第一章 §1.4 均值不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

§1.4　均值不等式 课标要求　1.了解均值不等式的推导过程.2.会用均值不等式解决简单的最值问题． 知识梳理 1．均值不等式：≥ (1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值． 2．利用均值不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用均值不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2(a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　×　) (2)y＝x＋的最小值是2.(　×　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　) (4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　) 2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案　C 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　因为0<x<1，所以1－x>0， 所以x(1－x)≤2＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立， 故x(1－x)的最大值为. 4．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则＋的最小值为________． 答案　4 解析　由x＋y＝1得＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当x＝y＝时，等号成立，即＋的最小值为4. 题型一　均值不等式的理解及常见变形 例1　(1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 答案　C 解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b， ∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. (2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 答案　C 解析　根据图形，利用射影定理得 CD2＝DE·OD， 又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab， 所以DE＝＝， 由于OD≥CD， 所以≥(a>0，b>0)． 由于CD≥DE， 所以≥＝(a>0，b>0)． 思维升华　均值不等式的常见变形 (1)ab≤2≤. (2)≤≤≤(a>0，b>0)． 跟踪训练1　(1)已知p：a>b>0，q：>2，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵a>b>0，则a2＋b2>2ab， ∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab， ∴2(a2＋b2)>(a＋b)2， ∴>2， ∴由p可推出q； 当a<0，b<0时，q也成立， 如a＝－1，b＝－3时，＝5>2＝4， ∴由q推不出p， ∴p是q成立的充分不必要条件． (2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A.≥ B.≤ C.≤ D．ab≤ 答案　BD 解析　A选项，由选项可知a与b同号，当a>0且b>0时，由均值不等式可知≥恒成立，当a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A选项错误； B选项，当a＋b>0时，>0，则2－2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； C选项，当a＋b>0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确． 题型二　利用均值不等式求最值 命题点1　直接法 例2　(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D.＋ 答案　BC 解析　选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． (2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　由已知，得12＝4x＋3y≥2， 即12≥2， 解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号)． 命题点2　配凑法 例3　(1)(2023·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A. B. C．2 D．2 答案　D 解析　因为4a2＋b2＝7，则a＝×2a×＝≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，等号成立． (2)已知x>1，则 的最小值为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案　A 解析　因为x>1，所以x－1>0， ＝＝x－1＋2＋≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立． 与均值不等式模型结构相似的对勾函数模型 如图，对于函数f(x)＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞)． (1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝＋＝2； (2)当＜a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋； (3)当＞b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋. 因此，只有当∈[a，b]时，才能使用均值不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值． 典例　函数f(x)＝x2＋的最小值是______． 答案　 解析　由f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2， 令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2， 由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝， 即当x＝0时，f(x)min＝. 命题点3　代换法 例4　(1)已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 答案　C 解析　8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 延伸探究　已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________． 答案　72 解析　∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＋＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． (2)已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则＋的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 答案　B 解析　由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4， 于是＋＝· ＝ ≥＝， 当且仅当＝，且a>0，b>0，即a＝，b＝时，等号成立． 所以＋的最小值为. 命题点4　消元法 例5　已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　) A．1 B. C．2 D．2 答案　B 解析　∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0，则b＝＋，∴b－＝＋－＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝2时，等号成立，此时b＝. 命题点5　构造不等式法 例6　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去)． 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 跟踪训练2　(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sin x＋ B．y＝2－x－(x＜0) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 答案　AD 解析　对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；对于B，因为x＜0，所以－x＞0，－x＋≥2＝4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立，所以y＝2－x－≥2＋4＝6，即y＝2－x－(x＜0)的最小值为6，不符合题意；对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意． (2)(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是(　　) A．ab的最大值为2 B．a＋b的最小值为4 C．a＋2b的最小值为6－3 D.＋的最小值为 答案　BCD 解析　对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2， 即()2＋2－8≤0，解得－4≤≤2， 又因为a>0，b>0，所以0<≤2， 则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误； 对于B，ab＋a＋b＝8≤＋(a＋b)， 即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确； 对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a， 所以b＝>0，解得0<a<8， 所以a＋2b＝a＋2×＝a＋－2 ＝a＋1＋－3 ≥2－3＝6－3， 当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时取等号，故C正确； 对于D，＋＝[a(b＋1)＋b]＝≥×(2＋2)＝， 当且仅当＝，即b＝4，a＝时取等号，故D正确． 课时精练 一、单项选择题 1．已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．9 B．18 C．9 D．27 答案　B 解析　因为m>0，n>0， 由均值不等式m＋n≥2得， m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立， 所以m＋n的最小值是18. 2．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 答案　D 解析　由题意得a>0，b>0，＋＝1， 故4a＋9b＝(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 故4a＋9b的最小值是25. 3．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　对原条件式转化得＋＝5， 则3x＋4y＝(3x＋4y) ＝ ≥＝5， 当且仅当＝且x＋3y＝5xy， 即x＝1，y＝时取等号． 故3x＋4y的最小值为5. 4．“∀x∈(1,4]，不等式x2－mx＋m>0恒成立”的充分不必要条件是(　　) A．m>4 B．m< C．m<4 D．m<2 答案　D 解析　已知∀x∈(1,4]，由不等式x2－mx＋m>0恒成立，得>m恒成立， 因为＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝2时取等号， 所以m<4， 所以m<2是m<4的充分不必要条件． 5．若x>0，y>0，x＋3y＝1，则的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为x>0，y>0，x＋3y＝1， 则＝＋ ＝(x＋3y) ＝＋＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当＝， 即x＝y＝时，等号成立， 所以0<≤， 即的最大值为. 6．已知x>y>0且4x＋3y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案　B 解析　由x>y>0得2x－y>0，x＋2y>0， 令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y， 由4x＋3y＝1得a＋2b＝1， 故＋＝(a＋2b) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，且a＋2b＝1， 即a＝b＝时取等号， 也即2x－y＝，x＋2y＝， 即x＝，y＝时，等号成立， 故＋的最小值为9. 二、多项选择题 7．已知x，y是正数，且x＋y＝2，则(　　) A．x(x＋2y)的最大值为4 B．log2x＋log2y的最大值为0 C．2x＋2y的最小值为4 D.＋的最小值为＋ 答案　BCD 解析　由x，y是正数，且x＋y＝2，可得0<x<2,0<y<2， x(x＋2y)＝(x＋y－y)(x＋y＋y)＝(x＋y)2－y2＝4－y2， 由0<y2<4可得0<4－y2<4， 所以x(x＋2y)无最大值，故A错误； 由x＋y＝2≥2，得0<xy≤1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立， 所以log2x＋log2y＝log2xy≤log21＝0，故B正确； 由均值不等式可得2x＋2y≥2＝2＝4， 当且仅当x＝y＝1时取等号，故C正确； ＋＝(x＋y)＝≥＝＋， 当且仅当x＝2－2，y＝4－2时取等号，故D正确． 8．(2022·新高考全国Ⅱ)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案　BC 解析　因为ab≤2≤(a，b∈R)， 由x2＋y2－xy＝1可变形为 (x＋y)2－1＝3xy≤32， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为 (x2＋y2)－1＝xy≤， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确； 因为x2＋y2－xy＝1可变形为 2＋y2＝1， 设x－＝cos θ，y＝sin θ， 所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ， 因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋ ＝＋sin∈，所以D错误． 三、填空题 9．若x<2，则x＋的最大值为________． 答案　－4 解析　x＋＝x－2＋＋2， 由于x<2，所以2－x>0， 故2－x＋≥2＝6， 当且仅当2－x＝，即x＝－1时，等号成立， 所以x－2＋＝－≤－6， 故x＋＝x－2＋＋2≤－4， 所以x＋的最大值为－4. 10．函数f(x)＝在(1，＋∞)上的最大值为________． 答案　 解析　因为f(x)＝，x∈(1，＋∞)， 令x－1＝t，则t>0， 则f(t)＝＝＝≤＝， 当且仅当2t＝，t＝1，即x＝2时，等号成立． 故f(x)在(1，＋∞)上的最大值为. 11．已知a>1，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为________． 答案　 解析　因为a>1，b>2， 所以a－1>0，b－2>0， 又a＋b＝5， 所以(a－1)＋(b－2)＝2，即[(a－1)＋(b－2)]＝1， 所以＋＝[(a－1)＋(b－2)]· ＝ ≥ ＝×(5＋4)＝， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， 所以＋的最小值为. 12．已知正数a，b满足(a＋5b)(2a＋b)＝36，则a＋2b的最小值为________． 答案　4 解析　因为a>0，b>0，所以36＝(a＋5b)(2a＋b)≤2＝(a＋2b)2，所以a＋2b≥4，当且仅当即a＝，b＝时，等号成立，所以a＋2b的最小值为4. 四、解答题 13．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝30，求： (1)xy的最大值； (2)2x＋y的最小值． 解　(1)因为x>0，y>0， 根据均值不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号)， 令＝t(t>0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x＋2y＋xy＝30可知，y＝>0,0<x<30,2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. 14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>5)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求实数a的取值范围． 解　(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左右两面墙的长度均为x米(2≤x≤6)， 则屋子前面新建墙体长为 米， 则y＝3＋7 200 ＝900＋7 200 ≥900×2＋7 200＝14 400， 当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元． (2)由题意可知，900＋7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立， 即>，所以>a， 即a<min， ＝x＋1＋＋6≥2＋6＝12， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立， 则的最小值为12，即0<a<12， 又a>5，所以a的取值范围是(5,12)． 15．已知x，y为正实数，则＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 答案　C 解析　由题得＋＝＋， 设＝t(t>0)， 则f(t)＝t＋＝t＋2＋－2 ≥2－2＝8－2＝6， 当且仅当t＋2＝，即t＝2，即y＝2x时取等号． 所以＋的最小值为6. 16．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________． 答案　4 解析　∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0， a2＋＋＝a2＋ab－ab＋＋ ＝a2－ab＋＋ab＋ ＝a(a－b)＋＋ab＋ ≥2＋2＝4， 当且仅当即a＝，b＝时，等号成立． ∴a2＋＋的最小值是4. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $