10.1.3 第2课时 古典概型的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

10.1.3 第2课时 古典概型的综合问题 [课时跟踪检测] 1.小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习,则小林没有选择冰壶的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A,B,C,D,则从这四个项目中任意选两项的情况有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,其中没有选择冰壶的有BC,BD,CD,共3种,所以所求概率为=. 2.从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a,从集合{3,4,6}中随机地取一个数b,则向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　依题意,向量m=(b,a)的不同结果有(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),共12个,由m·n=-b+2a=0,得b=2a,则m⊥n的事件有(4,2),(6,3),共2个,所以向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为P==. 3.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},∴共含有12个样本点.函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增,①当a=0时,f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1;②当a≠0时,需要满足≤1,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4种.∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是P=. 4.某商场对某一商品搞活动,已知该商品每个的进价为3元,售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元.从题中条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天.设日销售量为20个的3天分别记为a,b,c,日销售量为21个的2天分别记为A,B,从这5天中任选2天,可能的情况有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),共10种,其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有(A,B)1种,所以所求概率为P=. 5.若a∈A且a-1∉A,a+1∉A,则称a为集合A的孤立元素.若集合M={1,2,3,4,5,6},集合N为集合M的三元子集,则集合N中的元素都是孤立元素的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　集合M={1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,4,5},{1,4,6},{1,5,6},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},共20个.满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5},{1,3,6},{1,4,6},{2,4,6},一共4种.由古典概率模型公式,可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P==. 6.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 (　　) A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点总数为16 C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点总数为16 解析:选ACD　记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P==,故A正确;每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,故B错误;“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,故C正确;每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,故D正确. 7.(5分)从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数,则两个数都是奇数的概率是　　　　.若有放回地任取两个数,则两个数都是偶数的概率是　　　　.  解析:从5个数字中不放回地任取两个数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,且每个样本点出现的可能性相等.因为都是奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,故所求概率P=.从5个数字中有放回地任取两个数,样本点共有25个,且每个样本点出现的可能性相等,都为偶数的样本点有(2,4),(4,2),(2,2),(4,4),共4个,故概率P=. 答案:　 8.(5分)从1,2,3,4,5,6中随机选取2个不同的数字组成logab(a>0,且a≠1),则恰好能使得logab<1的概率是　　　　.  解析:用(a,b)表示随机选取的2个不同的数字,则试验的样本空间是Ω={(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含25个样本点,记能使得logab<1(a>0,且a≠1)为事件A,则A={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含15个样本点,故所求概率P==. 答案: 9.(10分)已知函数f(x)=ax2-bx-1,集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8},若分别从集合P,Q中随机抽取一个数a和b,构成数对(a,b). (1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)”,求事件A的概率;(5分) (2)记事件B为“方程=2有4个根”,求事件B的概率.(5分) 解:(1)由题知a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,6,8},所以数对(a,b)的可能取值为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16对.若函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞),则函数f(x)的对称轴为x==1,即b=2a, 所以满足条件的样本点有(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),共4对,所以事件A的概率为P(A)==. (2)因为a>0,二次函数开口向上,所以方程|f(x)|=2有4个根,即为f(x)=2和f(x)=-2,各有2个根,所以二次函数f(x)=ax2-bx-1的最小值小于-2. 所以<-2,即b2>4a,满足条件的样本点有(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11对,所以事件B的概率P(B)=. 10.(15分)某商场做促销活动,顾客每购满100元可抽奖一次.在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球,其中3个红球、1个黑球、1个黄球.某顾客购满100元,可抽奖一次. (1)若从中依次不放回地取出2个球,取出的球中有黄球,则送一件价值10元的礼品,求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率;(7分) (2)若从口袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,当取出的2个球中没有红球时,送一件价值50元的礼品,问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗?(8分) 解:(1)3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b. 从袋中依次不放回地取出2个球,所包含的样本点为(1,2),(1,3),(2,3),(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(2,1),(3,1),(3,2),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共20个,有黄球的样本点为(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共8个,所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为=. (2)从袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,所包含的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共25个, 取出的2个球中没有红球的样本点为(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共4个, 所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为<20%, 所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%. 学科网（北京）股份有限公司 $