第六章 专题微课 解三角形及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

专题微课　解三角形及其应用

 

[建构知识体系]

[融通学科素养]

1.浸润的核心素养

正、余弦定理在实际应用中的考查在高考中体现得特别明显,正符合了数学建模的核心素养;解决此类问题的关键是能作出示意图,故涉及直观想象的核心素养.

2.渗透的数学思想

(1)在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形,根据图形运算求解体现了数形结合的思想.

(2)用向量法推导正弦定理时,可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得,用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等都体现了分类讨论思想.

(3)在求解三角形中的边角问题时,用到函数与方程思想.

 

题型(一)　三角形面积问题

 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,且a2+b2-c2=ab.

(1)求B;

(2)若△ABC的面积为3+,求c.

解:(1)在△ABC中a2+b2-c2=ab,

由余弦定理可知cos C===.

因为C∈(0,π),所以C=.

因为sin C=cos B,所以cos B=,

又B∈(0,π),所以B=.

(2)由(1)可得B=,C=,则A=π--=,

sin A=sin=sin=×+×=,

由正弦定理得==,

从而a=·c=c,b=·c=c,

由三角形面积公式,可知S△ABC=absin C=·c·c·=c2,

由已知△ABC的面积为3+,可得c2=3+,所以c=2.

 

　　|思|维|建|模|　求解与三角形面积有关的问题的步骤

 

　　[针对训练]

1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,A=,b=1,则△ABC的面积为 (　　)

A. B. 

C. D.

解析:选B　由正弦定理可得===,又A=,b=1,则a=1,B=,所以△ABC是边长为1的正三角形,所以△ABC的面积为×12×=.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A.

(1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

解:(1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sin=sin B.由A+B+C=180°,可得sin=cos,故cos =2sin cos.因为cos≠0,所以sin=,所以B=60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.由(1)知A+C=120°,由正弦定理得a===+.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.结合A+C=120°,得30°<C<90°,所以<a<2,从而<S△ABC<.因此△ABC面积的取值范围是.

 

题型(二)　解三角形与平面几何相结合

 [例2]　如图,四边形ABCD的内角B+D=π,AB=6,DA=2,BC=CD,且AC=2.

(1)求B;

(2)若点P是线段AB上的一点,PC=2,求PA的值.

解:(1)设BC=CD=x>0,

在△ABC中,由余弦定理,

得AC2=36+x2-2×6xcos B=28,

即x2+8=12xcos B,　①