8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、 棱台的表面积和体积 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？ 一 、创设情境·引入新课 一 、创设情境·引入新课 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 二 、课堂互动·探究新知 什么是面积？ 面积:平面图形所占平面的大小 S=ab a b A a h B C a b h a b A r 圆心角为n° r c 二 、课堂互动·探究新知 特殊平面图形的面积 正三角形的面积 正六边形的面积 正方形的面积 a a a 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 棱柱的表面积 =2底面积+侧面积 棱锥的表面积 =底面积+侧面积 棱台的表面积 =上底面积+下底面积+侧面积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 体积:几何体所占空间的大小 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离 棱柱、棱锥、棱台的体积 关于体积问题做如下说明： （1）相同的几何体的体积相等； （2）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和； （3）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等； （4）体积相等的两个几何体叫做等积体. 棱柱、棱锥、棱台的体积 【探究】将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？ 1 2 3 1 2 3 棱柱、棱锥、棱台的体积 【思考】推广到一般的棱锥，你猜想锥体的体积公式是什么？ 高h 底面积S 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离 棱柱、棱锥、棱台的体积 【思考】根据棱台定义，如何计算台体的体积？ 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面 作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离 棱柱、棱锥、棱台的体积 【探究】设棱台的上、下底面面积分别为S′和S，高为h，那么棱台的体积公式是什么？ 棱柱、棱锥、棱台的体积 上底扩大 上底缩小 四 、深化探究·提升素养 棱柱、棱锥、棱台的体积 分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和. 解：由题意知, . 所以这个漏斗的容积. 三 、归纳小结·提高认识 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键． 2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”． 四 、布置作业·检测目标 教材P116第1、2、3、4题. 【例1】如图，四面体 的各棱长均为 ，求它的表面积. 解：先求△ 的面积,过点 作 ,交 于点 ． 因为 , 所以 因此,四面体的表面积 【分析】因为四面体 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍. （ 是正方体的棱长） （ ， ， 分别是长方体的长、宽、高）. 一般地，如果棱柱的底面积是 ，高是 ，那么这个棱柱的体积 . 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 因此，一般地，如果棱锥的底面积为 ，高为 ，那么该棱锥的体积 . 【思考】观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式 ， ， ， 它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 【例2】如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥。 两部分的高都是 ，共同面 是边长为 的正方形，那么这个漏斗 的容积是多少立方米（精确到 ）？ $$