6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.下列各组向量中,共线的是 (　　) A.a=(-1,2),b=(4,2) B.a=(-3,2),b=(6,-4) C.a=,b=(10,5) D.a=(0,-1),b=(3,1) 解析:选B　利用平面向量共线的坐标表示可知,只有B满足题意. 2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b等于 (　　) A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 解析:选A　法一:(待定系数法)设b=(x,y),则2a+b=2(1,2)+(x,y)=(2+x,4+y)=(3,2),即解得所以b=(1,-2). 法二:b=(2a+b)-2a=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 3.若a=(2cos α,1),b=(sin α,1),且a∥b,则tan α等于 (　　) A.2 B. C.-2 D.- 解析:选A　由a∥b,得2cos α=sin α,即tan α=2. 4.在▱ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则= (　　) A.(-1,2) B.(-2,4) C.(1,-2) D.(2,-4) 解析:选A　如图,设该平行四边形的对角线的交点为O,=+=+=+=(-1,2),故选A. 5.已知向量=(7,6),=(-3,m),=(-1,2m),若A,C,D三点共线,则m= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选D　=+=(4,m+6),因为A,C,D三点共线,所以与共线,所以4×2m=-(m+6),解得m=-.故选D. 6.(多选)已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论不正确的是 (　　) A.a∥b B.a与b可以作为基底 C.a+b=0 D.b-a与a方向相同 解析:选BD　由题意,向量a=(1,-2),b=(-1,2),可得1×2-(-2)×(-1)=0,所以a∥b,所以A正确,B错误;又由a+b=(1-1,-2+2)=(0,0)=0,所以C正确;因为b-a=(-2,4),所以b-a=-2a,所以b-a与a方向相反,所以D错误.故选BD. 7.某同学因兴趣爱好,自己绘制了一个迷宫图,其图纸如图所示.该同学为让迷宫图更加美观,在绘制过程中,按单位长度给迷宫图标记了刻度,该同学发现图中A,B,C三点恰好共线,则m= (　　) A.7 B. C. D.82 解析:选C　由题图可知A(3,3),B(5,6),C(m,10),所以=(5-3,6-3)=(2,3),=(m-5,10-6)=(m-5,4).因为A,B,C三点共线,所以∥,所以3(m-5)=2×4,解得m=. 8.已知点O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),点P为线段AB的三等分点,则点P的坐标为 (　　) A. B. C.或 D.或 解析:选C　因为=(2,3),=(6,-3),所以=(4,-6).又因为点P是线段AB的三等分点,则==或==,所以=+=或. 9.(多选)在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2), =m+n(m,n∈R),则下列说法正确的是 (　　) A.若∥,则m+n=0 B.若点P在BC上,则m+n=1 C.若++=0,则m-n=0 D.若与共线,则m+n=-1 解析:选AC　由题知,=(1,2),=(1,-1),=(2,1),所以=m+n=(m+2n,2m+n).因为∥,所以2m+n+m+2n=0,即m+n=0,A正确;=-=(m+2n-2,2m+n-3),因为点P在BC上,所以∥,所以2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=,B错误;=(1-m-2n,1-2m-n),=(2-m-2n,3-2m-n),=(3-m-2n,2-2m-n),因为++=0,所以(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即解得m=n=,所以m-n=0,C正确;=(m+2n-1,2m+n-1),=(1,-1),由与共线,得(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,整理得m+n=,D错误. 10.(5分)(2024·上海高考)已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为　　　　.  解析:因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 答案:15 11.(5分)已知向量a=(8,-2),b=(m,1),c=(4,2),若a+b=λc,则实数m=　　　　.  解析:a+b=(8+m,-1),λc=(4λ,2λ), ∵a+b=λc,∴8+m=-2,m=-10. 答案:-10 12.(5分)设=,=(-a,2),=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则2a+b=　　　　,+的最小值为　　　　.  解析:由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4),由于A,B,C三点共线,故∥,所以(-a+2)×(-4)-(-2)×(b+2)=0,即2a+b=2.所以+=(2a+b)=≥=+,当且仅当=,即a=2-,b=2-2时取等号. 答案:2　+ 13.(10分)已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2),m=λb+c(λ为常数). (1)求a+b;(5分) (2)若a与m平行,求实数λ的值.(5分) 解:(1)因为a=(2,1),b=(1,1), 所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2). (2)因为b=(1,1),c=(5,2), 所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5,λ+2). 又因为a=(2,1),且a与m平行, 所以2(λ+2)=λ+5,解得λ=1. 14.(10分)如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,用向量的方法证明: (1)DE∥BC;(4分) (2)D,M,B三点共线.(6分) 证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令||=1,则||=1,||=2. ∵AD⊥AB,CE⊥AB,AD=DC, ∴四边形AECD为正方形. ∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). (1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴=,∴∥,即DE∥BC. (2)连接MB,MD.∵M为CE的中点,∴M, ∴=(-1,1)-=, =(1,0)-=. ∴=-,∴∥. 又与有公共点M,∴D,M,B三点共线. 15.(10分)设向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,求的取值范围. 解:由a=2b,知 ∴∴==2-.∵cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2,-1≤sin α≤1, ∴-2≤cos2α+2sin α≤2,∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2,解得≤m≤2.∴-6≤2-≤1,即-6≤≤1,∴的取值范围为[-6,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $