8.2 特殊的平行四边形--正方形章节测试卷2025-2026学年苏科版数学八年级下册

8.2 特殊的平行四边形--正方形章节测试卷2025-2026学年苏科版数学八年级下册 一．选择题（共6小题） 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻边相等 2．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝9，CE＝3，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　） A．当AD＝CD时，它是矩形 B．当AC⊥BD时，它是矩形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当∠BAD＝90°时，它是正方形 4．如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点．若∠BCE＝65°，则∠BEC＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列判断正确的有（　　） ①若AC＝BD，∠1＝∠2，则▱ABCD是正方形； ②若∠2＝∠3＝45°，则▱ABCD是正方形； ③若AC⊥BD，AC＝BD，则▱ABCD是正方形； ④若AB＝BC＝CD＝DA，则▱ABCD是菱形； ⑤若∠1＝∠4，则▱ABCD是菱形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形； 乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 二．填空题（共6小题） 7．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 　 　 ． 8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若AB＝4，则DE的长为　 　 ． 9．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数　 　 ． 10．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 　 　 ． 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒0.5cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　 　 ． 12．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝　 　 ； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 13．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，点E在AD边上，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形． 14．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）当△ABC满足条件 　 　 时，四边形AEDF是正方形． 15．如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F．求证：EF⊥AP． 16．在线段AE上取一点B使AB＞BE，以AB、BE为边在AE同侧作正方形ABCD、BEFG，在AB上取AH＝BE在BC的延长线上取K使CK＝BE，连接DK、KF、DH、HF （1）求证：四边形FHDK为正方形； （2）利用第（1）题，证明勾股定理． 17．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　 　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 18．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　 　 ． 19．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C A D D 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻边相等 【解答】解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形． 正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件． 故选：B． 2．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝9，CE＝3，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝9，CE＝CG＝GF＝3，AD∥BC，GF∥CF， ∴DG＝CD﹣CG＝9﹣3＝6， ∵AB∥GF， ∴△ADH∽△FGH， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　） A．当AD＝CD时，它是矩形 B．当AC⊥BD时，它是矩形 C．当AC＝BD时，它是矩形 D．当∠BAD＝90°时，它是正方形 【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形，该项错误，不符合题意； B．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，该项错误，不符合题意； C．∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，该项正确，符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，该项错误，不符合题意； 故选：C． 4．如图，在正方形ABCD中，E为BD上一点．若∠BCE＝65°，则∠BEC＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝45°， ∵∠BCE＝65°， ∴∠BEC＝180°﹣∠BCE﹣∠CBD＝180°﹣65°﹣45°＝70°， 故选：A． 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列判断正确的有（　　） ①若AC＝BD，∠1＝∠2，则▱ABCD是正方形； ②若∠2＝∠3＝45°，则▱ABCD是正方形； ③若AC⊥BD，AC＝BD，则▱ABCD是正方形； ④若AB＝BC＝CD＝DA，则▱ABCD是菱形； ⑤若∠1＝∠4，则▱ABCD是菱形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， ∵∠1＝∠2， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故①正确． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝45°， ∵∠2＝45°， ∴AB＝AD， 又∵∠ADC＝∠2+∠3＝90°， ∴▱ABCD是正方形（一组邻边相等，一个角是90°的平行四边形是正方形）， 故②正确． ∵AC⊥BD，AC＝BD， ∴▱ABCD是正方形（对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形）， 故③正确． ∵AB＝BC＝CD＝DA， ∴▱ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）， 故④正确． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠4， ∵∠2＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 故⑤正确． 故选：D． 6．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形； 乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（　　） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠BAD＝90°， ∴AQ＝4﹣1＝3，AP＝3+1＝4，∠PAQ＝90°， ∴PQ2＝AQ2+AP2＝25， ∴PQ＝5， 同理MN＝5， ∴四边形PQMN是菱形， 在△QMD和△PQA中， ， ∴△QMD≌△PQA（SSS）， ∴∠MQD＝∠APQ， ∵∠AQP+∠QPA＝90°， ∴∠AQP+∠MQD＝90°， ∴∠MQP＝90°， 则四边形PQMN必是正方形； ∴甲正确； 若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°， 在△QMD和△PQA中， ， ∴△QMD≌△PQA（ASA）， ∴QD＝AP＝4， 同理QD＝AP＝MC＝BN＝4， 又∵BP＝MD＝AQ＝3， ∴QD﹣AD＝PA﹣AB， ∴AB＝AD＝1， 同理AB＝CD＝AD＝BC＝1， 即四边形ABCD为菱形， ∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°， 则四边形ABCD必是边长为1的正方形， ∴乙正确， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）　 ． 【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 理由：∵四边形ABCD是矩形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 或∵四边形ABCD是矩形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形， 故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）． 8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若AB＝4，则DE的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠C＝90°， ∵E是BC中点， ∴CE＝2． 在Rt△DCE中， 根据勾股定理得： ， 故答案为：． 9．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数　55°　 ． 【解答】解：过M作MG∥AB交AD于G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CB， ∵CE＝MN， ∴△GMN≌△BCE（HL）， ∴∠ANM＝∠CEB， ∵∠MCE＝35°， ∴∠CEB＝90°﹣35°＝55°， ∴∠ANM＝55°． 故答案为：55°． 10．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：阴影部分的面积 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒0.5cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　4或14　 ． 【解答】解：∵△DCE是直角三角形， ∴△PBC为直角三角形， ∴点P只能在AB上或者CD上， 当点P在AB上时，有BP＝CE， ∴BP＝CE＝1， ∴AP＝2， ∴t＝2÷0.5＝4， 当点P在CD上时，有CP＝CE＝1， ∴t＝（3+3+1）÷0.5＝14， 故答案为：4或14． 12．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点． （1）若AE＝1，则EF的长＝　　 ； （2）在整个运动过程中，OP长的最小值为 　　 ． 【解答】解：（1）∵ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°， 又∵AE＝BF， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF， ∵AE＝1， ∴BF＝1，BE＝3， ∴EF； 故答案为：； （2）∵∠ADE＝∠BAF， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°， ∴∠EOF＝∠AOD＝90°， 又∵点P为EF的中点， ∴OPEF， 设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x， ∴EF， ∴当x＝2时，EF最小为2，即OP最小为； 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 13．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，点E在AD边上，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形． 【解答】证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴EB＝EC，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝90°， ∴平行四边形BECF是正方形． 14．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）当△ABC满足条件 　∠BAC＝90°　 时，四边形AEDF是正方形． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴EA＝ED， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）在△ABC中，当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 故答案为：∠BAC＝90°． 15．如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F．求证：EF⊥AP． 【解答】证明：如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝∠ABC＝90°， 又∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴四边形PECF为矩形， 同理四边形BCFG也为矩形， ∴PE＝FC＝GB， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠GBD＝45°， ∴PG＝BG＝PE， 又∵AB＝BC＝CD， ∴AG＝EC＝PF， 在△PAG和△EFP中， ， ∴△PAG≌△EFP（SAS）， ∴∠APG＝∠FEP＝∠FPH， ∵∠FEP+∠PFH＝90°， ∴∠FPH+∠PFH＝90°， ∴AP⊥EF． 16．在线段AE上取一点B使AB＞BE，以AB、BE为边在AE同侧作正方形ABCD、BEFG，在AB上取AH＝BE在BC的延长线上取K使CK＝BE，连接DK、KF、DH、HF （1）求证：四边形FHDK为正方形； （2）利用第（1）题，证明勾股定理． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，四边形BEFG是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，BE＝EF＝BG＝GF，∠A＝∠ABC＝∠DCB＝∠E＝∠BGF＝90°， ∴∠DCK＝∠KGF＝90°， ∵AH＝BE＝CK， ∴AH＝EF＝GF＝CK，BH＝CG， ∴HE＝GK＝CD＝AD， 在△ADH与△EHF与△CDK与△GKF中，， ∴△ADH≌△EHF≌△CDK≌△GKF， ∴DH＝HF＝DK＝FK， ∴四边形FHKD为正方形； （2）解：设AD＝AB＝BC＝CD＝a，BE＝EF＝BG＝GF＝b，DH＝HF＝DK＝FK＝c， ∵S正方形ABCD+S正方形BEFG﹣S△ADH﹣S△EFH＝S正方形HFKD﹣S△DCK﹣S△GFK， ∴S正方形ABCD+S正方形BEFG＝S正方形HFKD， 即a2+b2＝c2． 17．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接AB，△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）∠APB＝ 　45　 °； （2）①求证：四边形OCPD是正方形； ②若OA＝AC＝3，求点B的坐标． 【解答】（1）解：∵PD⊥y轴，PC⊥x轴，∠AOB＝90°， ∴∠PDO＝∠PCO＝∠DOC＝90°， ∴四边形PDOC是矩形， ∴∠DPC＝90°， 过P作PE⊥AB于E， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∵PB＝PB， ∴Rt△PDB≌Rt△PEB（HL）， ∴∠DPB＝∠EPB， 同理∠CPA＝∠EPA， ∴∠BPA＝∠BPE+∠APE； 故答案为：45； （2）①证明：由（1）知四边形PDOC是矩形， ∵△AOB的两条外角平分线BP、AP交于第一象限的点P，PD⊥y轴，PC⊥x轴， ∴PD＝PE，PE＝PC， ∴PD＝PC， ∴四边形OCPD是正方形； ②∵OA＝AC＝3， ∴OC＝OD＝6， 由（1）知，Rt△PDB≌Rt△PEB， ∴BD＝BE， 同理AE＝AC＝3， 设OB＝x，则BD＝BE＝6﹣x， ∴AB＝3+6﹣x， ∵AB2＝OB2+OA2， ∴（9﹣x）2＝x2+32， ∴x＝4， ∴点B的坐标为（0，4）． 18．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　3　 ． 【解答】解：（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC＝∠BAC+∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF是矩形， ∵AD＝AE，AD＝AF， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）设CD＝x，则BC＝x+2 ∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形， ∴EG＝FG＝AD＝6，∠BGC＝90°， ∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x， ∴BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x， 在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG2＝BC2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得x＝3， ∴CD＝3， 故答案为：3． 19．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，求DE的长． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：结论：△AHF是等腰三角形， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ABH＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AE＝BF， ∵DE＝AF， ∴BH＝AE， ∴BH＝BF， ∵∠ABH＝90°， ∴AH＝AF， ∴△AHF是等腰三角形； 类比迁移：解：延长CB到点H，使BH＝AE＝7，连接AH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB＝AD， ∴∠ABH＝∠BAD， ∵BH＝AE， ∴△DAE≌△ABH（SAS）， ∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°， ∵DE＝AF， ∴AH＝AF， ∴△AHF是等边三角形， ∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝7+2＝9， ∴DE＝AH＝9． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $