20.2(第1课时)勾股定理的逆定理（大单元教学课件）数学新教材人教版八年级下册

第二十章 勾股定理 人教版(新教材) 八年级下册 20.2(第1课时) 勾股定理的逆定理 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 　　巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的． 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 泥板摹真图 泥板上的神秘符号实际上是一些数组． 　　经过专家的潜心研究,发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长,只要再添加一列数(如图左边的一列),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长． 　　那如何判定由这些数组构成的三角形是直角三角形呢？ 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数． （3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想． 32＋42＝52 52＋122＝132 （1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形 （单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25． 82＋152＝172 72＋242＝252 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 因此我们需要严格的证明 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． 求证：△ABC是直角三角形． 证明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1＝a＝CB， 在C1N上截取C1A1＝b＝CA，连接A1B1． A C B b c a C1 N M B1 A1 b a 在Rt△A1B1C1中， 由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，∴A1B1＝AB． 在△ABC 和△A1B1C1中， AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1， ∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）． ∴∠C＝∠C1．∴△ABC是直角三角形． 20.2-1 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 直角三角形的判定有两法可依： （1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角． （2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定． 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形． 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a5，b12，c13； (2) a6，b7，c8； 是 不是 是 (3) a1，b2，c . 52+122132 62+7282 12+()222 (4) a:b: c=3:4:5; 是 （4）解：设a=3k,b=4k,c=5k, 因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, 所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，∠C是直角. 对于第（2）小问：如果三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有a2＋b2＝c2，事实上，上式不成立，因此，这个三角形不是直角三角形. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习：判断三组线段下列能够构成直角三角形？ 解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股 定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2) a=13 ， b=14 ， c=15; 解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾 股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. (1) a=15 ， b=8 ，c=17; 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知一个△ABC各顶点坐标为A(-1,4)，B(-3,1)，C(1,1)，请判定此三角形的形状，并说明理由． 本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定. 解：∵A(-1,4)，B(-3,1)，C(1,1)， ∴△ABC为等腰三角形. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数)试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上的一点,BC=15,CD=9,BD=12. (1)求证：△BCD是直角三角形； 找到三角形的最长边，计算并判断两短边的平方和是否等于最长边的平方即可. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图,在△ABC中,AB=AC,D是AC上的一点,BC=15,CD=9,BD=12. (2)求AB的长. 解题技巧 BD是△ABD和△CBD的公共边，在解题时需要特别注意在两个直角三角形中使用.同时方程思想常用在解直角三角形中. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知a,b,c为△ABC的三边，且 试判断△ABC的形状，并说明理由. ∴△ABC为等腰直角三角形. 解题技巧 多个非负式的和为零，必须每个非负式都为零. 判断三角形的形状时还需要考虑是否为等腰三角形. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图是2×3的网格，每个小正方形的边长为1,A,B,C,D是小正方形的顶点，求∠CED的大小. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知AC=6m,BC=8m,BD=24m．求放置菊花盆栽区域的面积． 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 构造直角三角形，结合勾股定理及其逆定理进行求解. =96(m2). 20.2-1 勾股定理的逆定理 勾股数 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26等等. 这些勾股数必须牢记！ 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律． a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n ①从表中你能发现什么规律？ ②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ． 分式方程 一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数. 所以（3k）2+（4k）2=（5k）2. 勾股数拓展性质的证明： （2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数. 因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2 （ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2 故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 内容 勾股数 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理 的逆定理 例如3,4,5等 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习01 · 详解 以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） 解：A．，能构成直角三角形； B．,不能构成直角三角形； C．1+2=3，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形； D．3+4=7，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形． 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习02 ·· 详解 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习03 ··· 详解 在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解：如图，满足条件的点C共有4个. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习04 ···· 详解 如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2的度数为（　　） A．45° B．90° C．135° D．180° . 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习05 ····· 详解 如图，正方形ABCD的面积为100，点E在正方形ABCD内，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（    ） A．48 B．60 C．76 D．80 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习06 ······ 详解 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习07 ······· 详解 解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm， ∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36，解得x=3. ∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)， 在Rt△PBQ中，由勾股定理得 如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长． 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习08 ········ 详解 如图，正方形网格中△ABC中，若小方格的边长为1. (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC最长边上的高. 20.2-1 勾股定理的逆定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习08 ········ 详解 如图，正方形网格中△ABC中，若小方格的边长为1. (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC最长边上的高. , =2. 20.2-1 勾股定理的逆定理 $