6.4.3 第1课时 余弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,了解余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其变形,并能利用余弦定理解决相关问题. 1.余弦定理 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有 文字 语言 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号 语言 a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=,cos B=, cos C= 2.解三角形的定义 一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. |微|点|助|解| (1)余弦定理的特点 ①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. ②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. (2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2<a2+b2⇔C为锐角. (3)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 ①已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. ②若已知两边和一边的对角,可以用余弦定理解三角形. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. (　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的. (　　) (3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. (　　) (4)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例. (　　) (5)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=1,B=60°,则A= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=3,所以b=. 因为a2=b2+c2,所以△ABC为直角三角形,且AB⊥AC,故A=. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,则b= (　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析:选D　由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即6=b2+9-2b×3×, 整理可得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3. 题型(一)　已知两边和一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a的值; (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,解这个三角形. 解:(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3.所以a=. (2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°, 即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6. 当a=3时,A=B=30°,C=120°; 当a=6时,由余弦定理得cos A==0, 又0°<A<180°,所以A=90°,C=60°. 综上,当a=3时,A=30°,C=120°; 当a=6时,A=90°,C=60°. |思|维|建|模|　已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 　　[针对训练] 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=,B=60°,则c= (　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析:选C　由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得7=4+c2-2c,即(c-3)(c+1)=0,解得c=3.故选C. 2.△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若cos B=,c=5,a=3,则b= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由cos B=,c=5,a=3以及余弦定理得b===,故选D. 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [例2]　在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C的大小. 解:根据余弦定理的推论,得 cos A= ==. ∵A∈(0,π),∴A=. cos C===.∵C∈(0,π),∴C=.∴B=π-A-C=π--=,∴A=,B=,C=. 　　|思|维|建|模| 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 　　[针对训练] 3.若△ABC的三边长分别为3,6,7,则该三角形最大角的余弦值为 (　　) A.- B. C. D. 解析:选A　因为大边对大角,所以边长为7的边所对的角为最大角,设为θ,则cos θ==-,故选A. 4.若三角形三边长之比是1∶∶2,则其所对角之比是 (　　) A.1∶2∶3 B.1∶∶2 C.1∶∶ D.∶∶2 解析:选A　设三角形三边长分别为m,m,2m(m>0),最大角为A,则cos A==0,∴A=90°.设最小角为B,则cos B==,∴B=30°,∴C=60°. 故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 题型(三)　判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状. 解:将已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理,得 b2+c2-b2-c2 =2bc××, ∴b2+c2===a2. ∴A=90°.∴△ABC是直角三角形. 　　|思|维|建|模| 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)统一成边的关系后,注意等式两边不要轻易约分,否则可能会出现漏解. 　　[针对训练] 5.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin A=2sin B·cos C,试确定△ABC的形状. 解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴a2=b2+c2-bc.而a2=b2+c2-2bccos A, ∴2cos A=1.∴cos A=.∴A=60°. 又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, sin A=2sin B·cos C, ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0,∴B=C. 又∵B+C=120°,∴A=B=C=60°. 故△ABC为等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $