精品解析：江苏省苏北七市（徐、连、淮、宿、通、扬、泰）2026届高三第二次调研测试数学试卷

2026届高三第二次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的所有极值的和为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 8. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据的80百分位数是5，则（ ） A. 该组数据的极差为5 B. 该组数据的中位数为3.5 C. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则（ ） A. B. ． C. 可能为锐角 D. 三点共线 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 若为正数，，则 B. 若为正数，，则 C. 若，则函数有唯一零点 D. 若，则函数的零点个数为奇数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____． 13. 已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 14. 已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 17. 某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． （1）求甲、乙两人同在组的概率； （2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率； （3）记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． 18. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 19. 已知有限等比数列的项数为，公比．将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，． （1）若，写出所有满足条件的； （2）是否存在，使得对任意，都成立？并说明理由； （3）从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二次调研测试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得或，则或， 所以集合没有包含关系，，或或 2. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求，再根据复数模长的定义求. 【详解】由，得 则. 3. 已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量. 【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 4. 函数的所有极值的和为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以 6. 随着对某项新技术学习效率的提升，生产力不断提高．该技术下生产第一件产品的工时为，生产件产品的平均工时，其中（为产品工时递减速率）．现有一条工时递减速率为80%的生产线，则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.6 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，，代值化简即可求解./ 【详解】已知工时递减速率，且, 所以， 由于生产前件产品的平均工时：， 生产前件产品的平均工时：， 所以， 将​，代入：， 则生产前四件产品与生产前两件产品的平均工时之比为0.8 7. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】将，看成两点间距离的平方，将问题转化成两圆上点的距离求解. 【详解】将， 设， 由，， 得点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以为圆心，为半径的圆上， 两圆心距，两圆内含， 所以，， 则. 8. 已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过作，垂足为，于，连接，如图， 则，平面， 所以平面，平面，所以, 所以为二面角的平面角，故， 由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小， 此时，重合，取得最小值， 设，则，又，则， 所以，即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组数据的80百分位数是5，则（ ） A. 该组数据的极差为5 B. 该组数据的中位数为3.5 C. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 【答案】AB 【解析】 【详解】因为一共有个数据，，所以第80百分位数为第五个数，所以， 所以该组数据的极差为，故A正确； 该组数据的中位数为，故B正确； 因为的平均数为， 所以剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数不变，故C错误； 因为数据的方差为， 而剔除该组数据中的4后，数据的方差为，即方差变大，故D错误. 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足为与轴交于点，则（ ） A. B. ． C. 可能为锐角 D. 三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，因为抛物线的定义是抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于点A在抛物线C上，AP是A到准线l的垂线，可判断|AP|与|AF|的关系；对于B，根据抛物线性质，结合等腰三角形性质即可判断；对于C，设出A、B两点的坐标，设直线，联立抛物线方程，可得根与系数关系，计算，根据其正负判断是否可能为锐角；对于D，求出直线OP和直线OB的斜率，判断P、O、B三点是否共线. 【详解】对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 从而有，选项A正确； 对于选项B，设准线与轴交于点， 由，，所以为的中位线， 从而，又，从而，选项B正确； 对于选项C，由题意，直线的斜率存在，故可设，，直线， 联立：，化简整理得，， 从而有，由，， 得， 则，，， 则不可能为锐角，选项 C错误； 对于选项D，直线的斜率， 由，可得直线的斜率， 由，得，从而， 则三点共线，选项D正确. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 若为正数，，则 B. 若为正数，，则 C. 若，则函数有唯一零点 D. 若，则函数的零点个数为奇数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数解析式结合特例可判断AB；利用函数的单调性，结合函数的零点存在性定理进行判断CD. 【详解】对于选项A，当，则，,不妨设，则， 那么，当，同理可得.故选项A正确； 对于选项B，若为正数，，当时，若，则，不一定有.故选项B错误； 对于选项C，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标. 当时， ，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号 从而为函数的零点， 当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号， 因此，函数有唯一零点.故选项C正确； 对于选项D，当，函数的零点即方程的根，也就是函数与图象的交点横坐标. 当时， ，由单调递增，所以单调递减，，当且仅当时取“”号 从而为函数的零点， 当时，，由单调递增，单调递减，，当且仅当时取“”号， 若存在，使得，则，那么必存在 ，满足. 从而若在有个零点，则对应的在相应的有个零点， 从而可知若，函数的零点个数为奇数个个，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____． 【答案】-4 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由，，可得：，解得：．令，解得．进而得出． 【详解】解：设等差数列的公差为，，， ， 解得：． ． 令，解得． 时，前项和取得最小值，为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前n项和最值的求解，属于基础题. 13. 已知函数，写出满足“曲线关于点对称”的的一个值___________． 【答案】（答案不唯一，形如皆可） 【解析】 【分析】由题意可得，可得或，计算即可得解. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故，则可为等，只需满足即可. 14. 已知双曲线的右焦点为是右支上一点，关于原点和轴对称的点分别为，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性，得到焦点三角形的形状，利用双曲线的定义求解即可. 【详解】如图，不妨设点在第一象限，双曲线的左焦点为， 由，由对称性得，得， 所以，即得为等边三角形， 连接，由，所以，从而， 在中，，，从而， 所以，从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：在中，由余弦定理，得 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解； （2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解. 【小问1详解】 由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】（1）①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 【解析】 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【小问1详解】 （1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 17. 某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． （1）求甲、乙两人同在组的概率； （2）求甲在三天内至少担任一次组长的概率； （3）记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． 【答案】（1）. （2） （3） 2 3 4 数学期望 【解析】 【分析】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法,甲、乙两人同在组有种不同方法，利用古典概型公式求解即可； （2）甲每天担任组长的概率为，利用对立事件的概率公式即可求解； （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4，分别求出对应的概率，结合期望公式即可求解. 【小问1详解】 8名运动员分成两组共有种不同方法． 记事件为“甲、乙两人同在组”，则事件共有种不同方法， 所以． 【小问2详解】 甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”， 则， 【小问3详解】 根据题意可得的可能取值为2，3，4， 第一天选组长： 组从人中选人有​种， 组从人中选人种，总选法为种， 第二天选组长： 组从人中选人有​种， 组从人中选人种，总选法为种， 的含义：两天的组长完全相同，即 组两天选同一个人， 组两天也选同一个人， 所以 的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人， 所以 的含义：两天的组长完全不重复，总人数为 4，即 组两天选不同的人， 组两天也选不同的人， 所以 所以的分布列为 2 3 4 18. 一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱中，椭圆的长轴长为4，短轴长为是椭圆上关于对称的两点，是椭圆上关于对称的两点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与底面所成角的正弦值； （3）求四面体的内切球半径的最小值． 【答案】（1）证明：记椭圆所在平面为，由椭圆柱定义可知，. 因为，所以 因为平面， 所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆柱的平移性质得到线面垂直关系，结合的条件，推导线线垂直，再根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）先确定点在底面上的射影，建立平面直角坐标系写出椭圆方程，设直线方程并联立椭圆，结合已知条件求解点的坐标，再根据线面角的定义计算正弦值； （3）先通过等体积法建立四面体体积与内切球半径的关系式，表达出内切球半径的表达式，再利用基本不等式求的最小值，同时验证、与坐标轴垂直的特殊情况，确定最终最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设在下底面射影分别为， 则． 如图，在平面直角坐标系中， 椭圆的方程为， 设，若与坐标轴不垂直，设直线的方程为， 联立直线与椭圆方程，得， 所以， 同理，可得． 由得，，解得， 所以 所以， 所以． 设直线与底面所成角为，则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为四面体的体积 ， 设四面体的内切球半径为，则 所以 当且仅当，即时，等号成立. 若与坐标轴垂直，不妨设为长轴，为短轴，即， 此时内切球半径． 所以四面体的内切球半径最小值为. 19. 已知有限等比数列的项数为，公比．将的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列，使得时，． （1）若，写出所有满足条件的； （2）是否存在，使得对任意，都成立？并说明理由； （3）从满足条件的所有数列中随机抽取一个，求抽到的为等比数列的概率． 【答案】（1） （2）存在，使得对任意都成立． 理由如下： 当为偶数时，设为，① 因为， 即，所以①满足条件， 为奇数时，为偶数，， 所以为偶数时，存在，使得对任意都成立． 当为奇数时，设为，② 因为，所以②满足条件， 同理可验证②中，对任意都成立， 即为奇数时，存在，使得对任意都成立． 综上，存在，使得对任意都成立. （3） 【解析】 【分析】(1) 根据数列的定义，枚举 时的所有全排列，逐一验证是否满足非递增的条件，筛选出符合要求的排列即可； (2) 假设存在，通过构造满足非递增的交替排列，验证该排列中任意连续三项均不满足等比中项性质，从而证明存在性； (3) 先归纳推导满足条件的的总数，再统计其中为等比数列的数量，最后根据古典概型公式计算概率. 【小问1详解】 由，，得为严格递减的正项等比数列，即 根据题意，是的全排列，且需满足。 的全排列共种，逐一验证： 排列：，满足条件； 排列：​，满足条件； 排列：​，满足条件； 排列：​，但，不满足条件； 排列：​，不满足条件； 排列：​，满足条件； 当 时，满足条件的有4个，分别为 ，，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以． 由得，， 即． 记时，满足题意的的个数为． 当时，因为， 又，所以， 依次类推，的第1项至第项的排列确定，为， 所以当时，个数等于的重新排列个数，即个． 当时，满足条件的有1个：，即． 综上分析，， 所以， 所以. 由（1）可知，， 所以从第3项开始是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以． 由上述分析，仍为等比数列的只有两个： 和， 所以从所有中随机抽取一个，抽到为等比数列的概率 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $