8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质定理 [课时跟踪检测] 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1,则 (　　) A.B1B⊥l B.B1B∥l C.B1B与l异面但不垂直 D.B1B与l相交但不垂直 解析:选B　因为B1B⊥平面A1C1,且l⊥平面A1C1,所以l∥B1B. 2.已知△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是 (　　) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 解析:选C　因为l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以l⊥平面ABC.又m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C,BC,AC⊂平面ABC,所以m⊥平面ABC.由直线与平面垂直的性质定理知l∥m. 3.(2024·天津高考)若m,n为两条直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是 (　　) A.若m∥α,n∥α,则m⊥n B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m∥α,n⊥α,则m与n相交 解析:选C　若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A、B错误;若m∥α,n⊥α,则m⊥n,且m与n可能相交,也可能异面,故C正确,D错误. 4.已知平面α∥平面β,m⊂α,n⊂β,且直线m与n不平行.记平面α,β的距离为d1,直线m,n的距离为d2,则 (　　) A.d1<d2 B.d1=d2 C.d1>d2 D.d1与d2大小不确定 解析:选B　因为平面α∥平面β,m⊂α,n⊂β,且直线m与n不平行,所以平面α,β的距离等于直线m,n的距离,即d1=d2.故选B. 5.(多选)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是 (　　) A.若m⊥n,n⊂α,则m⊥α B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n D.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n 解析:选BC　对于A,直线m垂直于平面α内的一条直线n,则直线m与平面α不一定垂直,所以A不是真命题;对于B,是直线与平面垂直的定义的应用,所以B是真命题;对于C,是直线与平面垂直的性质定理,所以C是真命题;对于D,分别在两个平行平面α,β内的直线m,n平行或异面,所以D不是真命题.故选BC. 6.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A∉α,B∉α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD= (　　) A.2 B.1 C. D. 解析:选A　因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.连接OD,所以=.因为OA=AB,所以=.因为AC=1,所以BD=2.故选A. 7.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则 (　　) A.直线BC1与DA1的夹角为90° B.直线BC1与CA1的夹角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 解析:选ABD　如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1.所以直线BC1与DA1的夹角为90°,故A正确. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1.连接B1C,则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1.又CA1⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1.所以直线BC1与CA1的夹角为90°,故B正确. 连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D.连接OB,因为OB⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则易得BC1=a,OC1=,所以在Rt△BOC1中,OC1=BC1.所以∠OBC1=30°,故C错误. 因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角.易得∠CBC1=45°,故D正确.故选ABD. 8.(5分)如图,已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,且AF=DE,AD=6,则EF=　　　　. 解析:因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE.又AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形.所以EF=AD=6. 答案:6 9.(5分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件　　　　时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).  解析:当BD⊥AC时,BD⊥AA1,所以BD⊥平面AA1C,从而BD⊥A1C.又B1D1∥BD,所以A1C⊥B1D1. 答案:BD⊥AC 10.(5分)已知线段AB在平面α的同侧,A,B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为　　　　.  解析:如图,设AB的中点为M,分别过A,M,B向α作垂线,垂足分别为A1,M1,B1.则由线面垂直的性质可知,AA1∥MM1∥BB1.四边形AA1B1B为直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1为其中位线,∴MM1=4. 答案:4 11.(5分)已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,若AB+CD=33,且AB,CD在β内射影长分别为5和16,则α与β间的距离为　　　　.  解析:如图,过点A作AE⊥β,垂足为E,过点C作CF⊥β,垂足为F,由题意可知,BE=5,DF=16,设AB=x,CD=33-x,则x2-25=(33-x)2-256,解得x=13,∴平面α与β间的距离AE==12. 答案:12 12.(5分)已知∠ACB=90°,M为平面ABC外一点,MC=,点M到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么M到平面ABC的距离为　　　　.  解析:如图,作MD,ME分别垂直于AC,BC,MO⊥平面ABC,连接CO,则CD⊥MD,CD⊥MO,MD∩MO=M,MD⊂平面MDO,MO⊂平面MDO,∴CD⊥平面MDO,又OD⊂平面MDO,∴CD⊥OD.又CD⊥MD,MD=ME=,MC=,∴CD==1.同理,CE=1.∴Rt△CDO∽Rt△CEO,则CO为∠ACB的平分线,∴∠OCD=45°,OD=CD=1,OC=,又MC=,∴MO==1. 答案:1 13.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC. 求证:MN∥AD1. 证明:因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,A1D,CD⊂平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1. 14.(10分) 如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC. 求证:=. 证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD, ∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC. 又EF⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,∴EF⊥平面PAC.∴EF∥BD.∴=. 15.(15分) 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中: (1)求证:A1A∥平面BB1D1D;(5分) (2)若AB=4,AD=3,求A1A到平面BB1D1D的距离.(10分) 解:(1)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥BB1, 又BB1⊂平面BB1D1D,AA1⊄平面BB1D1D,所以A1A∥平面BB1D1D. (2)由(1)知A1A∥平面BB1D1D,则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等. 如图,过点A作AH⊥BD交BD于H,易知BB1⊥平面ABCD, 因为AH⊂平面ABCD,所以BB1⊥AH. 因为BB1∩BD=B, 所以AH⊥平面BB1D1D, 即AH的长为直线A1A到平面BB1D1D的距离. 在△ABD中,AB=4,AD=3,则BD=5. 由等面积法得AH===, 所以A1A到平面BB1D1D的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $