高考导数的十大题型训练-2025-2026学年高二下学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化04：高考导数应用的经典题型归纳 【题型归纳】 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 题型三、利用导数研究恒成立问题 题型四：利用导数研究能成立问题 题型五：利用导数研究零点问题 题型六：利用导数研究方程的根问题 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 题型八：利用导数研究双变量问题 题型九：利用导数研究实际问题 题型十、利用导数研究不等式问题 【题型探究】 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 【例1】．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式1】．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究的区间单调性，即可解得； （2）将问题化为在上恒成立，再应用导数求右侧的最值求参数范围. 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）在上单调递减， 时，恒成立，即恒成立， ，而， ，， ， ，故a的取值范围是． 【变式2】．（25-26高二下·安徽六安·月考）已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）对求导后代入使导数值为0即可求解； （2）由条件整理出后求导，再讨论根的位置关系即可得到的单调性. 【详解】（1）由题意得， 因为是函数的极值点，所以， 解得， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 为函数的极小值点，满足条件，故； （2）因为， 则. 且， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 当且时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 【例2】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 【变式1】．（25-26高二下·北京·月考）已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】(1) (2)函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案. 【详解】（1）因为，则， 由已知条件得，解得， 所以， （2）由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 【变式2】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数在和处取极值． (1)求，； (2)，，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出，利用取极值得到的两根为和，列方程组求解即可. （2）先判断函数的单调性，求出在上的最值，再根据求解即可. 【详解】（1）. 因为在和处取极值， 所以，即，解得. 所以 当时，， 在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，， 在上单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值. 因此，. （2）由（1）知函数在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值， 又，，所以时，，， 所以当，时，． 题型三、利用导数研究恒成立问题 【例3】．（2026·福建莆田·二模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【详解】（1）当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； （2）等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 【变式1】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； (2) 【详解】（1）由题，， 则， ①当时，，在上恒成立，则的单调递增区间为， ②当时，在上恒成立， 则的单调递增区间为， ③当时，时，， 时，， 时，， 所以的单调递增区间为和， 综上：当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为和； （2）， 设，则， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，且， ①当时，，又在区间上单调递增， 所以对任意，都有， 所以在区间上单调递增，所以满足条件； ②当时，，， 所以，使得， 所以当时，单调递减， 即当时，，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围为． 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 因为曲线与轴相切，所以设切点为， 则，解得， 又因为，所以，解得. （2）由题意得的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数， 当时，若，，在上为减函数， 若，，在上为增函数； 综上，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数 （3）方法一：由题意得当时，恒成立， 等价于恒成立，得到， 令，则，解得， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 则，故. 方法二：当时，恒成立，等价于恒成立 由（2）可知：①当时，在上为增函数， ，则，无解 ②当时，在上为减函数，在上为增函数， 得到，解得. 题型四：利用导数研究能成立问题 【例4】．（24-25高二下·天津·月考）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【详解】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 【变式1】．（24-25高二下·天津武清·月考）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性，可求得函数的最小值，结合二次函数的单调性可求得当时，，将原命题等价转化为存在，即可求解. 【详解】依题意，， 由，得，所以在是单调递减； 由，得，所以在是单调递增； 所以当时，取得极小值，即最小值； 因为函数在上单调递减，所以； 因为存在，，使得成立， 所以原命题等价于存在，， 即存在，，又，所以. 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】将问题转化为，即可利用二次函数的性质，以及导数求解函数最值即可. 【详解】对，使得等价于： 当时，， 因为在上单调递增， 所以，而， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 由，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型五：利用导数研究零点问题 【例5】．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有且仅有一个零点，求的值. 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）当时，，， 得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）方法一：，， ， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则a的值为9. 方法二：，， 令得， 令，， 则， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则的值为9. 【变式1】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有2个零点． 【答案】(1)时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求出，再求导，根据分类讨论，判断函数单调性； （2）由导数为零，可找出极值点及单调区间，取并判断符号，根据零点存在定理可得结论. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增，即在上单调递增， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 即时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：当时，， 由（1）知为增函数， 又，， 所以存在，使得，即， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以， 显然，所以， 因为， ， 所以在和上各有一个零点， 即时，有且只有2个零点． 【变式2】．（25-26高二上·浙江衢州·期末）设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无减区间 (2) (3) 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出导数得函数，再利用导数探讨函数性质，进而求出范围. （3）等价变形不等式并构造函数，再利用导数求出最大值，利用不等式有解列式求出范围. 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得， 令，求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以在上单调递增，无减区间. （2）依题意，， 由（1）得在上单调递减，在上单调递增，， 当，时，，则当有两个零点时，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）不等式有解， 即有解，令， 求导得， 由，得；由，得 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 题型六：利用导数研究方程的根问题 【例6】．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)当时，讨论方程的实数解的个数. 【答案】(1)的减区间是，的增区间是 (2)极小值为，无极大值 (3)答案见解析 【分析】（1）根据导数的正负与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据极值的定义，结合导数的性质进行求解即可； （3）利用转化法，把方程问题转化为直线与曲线交点个数问题，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】（1）该函数的定义域为，， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的减区间是，的增区间是； （2）由（1）知的减区间是，的增区间是， 所以当时，取得极小值，无极大值； （3）方程的实数解的问题转化为直线和函数的图象交点个数问题， 易知，，， 由（1）作出函数的大致图象，如图所示： 由图象知： 当或时，直线和函数的图象无交点，即方程无实根； 当时，直线和函数的图象有2个交点，即方程有2个实根； 当或时，直线和函数的图象有1个交点，即方程有1个实根； 综上所述： 当或时，方程无实根； 当时， 方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 【变式1】．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，令，求得，对实数a的取值进行分类讨论，由题意可知，函数在内存在极值点，可得出关于实数a的不等式，解之即可； （2）分析可知，不满足，由可得，由题意可知，直线与的图象有2个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数a的不等式，解之即可； （3）由已知不等式结合参变量分离法得出恒成立，令，利用导数分析函数的单调性与极值，求出函数的最小值，即可证得结论成立． 【详解】（1）由，得， 记，所以， 当时，恒成立，为增函数，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上不是单调函数，所以，解得， 即a的取值范围为． （2）方程， 当时，方程不成立，所以，则， 由方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，且， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增． 当时，，当时，， 则当时，且当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，，即， 故a的取值范围为． （3）证明：由题意知在上恒成立，即恒成立， 令， 则， 当时，，则，在上单调递增， 当时，令， 则，在上单调递增， 又，， 所以在区间上存在唯一零点，且当时，，则， 当时，，则， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以． 【变式2】．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)偶函数 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可得； （2）由基本不等式可得； （3）求导后分析单调性，结合方程根的个数讨论分析可得. 【详解】（1）显然的定义域为，， ，为偶函数. （2），当且仅当时，取等号， ，所以的最小值为. （3），当时，，则在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 若仅一个实数根，则，                                  方程仅有两个不同的实数根，不合题意.                        所以应有两个不同的实数根， 即：方程和共有四个不同的实数根， 每个方程各有2个不同的实数根，所以，， 则，且，所以. 故的取值范围为. 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 【例7】．（24-25高二下·吉林·期末）设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【答案】(1)函数的极大值点为，函数没有极小值点； (2). 【分析】（1）由题可得单调性，据此可得的极值点； （2）由，可得.令，由导数知识可得 大致图像，随后由图象与有2个交点可得答案. 【详解】（1）， 则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 则在时取极大值； 所以函数的极大值点为，函数没有极小值点； （2）令，因， 则.令，则. 令，则， 从而在上递增，又注意到， 则， 则， 从而在上单调递减，在上单调递增， 又，可画出大致图象. 又在上有两个零点等价于图象与有2个交点. 则由图可得. 【变式1】．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定的最值，可证明曲线与直线只有一个交点； （2）求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （3）由（2）中的结论可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，求导得：， 令，得；令，得； 则函数在上递增，在上递减，故， 所以曲线与直线只有一个交点. （2）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为； 当时，对任意的，，此时函数的增区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或， 故实数的取值范围是. 【变式2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 【答案】(1)，切线方程为； (2)n取最大值3时，m的取值范围为. 【详解】（1）时，在上， ， 若为切点，则， 故切线方程为，即， 若不是切点，设切点为， 则， 故切线方程为， 又在切线方程上， 故，整理得， 令，， 则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 又时，，故恒成立， 故，，无零点， 综上，，切线方程为 （2）设切点为，， 在处的切线方程为， 将代入切线方程中得， 整理得，令， 则， 列表如下： 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由得，解得或， 画出的图象，如下： 由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值， 故n取最大值3时，m的取值范围为. 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 题型八：利用导数研究双变量问题 【例8】．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 【变式1】．（24-25高二下·广东云浮·期末）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数． (1)若恒成立，求a的取值范围． (2)已知正数m，满足． （ⅰ）证明：． （ⅱ）证明：具有性质T． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）恒成立即为恒成立，利用导数求出左侧函数的最大值后可求参数的取值范围. （2）（ⅰ）由可得，利用极值点偏移可证;（ⅱ）要证具有性质T即证，设，从而将前者转化为证明即，利用导数可证明后者. 【详解】（1）， 令，则． 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即a的取值范围为． （2）证明：（ⅰ）正数m，n满足， 则，故，． 不妨设，则由（1）知，． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递增，所以，即． （ⅱ）正数m，n满足，则， 要证，只需证， 即证． 不妨设，则， 两边取指数得，化简得，设，则． 而，当时，， 当时，， 得在，上单调递减，在上单调递增（如图所示）， 要使且，则，， 即，从而，． 要证，只需证． 由于在上单调递增，因此只需证， 又，所以只需证， 所以，则． 设，则． 设，则，在上单调递增， 所以，从而， 所以在上单调递减，从而， 则，所以， 故具有性质T． 【变式2】．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)（i） （ii），证明见详解. 【详解】（1）当时，， 则，即，切线的斜率为， 又，切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）（i）函数，则， ①当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ②当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ③当时，令，即，解得或， 令，得；令，得或， 在单调递减，在和单调递增， ，，，又， ，当时，,，在上恰有一个零点， ，当时，,因为一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度,所以，在上恰有一个零点， 又在上只有一个零点，故函数有三个零点， 综上所述，实数的取值范围为. （ii），且， 由以上可知，则， 且，， ，则，， 又，即， 而=， 令，，则， 故在上为增函数，， ，，， 故. 题型九：利用导数研究实际问题 【例9】．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，置于水平桌面的正四棱柱为内壁厚度忽略不计的有底且无盖容器，其高为，底面四边形是边长等于的正方形，容器内有液体，液面高度恰为2.由制作工艺的限制，满足. (1)当时，求容器的容积和液体体积； (2)在满足题意的条件下，求的取值范围，并请问当为何值时，容器的容积可达最大？ (3)当时，将该容器绕着逆时针旋转，设平面和水平面所成的锐二面角的大小为，若液体在旋转过程中总不溢出，求的取值范围. 【答案】(1)48，  32 (2)72 (3) 【分析】（1）根据体积公式计算体积即可. （2）根据液面的高度要小于容器的高度列出不等式求解的范围，再用表示出容器的体积，利用导数求出容器体积的最大值. （3）当液面到时，此时最大，利用液体体积不变，求出的长度，从而计算出，确定的取值范围. 【详解】（1）当时，， 容器的容积，液体体积. （2），. 由于液面的高度为2，故容器的高度，即，，又. 的取值范围是. 此时容器的容积. ，令，即，解得或. 又，，即在上单调递增. . （3）当时，由得，液体体积. 当液面与水平面平行时，此时有最大值.过作交于点. 设，则，液体的体积，解得. ，，. 故的取值范围是. 【变式1】．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 【答案】(1) (2)4元／千克，最大值为42元 【分析】（1）由题可得将代入函数得到，列方程求解即可得到的值； （2）由题求出利润的表达式为，，利用导数得到函数的单调性进而得到函数的最大利润为42元． 【详解】（1）∵当时，， ∴由函数式， 得． （2）由（1）知该商品每日的销售量， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为， ，     ． 令，得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． ∴当时，函数取得最大值， ∴当销售价格为4元／千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元． 【变式2】．（24-25高二下·安徽·月考）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【答案】(1)，（） (2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【分析】（1）根据“利润销售量单位利润”可列出函数关系. （2）求导，分析函数的单调性，进而可得函数的最大、最小值. 【详解】（1）由题意：，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 题型十、利用导数研究不等式问题 【例10】．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间； （2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可； （3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果. 【详解】（1）当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. （3）令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 【变式1】．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出的单调区间. （2）把代入求出，再对所证不等式作等价变形，按分段并构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以. 【变式2】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若时，，求的取值范围； (3)若时，方程的两个不同实数根为，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，分类讨论参数的取值范围，确定导数的正负区间，得到函数在不同情况下的单调区间； （2）先由得到的初步范围，再结合第（1）问的单调性，证明该范围下函数在上恒非负； （3）通过构造辅助函数和，利用函数的单调性和对称性证明方程的两个根满足. 【详解】（1）函数定义域为 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则或，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则或，则， 所以在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，所以. 下证当时，在上恒成立. 由（1）知，时，在上递增， 所以， 所以当时，在上恒成立. （3）因为， 令，即， 所以， 所以在上单调递增，上单调递减，且，, 当时，， 所以不妨设，且. 令，则， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增. 所以，即，所以， 因为，，在上单调递减， 所以，即. 【专题强化】 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，单调递减，当时，单调递增．. (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【详解】（1）由， 得， 所以切线方程为； （2）当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． （3）由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)减区间为，，增区间为 (2)112 【分析】（1）根据极值点列出方程求解，再利用导数求函数的单调区间即可； （2）根据（1）可知函数解析式及单调性，据此求解即可. 【详解】（1）， ∵是函数的一个极值点， ∴，∴， 经检验满足条件， ∴， 令，解得或；令，解得. 所以函数的减区间为，，增区间为. （2）由（1）知， 又∵在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，又， ∴函数在区间上的最大值为. 3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 4．（23-24高二上·陕西·月考）已知，，直线． (1)函数在处的切线与直线l平行，求实数k的值； (2)若至少存在一个使成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得在的切线的斜率，结合条件，即可得答案. （2）由题意成立至少存在一个x，令，利用导数求出的最小值，分析即可得答案. 【详解】（1）由已知得，，且在的切线与直线l平行， 所以，解得； （2）因为至少存在一个，使成立， 所以成立至少存在一个x，即成立至少存在一个x． 令，当时，恒成立， 因此在上单调递增．当时，， 即实数a的取值范围为； 5．（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 6．（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【详解】（1）当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）将函数求导后，对和分成两种情况，讨论函数的单调性. （2）结合（1）的结论，首先分析当时不合题意，再通过分析时得到，再设新函数求导得其单调性即可解出不等式. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）当时，在上单调递减，则其最多有一个零点，不合题意，舍去，则； 由（1）可知当时在单调递减，在单调递增. 当时，，当时，. 若有两个零点，只需， 设，，因为在上单调递增， 则在上单调递增，且，则当时，， 当时，. 综上所述，当时，有两个零点. 8．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 【答案】(1)取得极小值为，无极大值. (2)详解见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析单调性确定极值点，进而求出函数极值； （2）求出导函数，按的范围分类讨论的正负，可得单调性； （3）讨论的范围求出函数的单调区间，根据题意列出的不等式，从而确定的范围. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为， 所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，令得或， ①当时，，，所以在单调递增， ②当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ③当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 若，则，即，不符合题意； 当时，在单调递减， ，则，解得， 又，所以； 当时，所以在单调递增，，不符合题意； 当时，， ①当时，在单调递增，在单调递减， 由题意得， 即，恒不成立，故无解， ②当时，在单调递减， ，则，解得：，不满足题意； 当时，在单调递增，，不符合题意； 所以的取值范围是. 9．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，上单调递减 (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可； （2）当时，对进行求导，利用导数的性质，得到的单调性； （3）分离参数得，设，利用导数求最值，从而得解. 【详解】（1） 当时，， 则，切点为， ， 切线方程为：，化简得，； （2）当时，， 当时，，所以， 所以，函数在上单调递增， 当时，，所以， 所以，函数在上单调递减； （3）令， 当时，，即不是函数的零点， 当时，可得， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，设， 则， 则在上单调递减，故， 从而，所以在上单调递增， 故， 综上所述，当时，函数有2个零点， 当时，函数有1个零点， 当时，函数无零点. 10．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若在上有唯一零点，求的取值范围； (3)当时，若在上恒成立，求实数的最大整数值. 【答案】(1)； (2)； (3)4. 【分析】（1）把代入，求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由函数零点的意义得，构造函数并利用导数探讨函数的性质即可求出范围. （3）由不等式恒成立分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为，由得，， 令，依题意，直线与函数的图象有唯一公共点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 因此当且仅当或时，直线与函数的图象有唯一公共点， 所以的取值范围是. （3）当时，，不等式恒成立， 令函数，求导得，令函数， 求导得，函数在上单调递增，而，， 则存在，使得，即，当时，，即； 当时，，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则， 所以实数的最大整数值为4. 11．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； (3)当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导得，对分类讨论可得函数f（x）的单调性； （2）由题意可得在区间上有两个不相等的实数根，进而利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由（1）知函数单调递增，进而有且对恒成立，利用基本不等式可求得实数m的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 由， ①当时，，则函数在上单调递减； ②当时，，则函数在上单调递增； ③当时，，令，得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增； ④当时，，令，可得，令，得或， 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由函数的图象上存在两个点在两点处的切线的斜率都为， 可知，在上有两个不相等的实数根， 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根， 上述方程可整理为. 则，解得或， 故实数a的取值范围为. （3）当时，由（1）可知函数在上单调递增， 不等式可化为， 因恒成立，则可得且对恒成立. 又由 . 当且仅当，即或时取等号， 故实数m的取值范围为. 12．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知函数． (1)若函数有零点，求的取值范围； (2)当时，记函数和图象的交点为． （i）求证：，且； （ii）求证：． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）转化为有解问题，分离参数后再设新函数求导得其最小值即可； （2）（i）变形得，再利用的单调性得，令，求导得其单调性，再取值代入并结合零点存在性定理即可证明； （ii）首先求出在处的切线方程，再设新函数得其单调性和最小值，从而有，最后代入即可得到，即可证明不等式. 【详解】（1）原命题等价于有解，令． 在上单调递减，在上单调递增． . （2）（i）设，则有， 作差移项得， 易知在上单调递增，，则． 令，所以， 则，令， ∴函数在上单调递减，在上单调递增． 因为，， 令，则， 由在上单调递减，在上单调递增和零点存在定理得在和内各有一个零点． 不妨设，则，得证． （ii）在处的切线方程为． 令， 所以， 所以当时；当时， 即在上为减函数，在为增函数， 所以， 所以，即． 从而，且， 即， 因为， 所以． 又，可解得， 所以， 又由（i）知交点坐标满足，所以两交点在直线上，则. 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化04：高考导数应用的经典题型归纳 【题型归纳】 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 题型三、利用导数研究恒成立问题 题型四：利用导数研究能成立问题 题型五：利用导数研究零点问题 题型六：利用导数研究方程的根问题 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 题型八：利用导数研究双变量问题 题型九：利用导数研究实际问题 题型十、利用导数研究不等式问题 【题型探究】 题型一、利用导数研究函数的单调性问题 【例1】．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式1】．（25-26高二下·山西太原·月考）已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【变式2】．（25-26高二下·安徽六安·月考）已知函数. (1)设是函数的极值点，求的值； (2)设，讨论函数的单调性. 题型二、利用导数研究函数的极值与最值问题 【例2】．（25-26高二上·北京·期中）已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【变式1】．