7.1.2 复数的几何意义 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

7.1.2　复数的几何意义 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若z是实数,则z= B.若z=,则z是实数 C.若=-z,则z是纯虚数 D.若z是纯虚数,则=-z 答案:ABD 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 解析:选C　由z=-1-i,得|z|==. 3.设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选C　由已知可得,=-3-2i,故 对应的点为(-3,-2),位于第三象限. 4.在复平面内,复数z1=-1+i与复数z2对应的点关于实轴对称,则|z2|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选B　z1=-1+i,其在复平面内对应的点为(-1,1). 因为复数z1与复数z2对应的点关于实轴对称,在复平面中,关于实轴对称的点横坐标不变,纵坐标互为相反数,所以z2对应的点为(-1,-1),那么复数z2=-1-i. 由z2=-1-i,其中a=-1,b=-1,将其代入模的计算公式可得|z2|===. 5.在复平面内,O为坐标原点,复数1-i,-1+2i对应的向量分别是,,则对应的复数为 (　　) A.-2+3i B.i C.2-3i D.-i 解析:选A　因为复数1-i,-1+2i在复平面内对应的点为M(1,-1),N(-1,2), 即=(1,-1),=(-1,2),所以=-=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),则对应的复数为-2+3i. 6.(多选)已知复数z=1+i(其中i为虚数单位),则以下说法正确的是 (　　) A.复数z的虚部为i B.|z|= C.复数z的共轭复数=1-i D.复数z在复平面内对应的点在第一象限 解析:选BCD　因为复数z=1+i,所以其虚部为1,故A错误;|z|==,故B正确;复数z的共轭复数=1-i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(1,1),显然位于第一象限,故D正确.故选BCD. 7.在复平面上,x轴与y轴的交点为点O,设复数-+2i和复数2+i在复平面对应点A和B,则△OAB的面积为 (　　) A. B. C. D.2 解析:选C　依题意,A(-,2),B(2,),|OA|=|OB|=3,而|AB|==3,则|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以△OAB是等腰直角三角形,面积为. 8.已知复平面内A,B,C三点所对应的复数为-2-i,1+i,2i,若四边形ABCD为平行四边形,则||= (　　) A.13 B. C.17 D. 解析:选D　A,B,C三点对应的复数分别是-2-i,1+i,2i,则复平面内A,B,C三点对应点的坐标为A(-2,-1),B(1,1),C(0,2).设复平面内点D的坐标为D(x,y),则=(3,2),=(-x,2-y),又ABCD是复平面内的平行四边形,则=,则解得则D(-3,0),则=(-4,-1),||==. 9.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列命题正确的是 (　　) A.z不可能为纯虚数 B.若z的共轭复数为 ,且z=,则z是实数 C.若z=|z|,则z是实数 D.|z|可以等于 解析:选BC　当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为 ,且z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=.又a+b=1,即b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于.D错误.故选BC. 10.(5分)已知复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则a=　　　　,|z|=　　　　.  解析:∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,∴解得a=1.∴z=2i.∴|z|=2. 答案:1　2 11.(5分)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则z=　　　　.(写出一个即可)  解析:设z=a+bi,a,b∈R,因为复数z在复平面内对应的点在第二象限,所以a<0,b>0.又因为|z|=2,所以a2+b2=4.显然当a=-1,b=时,符合题意. 答案:-1+i(答案不唯一) 12.(5分)复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为与,已知z1=+i,⊥,且||=||,则复数z2=　　　. 解析:由题意得=(,1),设=(x,y),由⊥得·=x+y=0,由||=||得x2+y2=4,联立解得或即=(1,-)或=(-1,),所以z2=1-i或z2=-1+i. 答案:1-i或-1+i 13.(10分)已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A. (1)若点A在第二象限,求实数m的取值范围;(4分) (2)求|z|的最小值及此时实数m的值.(6分) 解:(1)由解得-3<m<-2或1<m<2.故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(1,2). (2)|z|2=+, 令m2+m-2=t,∵t=-, ∴t∈,则|z|2=2t2-8t+16=2(t-2)2+8,所以当t=2,即m=时,|z|有最小值2. 14.(10分)在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (1)求向量,,对应的复数;(6分) (2)判定△ABC的形状.(4分) 解:(1)由复数的几何意义知,=(1,0),=(2,1),=(-1,2), 所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1).所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i. (2)因为||=,||=2,||=,所以||2+||2=||2,所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 15.(10分)已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π).设对应的复数是z. (1)求复数z;(6分) (2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.(4分) 解:(1)因为点A,B对应的复数分别是 z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ, 所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ). 所以=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ), 所以对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i. (2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ), 代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=, 所以sin θ=±.又因为θ∈(0,π), 所以sin θ=,所以θ=或θ=. 学科网（北京）股份有限公司 $