2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第一、二册第五、六章综合测评卷

第五章《三角函数》 第六章《平面向量及其应用》 综合测评 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则角（ ） A. B. C. D. 或 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知锐角满足，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 8.在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量在向量上的投影向量为 10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ） A． B．函数在上为增函数 C．直线是函数图象一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 11. 在三角形中，下列命题正确的有（ ） A．若，，，则三角形有两解 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则的形状是等腰或直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则______. 13. 已知，则的值是________． 14. 的三个内角，，所对的边分别为，，，为的中点，，，且，则 ________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求及在上投影的数量； （2）若，求与的夹角． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 已知，，且函数 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若为锐角且，求的值． 18. 如图，在四边形中，，，，，. （1）求的大小； （2）求的长； （3）求四边形的面积. 19. 已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为. （1）求的解析式； （2）若当时方程有唯一实根，求的范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章《三角函数》 第六章《平面向量及其应用》 综合测评 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C D D C C D ABD ABD BCD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 解：. 2. 函数的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 解：， 当时，，故是对称轴， 当时，，故不是对称轴， 当时，，故不是对称轴， 当时，，故不是对称轴， 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 解：由已知， 所以， 得，又， 所以. 4. 下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 解：根据函数的性质可知是周期，且是偶函数，故A不正确； 是周期为，且是奇函数，故B不正确； ，，且，所以函数是周期为的偶函数，故C不正确； 的周期，且是奇函数，故D正确. 5. 在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则角（ ） A. B. C. D. 或 解：因为，，， 所以由正弦定理可得， 因为在中，，所以或． 又因为，所以，所以或． 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解：由正弦定理得：，， ，三角形内角和等于180°，， 7. 已知锐角满足，则等于（ ） A. B. 或 C. D. 解：因为满足， 所以，. 由此可得. 又因为，所以， 8.在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 解：由题意可得，，， 若，恒成立， 则，恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 而，时等号成立， 故，即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量仅有 D. 向量在向量上的投影向量为 解：对A：，，所以，故A正确； 对B：，所以，故B正确； 对C：，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对D：向量在向量上的投影向量为， 故D正确． 10．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ） A． B．函数在上为增函数 C．直线是函数图象一条对称轴 D．点是函数图象的一个对称中心 解：因为的最小正周期为， 所以，即，所以， 对于A：应该为1，故A正确； 对于B：当时，， 函数在上为增函数，故B正确， 对于C：令，， 所以的对称轴为，， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误， 对于D：令，，解得，， 当时，，， 所以点是函数图象的一个对称中心，故D正确． 11. 在三角形中，下列命题正确的有（ ） A．若，，，则三角形有两解 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则的形状是等腰或直角三角形 解：由正弦定理得，即，得， 由，所以，所以为锐角，所以三角形有一解，故A错误； 若，则，，所以、为锐角， 则，所以， 所以为锐角，所以为钝角，则一定是钝角三角形，故B正确； 若， 所以，，， 则，则，则一定是等边三角形，故C正确； 若， 则由正弦定理得， 即， 则， 所以，则或， 所以或，所以的形状是等腰或直角三角形，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，满足，，，则______. 解：由可得，，即， 解得：，所以. 13. 已知，则的值是________． 解： , 所以， 则，即， 所以. 14. 的三个内角，，所对的边分别为，，，为的中点，，，且，则 ________. 解：2ccosB＝2a﹣b ⇒2sinCcosB＝2sinA﹣sinB ⇒2sinCcosB＝2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinB ⇒cosC， 所以C＝60°． 如图补成平行四边形ACBD， 则∠CAD＝120°，， 在△ADC中，由余弦定理得：， 所以：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求及在上投影的数量； （2）若，求与的夹角． 解：（1），． ．又，，． ，． 在上投影的数量为． （2），，，． ，，， ，与的夹角为． 16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 解：（1）在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． （2）在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 17. 已知，，且函数 （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若为锐角且，求的值． 解：（1） ， 最小正周期． 令，， 得，， 则，， 的单调递增区间为，. （2）由，得， 又因为为锐角，即，所以，． 又因为，所以 则． 所以 . 18. 如图，在四边形中，，，，，. （1）求的大小； （2）求的长； （3）求四边形的面积. 解：（1）在中，，，， 由余弦定理可得， 因为为三角形内角，所以. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 所以. （3）， ， 所以四边形的面积为. 19. 已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为. （1）求的解析式； （2）若当时方程有唯一实根，求的范围. 解：（1）由题意可得，可得， 而，可得， 再由图像上一个最低点为，可得， 且，，又因为，可得， 所以； （2）当时方程有唯一实根，即， 时有，设， 设， 当时方程有唯一实根，即时方程有唯一实根， 作出的图像如图所示， 当时，单调递减， 由图可得时满足方程有唯一实根， 所以. 即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$