6.2.3 向量的数乘运算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列算式中,正确的是 (　　) A.(-7)×6a=-42a B.a-2b+(2a+2b)=3a C.a+b-(a+b)=0 D.4(2a+b)=8a+4b 解析:选ABD　对于A,(-7)×6a=-42a,A正确;对于B,a-2b+(2a+2b)=3a,B正确;对于C,a+b-(a+b)=0,C错误;对于D,4(2a+b)=8a+4b,D正确. 2.如图,在矩形ABCD中,点E为CD的中点,那么向量+等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　在矩形ABCD中,=, 又∵点E为CD的中点,∴+=+=+=. 3.若向量a=2e1+e2,b=-2e1+3e2,则下列向量中与向量2a+b共线的是 (　　) A.-5e1+2e2 B.4e1+10e2 C.10e1+4e2 D.e1+2e2 解析:选B　因为向量a=2e1+e2,b=-2e1+3e2, 所以2a+b=2e1+5e2. 又4e1+10e2=2(2e1+5e2), 所以B与2a+b共线. 而A、C、D三个选项均和2a+b不存在倍数关系. 4.已知平面内四个不同的点A,B,C,D满足=2-2,则= (　　) A. B. C.2 D.3 解析:选D　∵=2-2, ∴+=2(+)-2,即3=, ∴3||=||,∴=3. 5.已知向量a,b不平行,向量3a+4b与ka-2b平行,则k的值是 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选C　由于3a+4b与ka-2b平行,故存在实数λ,使得ka-2b=λ(3a+4b)⇒(k-3λ)a=(4λ+2)b, 由于向量a,b不平行,故k-3λ=0,4λ+2=0,解得k=-. 6.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使a,b共线的是 (　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.x a+y b=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b 解析:选AB　对于A,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e,可得4a+b=0, ∴b=-4a,且a≠0,∴a,b共线; 对于B,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0, ∴λ,μ都不为0,∴a=b,∴a,b共线; 对于C,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0,∴不能得出a,b共线; 对于D,∵在梯形ABCD中AB与CD不一定平行,∴不能得出a,b共线. 7.(多选)如图,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.=+ B.=+ C.=- D.=+ 解析:选AC　=+=+,A正确; =+=+=(+)+=+,B错误; =++=-++=-,C正确; =++=-++=-,D错误. 8.如图,在平面直角坐标系中,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,则等于 (　　) A.a+b B.2a-3b C.3a-2b D.2b-2a 解析:选D　=-=2-2=2=2(-)=2-2=2b-2a. 9.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件为 (　　) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 解析:选D　∵A,B,C三点共线,∴向量,共线,∴=m,m∈R,即λa+b=m(a+μb),∴(m-λ)a=(1-mμ)b.∵a,b是不共线的向量,∴m-λ=0,1-mμ=0,即m=λ,mμ=1,∴λμ=1.若λμ=1,则μ=,∴=a+b=(λa+b)=,∴,共线,即A,B,C三点共线,故λμ=1为A,B,C三点共线的充要条件. 10.(5分)已知向量a,b,且(3a-2c)+4+a+6b=0,则c=　　　　.(用a,b表示)   解析:由已知得a-c+c-4b+a+6b=0,即2a+c+2b=0,∴c=-2a-2b,∴c=-6(a+b). 答案:-6(a+b) 11.(5分)已知=,=λ,则实数λ=　　　　.   解析:∵=-,∴==(-),∴-=,即=-3. 答案:-3 12.(5分)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0,则S△ABC∶S△ABD=　　　　.  解析:如图,取AB的中点F,则++=2+=0, 故=4,故C,D,F三点共线, 故S△ABC∶S△ABD===5. 答案:5 13.(10分)计算: (1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b);(5分) (2)-.(5分) 解:(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=a+b+a-b-a+b=a+b=a+b. (2)-=-=a+b-a-b=0. 14.(10分)如图,在平行四边形OACB中,BD=BC,OD与BA相交于点E.求证:BE=BA. 证明:如图,设E'是线段BA上的一点,且BE'=BA,只要证E,E'重合即可. 设=a,=b,则=a,=+=b+a.∵=-b,=a-, 3=,∴3(-b)=a-, ∴=(a+3b)=, 即=,∴O,E',D三点共线, ∴E与E'重合.∴BE=BA. 15.(10分)如图,在△OBC中,点A是BC的中点,点D是OB上靠近点B的一个三等分点,DC和OA交于点E.设=a,=b. (1)用向量a,b表示,;(5分) (2)若=λ,求实数λ的值.(5分) 解:(1)因为点A是BC的中点, 所以=+,即a=+b, 整理得=2a-b,可得=-=-=2a-b-b=2a-b,故=2a-b,=2a-b. (2)由题意可得=λ=λa, 因为C,D,E三点共线,所以=m+n,且m+n=1, 则=m+n=m(2a-b)+n·b=2ma+b=λa, 可得解得 故实数λ的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $