6.4用图象表示的变量间关系 讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

用图象表示的变量间关系 一、教学要求 教学目标 （1）经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系； （2）结合具体情境理解图象上的点所表示的意义； （3）能从图象中获取变量之间关系的信息，感受几何直观的作用，并能用语言进行描述． 重难点分析 （1）重点：从图象中获取信息，解决问题； （2）难点：用图象表示路程与时间的关系 二、知识讲解 图象法表示变量间关系 【探究】你有多少种方法表示正方形面积与边长之间的变量关系？这些表示方法有什么优势？  ①列表法： 0.5 1    1.5 2 2.5 3             ②关系式法：                     ；   1．图象是我们表示变量之间关系的又一种方法． 2．在用图象表示变量之间的关系时，通常用 水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量 ． 3．优缺点： 　　图象法 直观、形象 ，可以得到它们之间的一些信息：如：最大最小值，随着自变量如何变化等；不过，由图象所得到的有关数据和数量关系不明确，只能得到近似的值和数量关系． （1）稳定 例题 1 .某地区一天的气温变化较大，如图表示该地区一天小时的气温变化情况． ( 1 )上图描述的两个变量中自变量是什么？因变量是什么． ( 2 )一天中哪个时间气温最高或最低，分别是多少． ( 3 )在什么时间范围内气温上升，什么时间范围内气温下降． ( 4 )该地区一天的温差是多少？若该地区是一旅游景点，你应向该地旅游的游客提出怎样的合理化建议． 练习 2 .某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成右图，请根据图象回答： ( 1 )在这个问题中，自变量是什么？因变量是什么？ ( 2 )第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？ ( 3 )第三天时这头骆驼的体温是多少？ 3 .如图，图象中记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象，根据图中提供的信息，判断下列不符合图象描述的是（   ）． A.时的温度约为 B.温度是的时刻是时 C.最暖和的时刻是时 D.在以下的时间约为小时 （2）行程相关 行程问题： 注意横、纵轴所代表的的变量分别是什么 ① 速度时间图象： “水平的线”：代表的是匀速行驶或静止， “上升的线”：代表它的速度在增加， “下降的线”：代表它的速度在减少 ② 路程时间图象： “水平的线”：代表的是静止， “上升的线”：从左向右呈上升状的直线，其代表匀速远离起点（或已知定点）， “下降的线”：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点） 直线倾斜度越大（越陡）说明速度越快 如何理解“陡”？（与水平横轴的夹角越大越陡） 例题 4 .一列高铁从甲站到乙站，行驶过程中行驶的速度（千米/时）与行驶的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示．根据图象回答下列问题： ( 1 )图中的自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )高铁在行驶过程中的最高时速是           千米/时． ( 3 )从甲站到乙站的途中，该列高铁共停靠           个站（起点站与终点站除外），该列高铁从甲站到乙站共需           分钟． ( 4 )图中点表示           ． 练习 5 .早晨小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图是小明出行的过程中，他距西安的距离（千米）与他离家的时间（时）之间的关系图象，根据图象，回答下列问题： ( 1 )在这个变化过程中，自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )小明家距西安           千米；小明从家出发，经过           小时到达西安；在西安停留了           小时． ( 3 )已知小明从家出发小时，他距西安千米，则他返回时的速度是多少？ 6 .小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的倍，小颖在小亮出发后分才乘上缆车，缆车的平均速度为米/分．设小亮出发分后行走的路程为米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中随的变化关系． ( 1 )小亮行走的总路程是           米，他途中休息了           分． ( 2 )分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度． ( 3 )当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少． 例题 7 .周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园．图是他们离家路程（）与小明离家时间（）的关系图，请根据图回答下列问题： ( 1 )图中自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )小明家到滨海公园的路程为           ，小明在中心书城逗留的时间为            ． ( 3 )小明出发           小时后爸爸驾车出发． ( 4 )小明从中心书城到滨海公园的平均速度为           ，小明爸爸驾车的平均速度为           ． ( 5 )小明从家到中心书城时，他离家路程与坐车时间之间的关系式为           ． 练习 8 .小明、小亮从宝安中心图书馆出发，沿相同的线路跑向宝安体育场，小明先跑一点路程后，小亮开始出发，当小亮超过小明米时，小亮停在此地等候小明，两人相遇后，一起以小明原来的速度跑向宝安体育场，如图，反映了两人所跑路程（米）与所用时间（秒）之间的关系，请根据题意解答下列问题： ( 1 )问题中的自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )小明共跑了           米，小明的速度为           米秒． ( 3 )图中           米，小亮在途中等候小明的时间是           秒． ( 4 )小亮从跑到这段的速度为           米秒． ( 5 )求出的值． 9 .如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象． ( 1 )此变化过程中，           是自变量，           是因变量． ( 2 )甲的速度是           千米时，乙的速度是           千米时． ( 3 )路程为千米，甲行驶了           小时，乙行驶了           小时． ( 4 )分别写出甲乙两人行驶的路程（千米）与行驶的时间（小时）的关系式（不要求写出自变量的取值范围）                      ． （3）其他类型 例题 10 .已知：如图中，动点从点出发沿折线运动时，的面积随着点运动路程的变化，发生了变化，图表示这种变化规律． ( 1 )在这个变化过程中，自变量是           ．因变量是           ． ( 2 )这一运动过程中，的面积有最大值吗？最大面积是多少？ ( 3 )如图中，点表示的是           ．的值是           ． 练习 11 .如图是著名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： ( 1 )在这个图象所表示的变化过程中，自变量、因变量各是什么？小时后，记忆大约保持了多少？ ( 2 )图中点表示的意义是什么？ ( 3 )图中的遗忘曲线还告诉你什么相关信息？请写出其中一条信息． 12 .一个三角形的面积始终保持不变，它的一边的长为，这边上的高为，与的关系如图，根据图中给出的信息，解析下列问题： ( 1 )在上述变化过程中，自变量是           ． ( 2 )当越来越大时，越来越           ． ( 3 )这个三角形的面积等于           ． ( 4 )可以想象：当非常大非常大时，一定非常小非常小，这个三角形显得很“扁”，但无论多么的大，总是           零（填“大于”、“小于”、“大于或等于”之一）． 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $ 用图象表示的变量间关系 一、教学要求 教学目标 （1）经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系； （2）结合具体情境理解图象上的点所表示的意义； （3）能从图象中获取变量之间关系的信息，感受几何直观的作用，并能用语言进行描述． 重难点分析 （1）重点：从图象中获取信息，解决问题； （2）难点：用图象表示路程与时间的关系 二、知识讲解 图象法表示变量间关系 【探究】你有多少种方法表示正方形面积与边长之间的变量关系？这些表示方法有什么优势？  ①列表法： 0.5 1    1.5 2 2.5 3             ②关系式法：                     ；   1．图象是我们表示变量之间关系的又一种方法． 2．在用图象表示变量之间的关系时，通常用 水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量 ． 3．优缺点： 　　图象法 直观、形象 ，可以得到它们之间的一些信息：如：最大最小值，随着自变量如何变化等；不过，由图象所得到的有关数据和数量关系不明确，只能得到近似的值和数量关系． （1）稳定 例题 1 .某地区一天的气温变化较大，如图表示该地区一天小时的气温变化情况． ( 1 )上图描述的两个变量中自变量是什么？因变量是什么． ( 2 )一天中哪个时间气温最高或最低，分别是多少． ( 3 )在什么时间范围内气温上升，什么时间范围内气温下降． ( 4 )该地区一天的温差是多少？若该地区是一旅游景点，你应向该地旅游的游客提出怎样的合理化建议． 【答案】 (1)时间是自变量，气温是因变量． (2)一天中时和时的气温最低，是．时的气温最高，是． (3)和时，气温上升． 和时，气温下降． (4)该地区一天的温差是：．一天内的气温变化比较大，建议旅客选择时外出观光． 【解析】 (1)图象反映了气温变化和时间之间的关系，其中时间是自变量，气温是因变量． (2)一天中时和时的气温最低，是．时的气温最高，是． (3)在和时，气温上升． 在和时，气温下降． (4)该地区一天的温差是：（）．该地区的一天内的气温变化比较大，建议旅客选择时外出观光． 练习 2 .某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成右图，请根据图象回答： ( 1 )在这个问题中，自变量是什么？因变量是什么？ ( 2 )第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？ ( 3 )第三天时这头骆驼的体温是多少？ 【答案】 (1)自变量是外部环境温度；因变量是骆驼的体温． (2)从时到时这头骆驼的体温是上升的，小时． (3)． 【解析】 (1)在这个问题中，自变量是外部环境温度；因变量是骆驼的体温． (2)由图可知，第一天中，从时到时这头骆驼的体温是上升的， 它的体温从最低上升到最高需要小时． (3)第三天时这头骆驼的体温是． 3 .如图，图象中记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象，根据图中提供的信息，判断下列不符合图象描述的是（   ）． A.时的温度约为 B.温度是的时刻是时 C.最暖和的时刻是时 D.在以下的时间约为小时 【答案】 B 【解析】 温度为的时刻是时，故不符合． （2）行程相关 行程问题： 注意横、纵轴所代表的的变量分别是什么 ① 速度时间图象： “水平的线”：代表的是匀速行驶或静止， “上升的线”：代表它的速度在增加， “下降的线”：代表它的速度在减少 ② 路程时间图象： “水平的线”：代表的是静止， “上升的线”：从左向右呈上升状的直线，其代表匀速远离起点（或已知定点）， “下降的线”：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点） 直线倾斜度越大（越陡）说明速度越快 如何理解“陡”？（与水平横轴的夹角越大越陡） 例题 4 .一列高铁从甲站到乙站，行驶过程中行驶的速度（千米/时）与行驶的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示．根据图象回答下列问题： ( 1 )图中的自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )高铁在行驶过程中的最高时速是           千米/时． ( 3 )从甲站到乙站的途中，该列高铁共停靠           个站（起点站与终点站除外），该列高铁从甲站到乙站共需           分钟． ( 4 )图中点表示           ． 【答案】 (1) (2) (3) (4)高铁行驶至分钟时，时速达到千米/时 【解析】 (1)如图所示，列车运行速度随行驶时间的改变而改变，故是自变量，是因变量． (2)如图，最高时速为千米/时． (3)如图所示，列车在第分钟速度为，此时停靠在站点，因此除起点、终点外，列车共停靠个站点． (4)如图所示，点的坐标为，故表示在第分钟时，时速为千米/时． 练习 5 .早晨小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图是小明出行的过程中，他距西安的距离（千米）与他离家的时间（时）之间的关系图象，根据图象，回答下列问题： ( 1 )在这个变化过程中，自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )小明家距西安           千米；小明从家出发，经过           小时到达西安；在西安停留了           小时． ( 3 )已知小明从家出发小时，他距西安千米，则他返回时的速度是多少？ 【答案】 (1)离家时间距西安的距离 (2) (3)他返回时速度为． 【解析】 (1)在这个变化中，自变量是他离家的时间，因变量是他距西安的距离． 故答案为：离家时间；距西安的距离． (2)由图象可看出小明家距西安千米，小明从家出发小时到达西安，在西安停留了小时． 故答案为：，，． (3)千米/小时． 故答案为：他返回时速度为． 6 .小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的倍，小颖在小亮出发后分才乘上缆车，缆车的平均速度为米/分．设小亮出发分后行走的路程为米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中随的变化关系． ( 1 )小亮行走的总路程是           米，他途中休息了           分． ( 2 )分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度． ( 3 )当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少． 【答案】 (1) (2)休息前的速度为米/分，休息后的速度为米/分． (3)米． 【解析】 (1)根据图象知：小亮行走的总路程是米，他途中休息了分钟． 故答案为，． (2)小亮休息前的速度为：（米/分）． 小亮休息后的速度为：（米/分）． (3)小颖所用时间：（分）， 小亮比小颖迟到（分）， ∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：（米）． 例题 7 .周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园．图是他们离家路程（）与小明离家时间（）的关系图，请根据图回答下列问题： ( 1 )图中自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )小明家到滨海公园的路程为           ，小明在中心书城逗留的时间为            ． ( 3 )小明出发           小时后爸爸驾车出发． ( 4 )小明从中心书城到滨海公园的平均速度为           ，小明爸爸驾车的平均速度为           ． ( 5 )小明从家到中心书城时，他离家路程与坐车时间之间的关系式为           ． 【答案】 (1)离家时间离家路程 (2) (3) (4) (5) 【解析】 (1)离家时间；离家路程． (2)由图象可知，路程为，． (3)小时． (4)小明：． 爸：． (5)，． 练习 8 .小明、小亮从宝安中心图书馆出发，沿相同的线路跑向宝安体育场，小明先跑一点路程后，小亮开始出发，当小亮超过小明米时，小亮停在此地等候小明，两人相遇后，一起以小明原来的速度跑向宝安体育场，如图，反映了两人所跑路程（米）与所用时间（秒）之间的关系，请根据题意解答下列问题： ( 1 )问题中的自变量是           ，因变量是           ． ( 2 )小明共跑了           米，小明的速度为           米秒． ( 3 )图中           米，小亮在途中等候小明的时间是           秒． ( 4 )小亮从跑到这段的速度为           米秒． ( 5 )求出的值． 【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)为． 【解析】 (1)问题中的自变量是所用时间，因变量是两人所跑路程． (2)根据图象可以得到：小明共跑了米，用了秒，则速度是：米秒． (3)过作轴于， 小明跑秒的路程是米， 小明跑米的时间是秒， 小亮在途中等候甲的时间是秒． (4)小亮跑步的速度是米秒． (5)由图象可知时，小明与小亮相遇， 即小明与小亮的路程相同， ∴可列得方程为：， 解得， ∴为． 9 .如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象． ( 1 )此变化过程中，           是自变量，           是因变量． ( 2 )甲的速度是           千米时，乙的速度是           千米时． ( 3 )路程为千米，甲行驶了           小时，乙行驶了           小时． ( 4 )分别写出甲乙两人行驶的路程（千米）与行驶的时间（小时）的关系式（不要求写出自变量的取值范围）                      ． 【答案】 (1)时间路程 (2) (3) (4) 【解析】 (1)由函数图象反映出路程随时间的变化， ∴此变化过程中，时间是自变量，路程是因变量． 故答案为：时间；路程． (2)甲的速度， 乙的速度． 故答案为：；． (3)路程千米时，（小时）， （小时）， 即甲行驶了小时，乙行驶了小时． 故答案为：；． (4)， ． 故答案为：；． （3）其他类型 例题 10 .已知：如图中，动点从点出发沿折线运动时，的面积随着点运动路程的变化，发生了变化，图表示这种变化规律． ( 1 )在这个变化过程中，自变量是           ．因变量是           ． ( 2 )这一运动过程中，的面积有最大值吗？最大面积是多少？ ( 3 )如图中，点表示的是           ．的值是           ． 【答案】 (1)点运动的路程的面积 (2)有最大值，最大面积是． (3)当运动的路为时，的面积为 【解析】 (1)自变量是点运动的路程． 因变量是的面积． (2)的面积有最大值，最大面积是． (3)点表示的是当运动的路为时，的面积为． ∵．∴． ∴的值为． 练习 11 .如图是著名的艾宾浩斯遗忘曲线，观察图象并回答下列问题： ( 1 )在这个图象所表示的变化过程中，自变量、因变量各是什么？小时后，记忆大约保持了多少？ ( 2 )图中点表示的意义是什么？ ( 3 )图中的遗忘曲线还告诉你什么相关信息？请写出其中一条信息． 【答案】 (1)自变量是时间，因变量是记忆的保持量，小时后，记忆大约保持了． (2)点表示的意义是小时后，记忆的保持量是多少． (3)随时间的加长，人的记忆保持量会逐渐减少，两个小时内减少的最快． 【解析】 (1)根据图象可知：记忆的保存量随时间的变化而变化， ∴在这个图形所表示的变化过程中自变量是时间、因变量是记忆的保持量，小时后，记忆大约保持了． (2)图中点表示的意义是小时后，记忆的保持量是多少． (3)图中的遗忘曲线还告诉我随时间的加长，人的记忆保持量会逐渐减少，两个小时内减少的最快． 12 .一个三角形的面积始终保持不变，它的一边的长为，这边上的高为，与的关系如图，根据图中给出的信息，解析下列问题： ( 1 )在上述变化过程中，自变量是           ． ( 2 )当越来越大时，越来越           ． ( 3 )这个三角形的面积等于           ． ( 4 )可以想象：当非常大非常大时，一定非常小非常小，这个三角形显得很“扁”，但无论多么的大，总是           零（填“大于”、“小于”、“大于或等于”之一）． 【答案】 (1) (2)小 (3) (4)大于 【解析】 (1)由图象可得， 自变量是． (2)由图象知， 随的增大而减小． (3)由图象可得， 当时，， ∴三角形的面积是：． (4)∵三角形边上的高一定大于零． 三、知识总结   学科网（北京）股份有限公司 $