6.1 平面向量的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

　平面向量及其应用 6.1　平面向量的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 1.通过力的分析等实例,了解向量的实际背景;理解向量的概念. 2.理解向量的几何表示;掌握零向量、单位向量、平行向量等概念. 3.理解相等向量和共线向量的概念,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量. 逐点清(一)　向量的概念与表示 [多维理解] 1.向量与数量 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 数量 只有大小没有方向的量称为数量 2.向量的表示 (1)有向线段 ①定义:具有方向的线段叫做有向线段. ②要素:起点、方向、长度. ③表示方法及长度:以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||. (2)向量的表示方法 ①几何表示:向量可以用有向线段来表示,记作,有向线段的长度||表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示.(印刷用黑体a,书写用) 3.向量的相关概念 向量的 长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称模),记作|| 零向量 长度为0的向量叫做零向量,记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)有向线段与向量不是同一个概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量,每一个向量对应无数个有向线段. (3)注意 0 与 0 的区别及联系, 0 是一个实数, 0是一个向量,且|0|=0.零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量. (4)单位向量有无数多个,它们的大小相等,但方向不一定相同. (5)向量不能比较大小,它的模可以比较大小. [微点练明] 1.下列说法正确的是 (　　) A.身高是一个向量 B.平面直角坐标系上的x轴,y轴都是向量 C.温度包含零上和零下,所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力、重力都是向量 答案:D 2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 (　　) A.可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M 解析:选D　终点是N而不是M. 3.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 解析:选ACD　两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的模都是0;单位向量的长度都是1个单位长度,故A、C、D正确. 4.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中不同的点为起点和终点,可以写出　　　　　个向量.  解析:由向量的几何表示知可以写出12个向量,它们分别是,,,,,,,,,,,. 答案:12 逐点清(二)　相等向量与共线向量 [多维理解] 平行 向量 (共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.向量a与b平行,记作a∥b 规定零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a 相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作a=b |微|点|助|解| (1)共线向量定义强调指的是非零向量; (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同; (3)相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量; (4)向量相等具有传递性,即若 a=b, b=c, 则a=c.而向量的平行不具有传递性. [微点练明] 1.下列命题正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b B.若|a|>|b|,则a>b C.若a=b,则a∥b D.若|a|=0,则a=0 解析:选C　对于A,由|a|=|b|可得a与b的长度相等,但方向不一定相同,所以a与b不一定相等,所以A错误;对于B,由|a|>|b|可得a的长度大于b的长度,而向量是既有大小又有方向的量,不能比较大小,所以B错误;对于C,由a=b可得a与b的长度相等,方向相同,所以有a∥b,所以C正确;对于D,由|a|=0,可得a=0,而不是0,所以D错误. 2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有 (　　) A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 解析:选C　由题意知,每个小正方形的边长为1,则对角线长为.因为每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,3×4的格点图中包含12个小正方形,所以共有24个向量满足要求. 3.(多选)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.∥ D.与共线 解析:选ACD　如图,因为,方向相同,长度相等,故=,故A正确;因为,方向不同,故≠,故B错误;因为B,O,D三点共线,所以∥,故C正确;因为AB∥CD,所以与共线,故D正确. 4.如图,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点. (1)写出与共线的向量; (2)写出与的模相等的向量; (3)写出与相等的向量. 解:(1)因为E,F分别是AC,AB的中点,所以EF∥BC,EF=BC.又因为D是BC的中点,所以与共线的向量有,,,,,,. (2)与的模相等的向量有,,,,. (3)与相等的向量有,. 逐点清(三)　向量的作法 [典例]　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量,,; (2)求的模. 解:(1)作出向量,,,如图所示. (2)连接AD,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD, 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以||=||=200 km,故的模为200 km. 　　|思|维|建|模| 用有向线段表示向量的步骤 　　[针对训练] 在如图所示的坐标纸中(每一个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量. (1)||=3,点A在点O正西方向; (2)||=3,点B在点O北偏西45°方向. 解: 学科网（北京）股份有限公司 $