6.4.3 第1课时 余弦定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

6.4.3　余弦定理、正弦定理

第1课时　余弦定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

 [课时目标]

1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,了解余弦定理的推导过程.

2.掌握余弦定理及其变形,并能利用余弦定理解决相关问题.

1.余弦定理

在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有

 

2.解三角形的定义 

一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

 

|微|点|助|解|

(1)余弦定理的特点

①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立.

②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量.

(2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2<a2+b2⇔C为锐角.

(3)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题

①已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形.

②若已知两边和一边的对角,可以用余弦定理解三角形.

 

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. (　　)

(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的. (　　)

(3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. (　　)

(4)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例. (　　)

(5)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况. (　　)

答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×

2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=1,B=60°,则A= (　　)

A. B. 

C. D.

解析:选D　因为b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=3,所以b=.

因为a2=b2+c2,所以△ABC为直角三角形,且AB⊥AC,故A=.

3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,则b= (　　)

A.1 B. 

C.3 D.1或3

解析:选D　由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即6=b2+9-2b×3×,

整理可得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3.

题型(一)　已知两边和一角解三角形

 [例1]　(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a的值;

(2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,解这个三角形.

解:(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3.所以a=.

(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,

得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,

即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.

当a=3时,A=B=30°,C=120°;

当a=6时,由余弦定理得cos A==0,

又0°<A<180°,所以A=90°,C=60°.

综上,当a=3时,A=30°,C=120°;

当a=6时,A=90°,C=60°.

 

|思|维|建|模|　已知两边及一角解三角形的两种情况

(1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.

(2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.