8.2 立方根课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 8.2 立方根 1. 通过类比推理,了解立方根的概念,区分平方根与立方根的不同 2. 能用有理数估计一个开立方不能开尽的数的立方根的大致范围,形成估算的意识,培养估算能力. 3. 体会数学与实际生活的紧密联系,培养善于发现问题和提出问题的习惯. 重点:会用根号表示立方根,求千以内的完全立方数的立方根. 难点:求千以内的完全立方数的立方根. 学习目标 22054 情境导入 二阶魔方由几个小立方体构成_ 三阶魔方由几个小立方体构成_ 四阶魔方由几个小立方体构成_ 如果一个魔方由 27 个小立方体构成,它应该是几阶魔方? 8 27 64 目标导学一:什么是立方根? 22054 新知讲解 问题1 要做大小不同的正方体模型(如图),正方体棱长如下所示,你能求出它们的体积吗? 正方体棱长 正方体体积 思考:已知正方体棱长求正方体体积这是做的什么运算呢? 立方运算 目标导学一:什么是立方根? 22054 新知讲解 问题2 反之,要做大小不同的正方体模型(如图),正方体体积如下所示,你能求出它们的棱长吗?. 正方体棱长 正方体体积 思考:类比平方根的定义,你可以对上表中四对数之间的关系给出新的数学概念吗? 目标导学一:什么是立方根? 22054 新知讲解 一般地,如果一个数的立方等于 a,即 x3=a,那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根. x3=a x叫做a的立方根 23 =8 2是8的立方根 求一个数的立方根的运算,叫做开立方. 正如开平方与平方互为逆运算,开立方与立方也互为逆运算. 互为 逆运算 立方运算 开立方运算 23=8 8的立方根是2 一个数 a 的立方根可以表示为: 根指数 被开方数 其中 a 是被开方数,3 是根指数,3 不能省略. 读作:三次根号 a, 立方根的表示 x3 =5 算一算: 23= ; (-2)3= ; 0.53= ; (-0.5)3= ; 03= ; 8 -8 0.125 -0.125 0 思考 1:通过计算,你能发现正数、0、负数的立方与 平方有什么不同之处吗? 探究新知 填一填: 根据立方根的意义填空: 因为 13 = 1,所以 1 的立方根是( ); 因为( )3 = 0.064,所以 0.064 的立方根是( ); 因为( )3 = 0,所以 0 的立方根是( ); 因为( )3 = -8,所以 -8 的立方根是( ); 0 1 -2 0 -2 0.4 0.4 你能发现正数的立方根有什么特点吗? 负数呢?0 的立方根是多少? 探究新知 立方根的性质 性质1:正数的立方根是正数; 性质2:负数的立方根是负数, 性质2:0的立方根是0. 总结 立方根是它本身的数有 1,-1, 0; 平方根是它本身的数只有 0. 归纳总结 平方根 立方根 区 别 概念 一般地,如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根 一般地,如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根 性质 正数 _个,互为_ _个,正数 负数 _ _个,负数 表示方法 , 根指数2常省略不写 ,根指数3不能省略 被开方数取值范围 _ _ 2 1 没有平方根 1 非负数 任意数 相反数 22054 小试牛刀 关于立方根,下列说法正确的是( ) A.正数有两个立方根 B.立方根等于它本身的数只有0 C.负数的立方根是负数 D.负数没有立方根 正数有一个立方根 立方根等于本身的数有-1,0,1 负数有立方根 C 例1 求下列各数的立方根: (1) (-2)3; (2) 343; (3) -64; (4) . 解: (1)(-2)3的立方根是-2,即 (2)因为73 = 343,所以343的立方根是7,即 (3)因为(-4)3 = -64,所以-64的立方根是-4,即 (4)因为 ,所以 的立方根是 ,即 例2 已知 x-2 的平方根是 2,2x+2y+7 的立方根是3,求x2+7y的立方根。 解: 因为 x-2 的平方根是 2 所以 x-2 = 4 则 x = 6 因为2x+2y+7 的立方根是3 所以 2x+2y+7 = 27 将 x = 6 代入,得 y = 4 x2 + 7y = 62 + 7 4 = 64 所以 x2 + 7y 的立方根是4。 提升探究 已知 y 的立方根是 2,2x – y 是 16 的算术平方根,求: (1) x,y 的值; (2) x2 + y2 的值的平方根。 解: (1)因为 y 的立方根是 2,2x – y 是 16 的算术平方根, 所以 y = 23 = 8, 2x – y = 4 所以 x = 6, y = 8。 (2) 由(1)得 x = 6, y = 8, 所以 x2 + y2 = 62 + 82 =100 所以 x2 + y2 的平方根为 。 针对训练 1.判断题。 (1) -3是-27的立方根; 【教材P49 练习第1、2题】 (2) 3是27的立方根; (3) (-1)3的立方根是-1; (4) 的立方根是-2; √ ,-3是-27的立方根。 , ,则-2的立方根是 。 练一练 √ 2.求下列各数的立方根: (2) 0.008; (1) -1; 解: (1)因为(-1)3 = -1,所以-1的立方根是-1,即 (2)因为(0.2)3 = 0.008,所以0.008的立方根是0.2,即 (3)因为 ,所以 的立方根是 ,即 1. 的算术平方根是 . 2 计算 的算术平方根时,注意先计算 = 4,再计算 4 的算术平方根. 练一练 1.判断题。 (1) -3是-27的立方根; 【教材P49 练习第1题】 (2) 3是27的立方根; (3) (-1)3的立方根是-1; (4) 的立方根是-2; 解: (1) 对。 (2) 错,-3是-27的立方根。 (3) 对。 (4) 错, ,则-2的立方根是 。 练习 2.求下列各数的立方根: (2) 0.008; (1) -1; 解: 【教材P49 练习第2题】 (1)因为(-1)3 = -1,所以-1的立方根是-1,即 (2)因为(0.2)3 = 0.008,所以0.008的立方根是0.2, 即 (3)因为 ,所以 的立方根是 ,即 练习 3.如图是一种形状为正方体的魔方,它的体积为216cm3,它的棱长是多少? 【教材P49 练习第3题】 解:设魔方的棱长为 x cm,则 x3=216 这就是要求一个数,使它的立方等于 216. 因为 63 = 216,所以 x = 6. 答:魔方的棱长为 6 cm。 思考:(1)各题中被开方数有什么关系? (2)这些数的立方根有什么关系? (3)根据计算结果,可以得到什么初步结论? –2 2 = –3 3 = 计算: –4 4 = 互为相反数 互为相反数 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 探究新知 被开方数的小数点向左(或向右)移动 3n 位时,其立方根的小数点就相应的向左(或向右)移动 n 位.反之,也成立 (n 为正整数). 总结 11 7 0.8 0.06 0.6 6 60 6.694 1000n 练一练 (2) 相等. 探究新知 1. 下列说法正确的是( D ) D A. 正数有2个立方根 B. -8的立方根是 2 C. 负数没有立方根 D. -1的立方根是-1 当堂检测 2. 将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块,则每个小正方体木块的棱长为( A ) A A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 3. 求下列各式的值: 【教材P50 练习第1、3题】 解: 4.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间? 解: (1)因为13=1,23=8,所以1< <2. (2)因为43=64,53=125,所以4< <5. (3)因为83=512,93=729,所以8< <9. (4)因为(-4)3=-64,(-3)3=-27,所以-4< <-3. 23700 6. 求下列各式中的x: (1)-3x3=0.081; (2)(x-2)3=729. 解:x=11. x=-0.3. x=11. 7. 一个长方体的长为9cm,宽为3cm,高为4cm,而另一个正方体的体积是它的2倍,求这个正方体的棱长.解:设正方体的棱长为acm, 则依题意得=92=216, 解得a=6. 故这个正方体的棱长为6cm. 解:设正方体的棱长为acm, 则依题意得a3=9 3 4 2=216, 解得a=6. 故这个正方体的棱长为6cm. 立方 立方根 定义 表示 特征 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做 a 的_或三次方根. 数 a 的立方根是_;0 的立方根是_; 一个数 a 的立方根用符号表示为_,a 是_,3 是_ 开立方 立方根 被开方数 0 根指数 课堂小结 $