（25-26高二下·北京·月考）已知函数的图象过点，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的单调区间，极值和值域. 【变式2】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数在和处取极值． (1)求，； (2)，，求的最大值． 题型三、利用导数研究恒成立问题 【例3】．（2026·福建莆田·二模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数. (1)若时，曲线与轴相切，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 题型四：利用导数研究能成立问题 【例4】．（24-25高二下·天津·月考）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【变式1】．（24-25高二下·天津武清·月考）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是________. 题型五：利用导数研究零点问题 【例5】．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有且仅有一个零点，求的值. 【变式1】．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有2个零点． 【变式2】．（25-26高二上·浙江衢州·期末）设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 题型六：利用导数研究方程的根问题 【例6】．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)当时，讨论方程的实数解的个数. 【变式1】．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，，证明：． 【变式2】．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 题型七：利用导数研究函数性质和图像问题 【例7】．（24-25高二下·吉林·期末）设函数. (1)若，求函数的极值点； (2)设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.（其中e是自然对数的底数）. 【变式1】．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【变式2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 题型八：利用导数研究双变量问题 【例8】．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【变式1】．（24-25高二下·广东云浮·期末）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数． (1)若恒成立，求a的取值范围． (2)已知正数m，满足． （ⅰ）证明：． （ⅱ）证明：具有性质T． 【变式2】．（24-25高二下·山东日照·期末）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 题型九：利用导数研究实际问题 【例9】．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，置于水平桌面的正四棱柱为内壁厚度忽略不计的有底且无盖容器，其高为，底面四边形是边长等于的正方形，容器内有液体，液面高度恰为2.由制作工艺的限制，满足. (1)当时，求容器的容积和液体体积； (2)在满足题意的条件下，求的取值范围，并请问当为何值时，容器的容积可达最大？ (3)当时，将该容器绕着逆时针旋转，设平面和水平面所成的锐二面角的大小为，若液体在旋转过程中总不溢出，求的取值范围. 【变式1】．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年．在此，提前祝各位新年快乐！为了庆祝2026年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元／千克）满足关系式，其中，是常量．已知销售价格为5元／千克时，每日可销售出该商品11千克． (1)求实数的值； (2)若该商品的成本为3元／千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 【变式2】．（24-25高二下·安徽·月考）某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 题型十、利用导数研究不等式问题 【例10】．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知函数，其中a为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； (3)设，求证：当时，. 【变式1】．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【变式2】．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，讨论的单调性； (2)若时，，求的取值范围； (3)若时，方程的两个不同实数根为，，证明：. 【专题强化】 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 4．（23-24高二上·陕西·月考）已知，，直线． (1)函数在处的切线与直线l平行，求实数k的值； (2)若至少存在一个使成立，求实数a的取值范围． 5．（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 6．（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 7．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围． 8．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在使得成立，求的取值范围； 9．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 10．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若在上有唯一零点，求的取值范围； (3)当时，若在上恒成立，求实数的最大整数值. 11．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象上存在两个点，在该两点处的切线的斜率都为，求实数a的取值范围； (3)当时， 若对， 有恒成立，求实数m的取值范围. 12．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知函数． (1)若函数有零点，求的取值范围； (2)当时，记函数和图象的交点为． （i）求证：，且； （ii）求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $