6.2.4 第1课时 平面向量的数量积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.2.4 第1课时 平面向量的数量积 [课时跟踪检测] 1.若a·b<0,则a和b的夹角θ的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　∵a·b=|a||b|cos θ<0, ∴cos θ<0.∵θ∈[0,π],∴θ∈. 2.已知向量a和b的夹角为120°,若|a|=3,a·b=-3,则|b|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选D　由题可得a·b=|a||b|cos 120°=3×|b|×=-|b|=-3,所以|b|=2. 3.在等腰Rt△ACB中,若∠C=90°,AC=,则·的值等于 (　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析:选B　由题意知,BC=AC=,∠ABC=45°,则BA=2,所以·=||||cos∠ABC=2××cos 45°=2. 4.设a,e均为单位向量,当a,e的夹角为时,a在e方向上的投影向量为 (　　) A.-e B.-e C.e D.e 解析:选B　由题意,知a在e方向上的投影向量为|a|cos e=1×e=-e. 5.(多选)已知向量a,b满足|a|=3|b|=a·b=3,则下列结论正确的是 (　　) A.a⊥b B.a∥b C.|a+b|=4 D.|a-b|=2 解析:选BCD　由|a|=3|b|=a·b=3,可得|b|=1.因为a·b=|a||b|cos<a,b>=3cos<a,b>=3, 所以cos<a,b>=1.因为<a,b>∈[0,π], 所以<a,b>=0, 所以a=3b,a∥b,|a+b|=4,|a-b|=2. 6.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,向量a在向量b上的投影向量是b,则a与b夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由向量a在向量b上的投影向量为b,所以·=·=b.又因为|a|=2|b|,所以cos<a,b>=,故C正确. 7.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120°,且|b|=2|a|,则向量b与c的夹角为 (　　) A.150° B.30° C.120° D.60° 解析:选A　由题意画出图形,如图,因为a,b的夹角为120°,所以∠CAB=60°.又|b|=2|a|,所以∠ACB=90°,∠ABC=30°,则向量b与c的夹角为150°. 8.若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是 (　　) A.直角梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:选C　由+=0, 得平面四边形ABCD是平行四边形, 由(-)·=0, 得·=0, 即平行四边形ABCD的对角线互相垂直, 则该四边形一定是菱形. 9.(多选)已知正方形ABCD的边长为2,向量a,b满足=2a,=2a+b,则 (　　) A.|b|=2 B.a⊥b C.a·b=2 D.向量b在a上的投影向量为-2a 解析:选AD　如图,连接BD,取AB的中点E,则=2=2a,∴=a,b=-2a=-=. ∴|b|=||=2,故A正确;a·b=·=·=||||cos<,>=×2×2×=-2,故B、C错误; 结合图形容易知道,向量b在a上的投影向量为=-2a,故D正确. 10.(5分)已知|a|=2,|b|=,a·b=3,则a与b的夹角为　　　　.  解析:因为|a|=2,|b|=,a·b=3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2××cos<a,b>=3, 所以cos<a,b>=.又因为0°≤<a,b>≤180°, 所以<a,b>=30°. 答案:30° 11.(5分)定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|=　　　　.  解析:∵cos θ===-,∴sin θ=. ∴|a×b|=2×5×=8. 答案:8 12.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是　　　　　　　　　.   解析:设a与b的夹角为θ,由题意可得, Δ=|a|2-4a·b≥0. ∵|a|=2|b|≠0,∴cos θ≤.又θ∈[0,π], ∴θ∈. 答案: 13.(5分)已知平面向量a满足a·e=3,其中e是单位向量,则|a|的取值范围为　　　　.  解析:∵a·e=|a||e|cos<a,e>=3>0, ∴cos<a,e>∈(0,1]. ∴|a|==≥3. 故|a|的取值范围为[3,+∞). 答案:[3,+∞) 14.(10分)已知|a|=2. (1)若b2=3,a∥b,求a·b;(4分) (2)若a·b=4,|b|=2,求a与b的夹角θ;(3分) (3)若a·b=-6,a与b的夹角为150°,求|b|.(3分) 解:(1)因为b2=3,所以|b|=. 当a∥b时,有两种情况, ①当a与b的夹角为0°时,a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2; ②当a与b的夹角为180°时,a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2.所以a·b=2或-2. (2)a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=4, 所以cos θ=.又0°≤θ≤180°,所以θ=45°. (3)当a与b的夹角为150°时, a·b=|a||b|cos 150°=2×|b|×=-6,解得|b|=2. 15.(10分)已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8. (1)判断△ABC的形状;(6分) (2)求·.(4分) 解:(1)·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=.又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形. (2)由(1)得与的夹角为120°,所以·=||||cos 120°=4×4×=-8. 16.(15分)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点,用,表示向量;(5分) (2)求·的取值范围.(10分) 解:(1)由已知可得=, 四边形OAMB是菱形,则=+, 所以=-=-(+)=--. (2)易知∠DMC=60°,且||=||, 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=, 则·=××cos 60°=. 当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1, 则·=cos 60°=. 所以·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $