菱形的较小内角为60°，四边形也相应地变为了四边形，如图②，则（   ） A．1 B． C． D． 6．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，点，，的坐标分别为，，．连接，点为中点，连接，将线段沿射线方向平移得到线段，当点首次落在整点上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（2025·上海虹口·模拟预测）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 8．（25-26八年级下·上海·月考）若点在y轴上，则点在第________象限． 9．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，O是的重心，若的面积是30，则阴影部分的面积的和是______． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 11．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，．若点在坐标轴上，使的面积为，求点的坐标为___________． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，位于处的1班准备前往相距的处与位于处的2班会合，用南偏西，就可以描述2班相对于1班的位置．反过来，1班相对于2班用方向和距离可描述为_______________． 13．（2026八年级下·上海闵行·专题练习）如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 14．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点对应刻度尺上的“2”，数轴上的点对应刻度尺上的“3”，以点为圆心，以为边的正方形的对角线为半径作弧交数轴于点．点在刻度尺上对应的数为_____． 16．（2025·山西忻州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 17．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）学校万慈园计划用如图①所示的两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，位置是__________种瓷砖． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 20．（25-26八年级下·上海闵行·课后作业）如下图，，，，，是五边形的外角，且．求的度数． 21．（24-25八年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若P到y轴的距离为2，求m的值； (2)若点P的横纵坐标相等，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在第二象限内有一点Q，使轴，且，求点Q的坐标． 22．（2026·安徽铜陵·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度后得到，请画出； (2)画出关于轴对称的，并写出点，的坐标． 23．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 24．（25-26八年级下·上海闵行·月考）请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题： (1)问题背景： 小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题． 证明：过点作且使，连接， 四边形为平行四边形，则___________， ， ___________， 又， 为等边三角形， ___________， ，即． 类比运用： (2)如图2，与相交于点，，求线段的长； 25．（2025·广东深圳·模拟预测）综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $