6.4.3 第1课时 余弦定理 （导学案） 数学人教A版必修第二册

6.4.3 第1课时 余弦定理 导学案 1. 理解余弦定理的本质，掌握余弦定理的两种表示形式及推论，能阐述余弦定理与勾股定理的内在联系。 1. 掌握向量法证明余弦定理的思路，能通过推导过程体会向量运算在几何问题中的应用价值。 1. 能熟练运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类解三角形问题，掌握相关解题步骤与技巧。 1. 能利用余弦定理判断三角形形状，体会数学知识的实际应用价值，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 教学重点：1.余弦定理的推导过程（向量法），2.运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类基本问题。 教学难点：1.向量法证明余弦定理的思路构建，2.灵活运用余弦定理及推论解决复杂解三角形问题（如已知两边及一边对角求第三边、判断三角形形状），3.解题过程中对隐含条件的挖掘与运用。 知识点一　余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于 ．即a2＝ ，b2＝ ，c2＝ ． 知识点二　余弦定理的推论 cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝ ． 知识点三　解三角形 (1)一般地，三角形的 ， ， 和它们的 ， ， 叫做三角形的元素． (2) 叫做解三角形． 知识点四　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形． 导入新知 1：校园景观规划中的距离计算 学校计划在校园内打造三角形景观区域，其中两个景观节点A和B位于教学楼前的直线步道上，距离为18米。节点C将设置在图书馆旁的草坪上，从节点B到C的规划路径长12米，且步道AB与路径BC的夹角为120°。施工前需要精准测量节点A到C的直线距离，以便铺设灌溉管道；同时还要确定节点C相对于节点A的方位，确保景观布局合理。 请同学们思考： 1. 这个问题能转化为三角形中的什么问题？已知条件是什么？要求解的量是什么？ 2. 已知三角形的两边及它们的夹角，如何计算第三边的长度？ 3. 求出三边后，怎样确定未知角（即节点C相对于A的方位角）？ 导入新知 2：网购包裹的最短运输路线规划 某快递公司仓库位于城市A点，一位客户的收货地址是城市C点。快递员需先从仓库A将包裹送到中转站B，已知A到B的公路距离为25千米，行驶方向为正南方向；再从B中转站送到客户所在地C，B到C的公路距离为16千米，行驶方向为南偏东60°。为了优化配送效率，公司需要计算A到C的直线距离，判断是否存在更短的直达运输路线；同时要确定从A到C的行驶方位，为快递员提供导航参考。 请同学们思考： 1. 这个运输问题对应的三角形中，已知哪些边角关系？需要求解什么？ 2. 已知两边及夹角时，为什么不能用勾股定理计算第三边？需要怎样的新定理来解决？ 3. 若后续已知A、B、C三点之间的直线距离，如何判断三角形路线中哪个角是最大角（即运输路线中转弯角度最大的位置）？ 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系．例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS， SAS， ASA， AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系? 下面我们利用向量方法研究这个问题． 1．余弦定理 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么? 探究 在中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示? 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究． 如图6.4-8，设， ，，那么 ① 我们的研究目标是用，和表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量（即）与其自身作数量积运算． 由①得． 所以 同理可得 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理： 余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边． 思考 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢? 由余弦定理，可以得到如下推论： 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画． 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式． 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗? 如果中有一个角是直角，例如，，这时．由余弦定理可得，这就是勾股定理．由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． 一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving triangles)． 例5 在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到)． 【变式】已知的内角所对的边分别为，则边长（    ） A． B． C．或 D．4或 例6 在中，，，锐角满足，求（精确到）． 【变式】在中，若，则最大角的余弦是（    ） A． B． C． D．    1.（2026高二上·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 2.（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 6.（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 7.（25-26高二上·云南曲靖·期中）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 8.（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.（2025·云南·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1.（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 2.（多选题）（2025·辽宁沈阳·三模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（   ） A． B． C．a的最大值为2 D．的最小值为 3.（25-26高三上·河南周口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的最大值是（   ） A． B． C．3 D．4 4.（25-26高三上·安徽·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．知识清单： (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)余弦定理的简单应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 教材第44页练习第1〜3题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3 第1课时 余弦定理 导学案 1. 理解余弦定理的本质，掌握余弦定理的两种表示形式及推论，能阐述余弦定理与勾股定理的内在联系。 1. 掌握向量法证明余弦定理的思路，能通过推导过程体会向量运算在几何问题中的应用价值。 1. 能熟练运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类解三角形问题，掌握相关解题步骤与技巧。 1. 能利用余弦定理判断三角形形状，体会数学知识的实际应用价值，提升运用数学知识解决实际问题的能力。 教学重点：1.余弦定理的推导过程（向量法），2.运用余弦定理解决“已知两边及夹角求第三边” “已知三边求角”两类基本问题。 教学难点：1.向量法证明余弦定理的思路构建，2.灵活运用余弦定理及推论解决复杂解三角形问题（如已知两边及一边对角求第三边、判断三角形形状），3.解题过程中对隐含条件的挖掘与运用。 知识点一　余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 知识点二　余弦定理的推论 cosA＝，cosB＝，cosC＝． 知识点三　解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 知识点四　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形． [提示]　判定三角形形状时常用到的结论 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边三角形ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2. 导入新知 1：校园景观规划中的距离计算 学校计划在校园内打造三角形景观区域，其中两个景观节点A和B位于教学楼前的直线步道上，距离为18米。节点C将设置在图书馆旁的草坪上，从节点B到C的规划路径长12米，且步道AB与路径BC的夹角为120°。施工前需要精准测量节点A到C的直线距离，以便铺设灌溉管道；同时还要确定节点C相对于节点A的方位，确保景观布局合理。 请同学们思考： 1. 这个问题能转化为三角形中的什么问题？已知条件是什么？要求解的量是什么？ 2. 已知三角形的两边及它们的夹角，如何计算第三边的长度？ 3. 求出三边后，怎样确定未知角（即节点C相对于A的方位角）？ 设计意图 1. 情境贴近校园生活，学生熟悉且有代入感，能快速将实际问题与数学知识关联，降低抽象感。 2. 直接引出本节课核心考点“已知两边及夹角求第三边”，同时自然过渡到“已知三边求角”的后续问题，完美统领余弦定理的两类基本应用。 3. 以“景观规划”这一实际需求为切入点，让学生体会余弦定理的实用价值，激发主动探究解决问题的求知欲。 4. 问题链层层递进，从转化问题到核心运算再到拓展应用，符合学生的认知逻辑，为余弦定理的推导和应用做好铺垫。 导入新知 2：网购包裹的最短运输路线规划 引入情境 某快递公司仓库位于城市A点，一位客户的收货地址是城市C点。快递员需先从仓库A将包裹送到中转站B，已知A到B的公路距离为25千米，行驶方向为正南方向；再从B中转站送到客户所在地C，B到C的公路距离为16千米，行驶方向为南偏东60°。为了优化配送效率，公司需要计算A到C的直线距离，判断是否存在更短的直达运输路线；同时要确定从A到C的行驶方位，为快递员提供导航参考。 请同学们思考： 1. 这个运输问题对应的三角形中，已知哪些边角关系？需要求解什么？ 2. 已知两边及夹角时，为什么不能用勾股定理计算第三边？需要怎样的新定理来解决？ 3. 若后续已知A、B、C三点之间的直线距离，如何判断三角形路线中哪个角是最大角（即运输路线中转弯角度最大的位置）？ 设计意图 1. 选取“快递运输”这一生活中高频场景，贴近学生日常体验，让学生感受到数学知识在生活服务中的重要作用，提升学习兴趣。 2. 通过“勾股定理无法解决”的矛盾点，引发学生认知冲突，自然引出学习余弦定理的必要性，勾起学生探索新定理的求知欲。 3. 情境既包含“已知两边及夹角求第三边”的基础应用，又隐含“已知三边求角” “判断三角形最大角”的拓展需求，能统领整节课的核心内容，为余弦定理的推导、推论及应用搭建完整的问题框架。 4. 问题设计紧扣余弦定理与勾股定理的关系，为后续探究两者的内在联系埋下伏笔，帮助学生构建知识体系。 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系．例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系．对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS， SAS， ASA， AAS等判定三角形全等的方法．这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的．那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系? 下面我们利用向量方法研究这个问题． 1．余弦定理 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式是什么? 探究 在中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示? 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究． 如图6.4-8，设， ，，那么 ① 我们的研究目标是用，和表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量（即）与其自身作数量积运算． 由①得． 所以 同理可得 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理： 余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边． 思考 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢? 由余弦定理，可以得到如下推论： 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画． 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式． 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗? 如果中有一个角是直角，例如，，这时．由余弦定理可得，这就是勾股定理．由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例． 一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving triangles)． 1、 应用新知 例5 在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到)． 解：由余弦定理，得 所以 由余弦定理的推论，得 ， 利用计算器，可得． 所以． 【变式】已知的内角所对的边分别为，则边长（    ） A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理列式计算，即可求得答案. 【详解】由中，， 可得，即， 即，解得或， 经验证或适合题意， 故选：C 【感悟提升】　 1.已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角． (2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长． 2. 解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　 例6 在中，，，锐角满足，求（精确到）． 分析：由条件可求，再利用余弦定理及其推论可求出的值． 解：因为，且为锐角，所以． 由余弦定理，得 所以． 进而．利用计算器，可得． 【变式】在中，若，则最大角的余弦是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理求出，再根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 因此， 故选：C 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边．    1.（2026高二上·云南·学业考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理进行求解即可. 【详解】. 故选：C 2.（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量数量积的定义及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】先利用向量数量积的概念，结合余弦定理，探索三角形边的关系，再利用余弦定理结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】由，可得， 根据余弦定理，可得， 所以，即. 由，当且仅当，即时取等号. 故选：B 3.（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】直接利用余弦定理计算可得. 【详解】依题意由余弦定理得，又，所以. 故选：D 4.（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理求出，进而得到角的值. 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 5.（2025·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 6.（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 7.（25-26高二上·云南曲靖·期中）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由题可得,利用余弦定理求解即可. 【详解】因为是函数的零点，所以, 由余弦定理可得：, 则； 故选：A 8.（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 9.（2025·云南·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理及条件，结合基本不等式，可得，根据角B的范围，分析即可得答案. 【详解】在中，由余弦定理和，得 ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 10.（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意，得到，利用余弦定理，求得，结合角为锐角，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 1.（2026·湖北孝感·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 2.（多选题）（2025·辽宁沈阳·三模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（   ） A． B． C．a的最大值为2 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由数量积的定义即可判断A，由三角形的面积公式即可判断B，由余弦定理以及基本不等式即可判断C，由基本不等式的常数代换，即可判断D. 【详解】对于A，由可得，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 即，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 3.（25-26高三上·河南周口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的最大值是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再利用余弦定理结合基本不等式可得，进而可得的最大值. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 整理可得，所以， 因为，则， 可得，由正弦定理可得， 由余弦定理可得． 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以，且， 则，可得， 所以的最大值是. 故选：A. 4.（25-26高三上·安徽·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可． 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 故选：A． 1．知识清单： (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)余弦定理的简单应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 教材第44页练习第1〜3题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $