6.3.1 平面向量基本定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

　　　　　6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解平面向量基本定理及其意义,会判断两个向量能不能作为一个基底. 2.了解向量基底的含义.在平面内,当一个基底确定后,会用这个基底来表示其他向量. 平面向量基本定理的定义 条件 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 基底 若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 |微|点|助|解| 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值. (3){e1,e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底. (　　) (2)零向量可以作为基向量. (　　) (3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　如图,==(-)=2e1-3e2. 3.如图,向量可用向量e1,e2表示为　　　　.  答案:4e1+3e2 4.已知向量a,b不共线,若λa+b=-a+μb,则λ=　　　　,μ=　　　　.  解析:∵λa+b=-a+μb, ∴(λ+1)a+(1-μ)b=0.又∵a,b不共线, ∴λ+1=0且1-μ=0.即λ=-1,μ=1. 答案:-1　1 题型(一)　对平面向量基本定理的理解 [例1]　(多选)设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,能作为平面向量的一个基底的是 (　　) A.e1+e2和e1-e2 B.e1+2e2和e2+2e1 C.3e1-2e2和4e2-6e1 D.e2和e2+e1 解析:选ABD　e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一个基底;e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一个基底.故选ABD. 　　|思|维|建|模| 　　考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示. 　　[针对训练] 1.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一对向量是 (　　) A., 　　　　B., C., 　　　　D., 解析:选B　由题中图形可知与,与,与共线,不能作为基底向量,与不共线,可作为基底向量.故选B. 2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若{a,b}能作为一个基底,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.  解析:若{a,b}能作为一个基底,则向量a,b不共线.由题可知,若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4,即实数λ的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞). 答案:(-∞,4)∪(4,+∞) 题型(二)　用基底表示向量 [例2]　如图,已知▱ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点,若=a,=b,试以{a,b}为基底表示,. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, E,F分别是BC,DC边上的中点, ∴==2,==2. ∴==b,==-=-a. ∴=++=-++=-b+a+b=a-b,=+=+=b-a. 　　[变式拓展] 1.在本例中,若取=x,=y,以{x,y}作为一个基底,试用x,y表示,. 解:依题意x=a+b,y=a-b,∴x+y=2a,x-y=2b.∴a=(x+y),b=(x-y). 于是=a-b=(x+y)-(x-y)=x+y, =b-a=(x-y)-(x+y)=x-y. 2.在本例中,若取=e,=f,以{e,f}作为一个基底,试用e,f表示. 解:由例2,知=a-b=e,=b-a=f. 解得a=e+f,b=e+f. ∴=a-b=e+f-=e-f. 　　|思|维|建|模| 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据: ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则; ②向量减法的几何意义,向量的数乘的几何意义. (2)模型: 　　[针对训练] 3.如图,点A,B,C,P均在正方形网格的格点上.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+2μ= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选B　设在正方形网格中,方向为水平向右,长度为一格的向量为i,方向为竖直向上,长度为一格的向量为j,∴=-2i+2j,=4i,=i+j.∵=λ+μ(λ,μ∈R),即i+j=λ(-2i+2j)+μ×4i=(4μ-2λ)i+2λj,∴解得∴λ+2μ=.故选B. 4.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为　　　　.  解析:如图所示.∵A,M,Q三点共线,∴=x+(1-x)=+(1-x).又∵=+,=t,∴ 解得t=. 答案: 题型(三)　平面向量基本定理的应用 [例3]　如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN的值. 解:设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分别共线, ∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-3λe2, =μ=2μe1+μe2.故=+=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而=+=2e1+3e2, 由平面向量基本定理,得解得 ∴=,=, ∴AP∶PM=4,BP∶PN=. 　　[变式拓展] 　若本例中的点N为AC的中点,其他条件不变,求AP∶PM与BP∶PN的值. 解:如图,设=e1,=e2,则=+=-2e2-e1, =+=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分别共线, ∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-2λe2, =μ=2μe1+μe2. 故=+=-=(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2.而=+=2e1+2e2,由平面向量基本定理,得解得 ∴=,=, ∴AP∶PM=2,BP∶PN=2. 　　|思|维|建|模| 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底; (2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题; (3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解; (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 　　[针对训练] 5.如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=,设=a,=b. (1)试用a,b表示,,; (2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线. 解:(1)=+=+=+=a+b; =+=+=+=a+b; =+=-+=-+a+b=a-b. (2)证明:由(1)知=a+b,=a+b, 设=λ+μ, 则a+b=λ+μ=a+b,即解得 故=+,+=1, 故E,G,F三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $