6.3.1 平面向量基本定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

6.3.1　平面向量基本定理 (教师独具内容) 课程标准：理解平面向量基本定理及其意义． 教学重点：平面向量基本定理的探究，用基底表示平面中的任一向量． 教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用． 核心素养：1.通过平面向量基本定理的推导过程培养数学抽象素养和逻辑推理素养.2.通过平面向量基本定理的应用进一步提升逻辑推理素养． 知识点　平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 [注意]　(1)基底不唯一．当基底确定时，分解形式唯一． (2)设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 (3)设{e1，e2}是平面内一个基底，若a＝λ1e1＋λ2e2，当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝0时，a与e2共线；当λ1＝λ2＝0时，a＝0. (4)对于平面内任意一点O，使P，A，B三点共线的充要条件是：存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. 1．(基底的选取)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是(　　) A．{e1，e2} B．{e1＋e2，3e1＋3e2} C．{e1，5e2} D．{e1，e1＋e2} 答案：B 2．(用基底表示向量)(2024·海南屯昌中学高一下期中)如图所示，△ABC中，D是线段BC的中点，E是线段AD上靠近点A的三等分点，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 答案：A 3．(平面向量基本定理的应用)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝______，y＝______． 答案：－15　－12 4．(用基底表示向量)已知▱ABCD的两条对角线相交于点M，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示＝________，＝________． 答案：b－a　－a－b 题型一　平面向量基本定理的理解 例1　(1)下列说法中正确的是(　　) ①一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②零向量不可作为基底中的向量；③对于平面内的任一向量a和一个基底{e1，e2}，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的． A．② B．①②③ C．②③ D．①③ [解析]　因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一个基底，故①②正确；由平面向量基本定理知③正确．综上可得，①②③正确． [答案]　B (2)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： ①{，}；②{，}；③{，}；④{，}． 其中可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ [解析]　①与不共线；②＝－，则与共线；③与不共线；④＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一个基底，故①③满足题意． [答案]　B 【感悟提升】　能作为基底的条件 考查两个向量能否作为基底，主要看两个向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一表示． 【跟踪训练】 1．设{e1，e2}是平面内一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2，4e2－6e1} C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e2＋e1} 答案：B 解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底． 题型二　用基底表示向量 例2　如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，. [解]　＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋＝－＋＋＝b－a. [条件探究]　将本例中的向量“，”改为“，”，即“若＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量，”，如何求解？ 解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 【感悟提升】　用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据 ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义． (2)模型 【跟踪训练】 2．在△ABC中，D，E，F依次是边AB的四等分点，若＝e1，＝e2，试用e1，e2表示. 解：＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2. 题型三　平面向量基本定理的综合应用 例3　(1)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为________． [解析]　解法一：设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，从而消去λ，得＋＝3. 解法二：由题意知＝×(＋)＝＝＋，因为P，G，Q三点共线，则由三点共线的性质定理可知＋＝1，即＋＝3. [答案]　3 (2)如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN. [解]　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. ∵点A，P，M和点B，P，N分别共线， ∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2， ＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2， 又＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理， 得解得 ∴＝，＝. 故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 【感悟提升】　平面向量基本定理的作用及注意点 (1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算． (2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，构建方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求出未知向量． 【跟踪训练】 3．(1)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，线段OD上有一点M满足＝3，线段CO上有一点N满足＝λ(λ>0)，设＝a，＝b，已知＝μa－b，试求实数λ，μ的值． 解：依题意，得＝b－a，＝a＋b， 且＝＝(a－b)＝a－b，＝＋＝＝(a＋b)， 所以＝＋＝b＋＝a＋b，＝＋＝a＋b＋＝a＋b， 即＝(a＋b)＝a＋b， 由平面向量基本定理，得 解得 (2)用向量法证明三角形的三条中线交于一点． 证明：如图，设＝a，＝b，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则＝a－b，＝a－b，＝－a＋b. 设AD与BE交于点G1，且＝λ，＝μ， 则＝λa－b，＝－a＋μb. 因为＝＋＝a＋(μ－1)b， 所以 解得λ＝μ＝，即＝. 再设AD与CF交于点G2，同理可得＝， 故点G1，G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点， 故三角形的三条中线交于一点． 1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则＝(　　) A．a－b B．2(b－a) C．2(a－b) D．b－a 答案：B 解析：如图，a＝(＋)，b＝(＋)，相减，得b－a＝(－)，所以＝2(b－a)． 2．(2024·福建福州一中高一月考)在△ABC中，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋(m∈R)，则m的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 解析：由＝2可得＝，即＝m＋＝m＋，因为C，P，D三点共线，所以m＋＝1，所以m＝.故选C. 3．(多选)已知{e1，e2}是平面内一个基底，下列说法正确的是(　　) A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数) C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在该平面内 D．某向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝ 答案：AC 解析：由基底的定义可知，e1和e2是平面内不共线的两个向量，所以若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0，故A正确；不是空间内任一向量都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，而是平面内的任一向量a，都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2的形式，故B错误；对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在该平面内，故C正确；当λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0时，D错误． 4．如图，在△ABC中，点P满足BP＝3，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则λ＋3μ的最小值为________． 答案：4 解析：连接AP，因为＝3，故－＝3(－)，所以＝＋，故＝＋，而P，M，N三点共线，故 ＋＝1，故λ＋3μ＝(λ＋3μ)＝＋≥4，当且仅当λ＝μ＝1时，等号成立，故λ＋3μ的最小值为4. 5．在△ABC中，＝，＝，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示. 解：如图，取AE的三等分点M， 使AM＝AE，连接DM， 则DM∥BE. 设AM＝t(t＞0)， 则ME＝2t. 又AE＝AC， ∴AC＝12t，EC＝9t， ∵DM∥BE，则＝＝， ∴CP＝CD，∴DP＝CD， ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝a＋b. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ ★ 对点 基底的选取 用基底表示向量 平面向量基本定理的应用 用基底表示向量 用基底表示向量 用基底表示向量 向量共线问题 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理的应用 题号 10 11 12 13 14 15 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理的应用 用基底表示向量；向量共线定理的应用 用基底表示向量；向量共线定理的应用 一、选择题 1．(2024·四川攀枝花三中高一下月考)已知{a，b}是平面内的一个基底，则可以与向量m＝a－b构成平面内另一个基底的向量是(　　) A．0 B．b－a C．a＋b D．2a－2b 答案：C 解析：易得向量m＝a－b与向量0，b－a，2a－2b平行，不能构成平面内的一个基底，由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知，a－b与a＋b不共线，所以a＋b与m＝a－b可构成平面内的另一个基底．故选C. 2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝(　　) A．(e1＋e2) B．(e1－e2) C．(2e2－e1) D．(e2－e1) 答案：A 解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)．故选A. 3．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 答案：D 解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝. 4．(2024·山东威海高一下期末)在△ABC中，＝a，＝b，D为AB的中点，E为BC上一点，且＝2，AE交CD于点F，则(　　) A．＝a＋b B．＝a＋b C．＝a＋b D．＝a＋b 答案：D 解析：依题意＝，又＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝ ＋，因为A，F，E三点共线，所以＝λ＝＋，又D，F，C三点共线，所以＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ)，因为，不共线，所以解得所以＝＋＝a＋b.故选D. 5．(多选)(2024·云南昆明行知中学高一下期末拉练三)在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC，＝3，＝2，设＝a，＝b，则下列表示正确的是(　　) A．＝－a＋b B．＝a＋b C．＝a－b D．＝－a＋b 答案：BD 解析：对于A，＝＋＋＝－－＋＝a－b，故A不正确；对于B，＝＝(＋)＝＝＝a＋b，故B正确；对于C，＝＋＋＝－－＋＋＝－a－b，故C不正确；对于D，＝－＝＋－＝－a＋b，故D正确．故选BD. 二、填空题 6．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以{a，b}为基底时，可表示为________，在以{a，c}为基底时，可表示为________． 答案：a＋b　2a＋c 解析：以{a，b}为基底时，由平行四边形法则得＝＋＝a＋b.以{a，c}为基底时，＝＋＋＝a＋c＋a＝2a＋c. 7．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________． 答案：－2或 解析：由题设，知＝，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或. 8．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________． 答案： 解析：在Rt△ABH中，AB＝2，∠ABC＝60°，∴BH＝AB＝1，∵BC＝3，∴BH＝BC，∴＝＋＝＋.∵M为AH的中点，∴＝＝＋.又＝λ＋μ，∴λ＋μ＝＋＝. 三、解答题 9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：{a，b}可以作为一个基底； (2)以{a，b}为基底，表示向量c＝3e1－e2； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得 ⇒ ∴λ不存在，故a与b不共线，{a，b}可以作为一个基底． (2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2， ∴⇒ ∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴⇒ 10．如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0，求证：l＝m＝n. 证明：令＝a，＝b，则{a，b}为一个基底， 根据已知有＝la，＝mb. ∵＝＋＝－a－b， 则有＝n＝－na－nb. ∴＝＋＝(l－1)a－b， ＝＋＝a＋mb， ＝＋＝－na＋(1－n)b， 又＋＋＝0， ∴(l－n)a＋(m－n)b＝0. 根据平面向量基本定理，有l－n＝m－n＝0. 故l＝m＝n. 11．(2024·湖北武汉华师一附中高一下学业水平质量评价检测)已知A，B，P是直线l上不同的三点，点O在直线l外，若＝m＋(2m－3)(m∈R)，则＝(　　) A．2 B． C．3 D． 答案：A 解析：∵＝－，＝m＋(2m－3)＝m(－)＋(2m－3)，整理得，(m－1)＝m＋(3－2m)，当m＝1时，0＝＋，显然不成立，故m≠1，∴＝＋，∵A，B，P是直线l上不同的三点，∴＋＝1，解得m＝2，∴＝2－.设＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝－，∴＝2，解得λ＝2，即＝2.故选A. 12．(多选)已知在等边三角形ABC中，AB＝2，D为AC的中点，E为BD的中点，延长CE交AB于点F，则(　　) A．＝＋ B．＝2 C．·＝ D．S△DEC＝2S△BEF 答案：AB 解析：如图，＝＋＝＋，故A正确；设＝k，则＝＋，又E，F，C三点在一条直线上，故＋＝1，故k＝，即＝，＝，故＝2，故B正确；＝＝(＋)，故·＝(·＋·)＝×(－2＋2)＝0，故C错误；S△DEC＝S△BEC＝S△BDC＝S△ABC，S△BEF＝S△FBC－S△BEC＝S△ABC－S△ABC＝S△ABC，故S△DEC＝3S△BEF，故D错误．故选AB. 13．(2024·河北唐山开滦一中月考)已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若＝x＋3y，则＋的最小值为________． 答案：16 解析：由已知可得，M，B，C三点共线，所以∃λ∈R，使得＝λ，所以－＝λ－λ，整理可得，＝(λ＋1)－λ.又＝x＋3y，，不共线，所以则x＋3y＝1.显然x，y>0，所以＋＝(x＋3y)＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立．所以＋的最小值为16. 14．(2024·四川绵阳中学高一下月考)如图，O，A，B三点不共线，＝2，＝3，BC，AD交于点E，设＝a，＝b. (1)试用a，b表示向量； (2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线． 解：(1)∵B，E，C三点共线， ∴＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b，① 同理，∵A，E，D三点共线， 可得＝ya＋3(1－y)b，② 由①②得解得 ∴＝a＋b. (2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝， ∴＝－＝，＝－＝， ∴＝6，∴L，M，N三点共线． 15．(2024·江苏南京燕子矶中学高一下期中)如图，在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近点O的一个三等分点，AD与BC交于点M.设＝a，＝b. (1)用a，b表示； (2)过点M的直线与边OA，OB分别交于点E，F.设＝pa，＝qb，求＋的值． 解：(1)设＝xa＋yb， 则＝－＝(x－1)a＋yb， ＝－＝－a＋b， ∵A，M，D三点共线，∴，共线， ∴(x－1)＝－y.① ∵C，M，B三点共线，∴，共线， 又＝－＝xa＋(y－1)b，＝－＝a－b， ∴(y－1)＝－x.② 联立①②，解得故＝a＋b. (2)∵＝－＝a＋b－pa ＝a＋b， ＝－＝qb－pa，且，共线， ∴q＝－p， 整理得＋＝5. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$