6.3.1 平面向量基本定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

　　　　　6.3　平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1　平面向量基本定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.理解平面向量基本定理及其意义,会判断两个向量能不能作为一个基底.

2.了解向量基底的含义.在平面内,当一个基底确定后,会用这个基底来表示其他向量.

平面向量基本定理的定义

 

|微|点|助|解|

对平面向量基本定理的理解

(1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.

(2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值.

(3){e1,e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0.

(4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底. (　　)

(2)零向量可以作为基向量. (　　)

(3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. (　　)

答案:(1)×　(2)×　(3)×

2.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于 (　　)

A. B. 

C. D.

解析:选B　如图,==(-)=2e1-3e2.

3.如图,向量可用向量e1,e2表示为　　　　. 

答案:4e1+3e2

4.已知向量a,b不共线,若λa+b=-a+μb,则λ=　　　　,μ=　　　　. 

解析:∵λa+b=-a+μb,

∴(λ+1)a+(1-μ)b=0.又∵a,b不共线,

∴λ+1=0且1-μ=0.即λ=-1,μ=1.

答案:-1　1

题型(一)　对平面向量基本定理的理解

 [例1]　(多选)设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,能作为平面向量的一个基底的是              (　　)

A.e1+e2和e1-e2

B.e1+2e2和e2+2e1

C.3e1-2e2和4e2-6e1

D.e2和e2+e1

解析:选ABD　e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一个基底;e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一个基底.故选ABD.

　　|思|维|建|模|

　　考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示.

　　[针对训练]

1.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一对向量是 (　　)

A., 　　　　B.,

C., 　　　　D.,