第四章 §4.7 三角函数中有关ω的范围问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

§4.7　三角函数中有关ω的范围问题 重点解读　在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点． 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 例1 已知ω>0，函数f(x)＝cos ωx－sin(π－ωx)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A．[2,6] B．(2,6) C. D. 答案　C 解析　由已知得f(x)＝cos ωx－sin(π－ωx) ＝cos ωx－sin ωx ＝sin ωxcos ＋cos ωxsin ＝sin， 又f(x)在上单调递增， 所以k∈Z， 解得6k－4≤ω≤4k－，k∈Z， 由6k－4≤4k－，得k≤，k∈Z， 又ω>0，k∈Z， 因此k＝1，所以2≤ω≤. 思维升华 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围． 跟踪训练1 (2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 答案　D 解析　∵f ＝3，f(π)＝0， ∴π－＝·T(n∈N)，T＝， ∵f(x)在上单调递减， ∴≥－＝，∴T≥， 即≥，∴2n＋1≤10，n∈N， ∴n＝0,1,2,3,4， 即周期T有5个不同取值， ∴ω的取值共有5个． 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 例2 (2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是________． 答案　 解析　函数f(x)＝cos ωx－sin ωx ＝2＝2cos， 因为x∈(0,2π)，ω>0， 所以ωx＋∈， 由于函数f(x)在区间(0,2π)上有且仅有2个极值点，所以f(x)在(0,2π)上有且仅有2条对称轴， 则2π<2πω＋≤3π， 解得ω∈. 思维升华 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围． 跟踪训练2 (2024·大庆模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A．(5,8) B．(5,8] C．(5,11] D．[5,11) 答案　B 解析　由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，ω>0， 因为x∈，所以<ωx＋<(1＋ω)， 要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则需满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8， 所以ω的取值范围为(5,8]． 题型三　三角函数的最值与ω的关系 例3 已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． 答案　(－∞，－2]∪ 解析　由题意，显然ω≠0. 若ω>0，当x∈时，ωx∈， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2， 所以－ω≤－，解得ω≥； 若ω<0，当x∈时，ωx∈， 因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2. 综上所述，ω的取值范围是(－∞，－2]∪. 思维升华 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． 跟踪训练3 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　) A．98π B. C. D．100π 答案　B 解析　由题意，在[0,1]上至少出现50次最大值即在[0,1]上至少需要49个周期，即个周期， 所以T＝·≤1， 所以ω≥，ω的最小值为. 题型四　三角函数的零点与ω的关系 例4 (2023·开封统考)若函数g(x)＝cos在区间[0，π)内有5个零点，则ω的取值范围是(　　) A.≤ω< B.<ω≤ C.≤ω< D.<ω≤ 答案　D 解析　g(x)＝cos， 当x∈[0，π)时，2ωx－∈， y＝cos x在y轴右方的零点为x＝，，，，，，…， 因为函数g(x)的图象在区间[0，π)内有5个零点， 所以<2ωπ－≤，解得<ω≤. 思维升华 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值． 跟踪训练4 (2024·株洲模拟)已知f(x)＝sin ωx(ω∈N+)，若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f(a)＋f(b)＝2，则ω可以为________．(填一个值即可) 答案　5(答案不唯一) 解析　f(x)＝sin ωx≤1，ω∈N+， 若在区间上存在两个不相等的实数a，b，满足f(a)＋f(b)＝2， 则在区间上f(x)至少存在两个最大值， ∴≥， ∴ω≥5， 又ω∈N+，∴ω可以为5. 课时精练 一、单项选择题 1．(2024·达州模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，若f(x)在区间上单调，且f(0)＝f ＝－f ，则ω的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由于f(x)在区间上单调，且f ＝－f ，所以≤，且f ＝0， 又因为f(0)＝f ，且<， 所以直线x＝为f(x)图象的对称轴， 又－＝<，所以＝，故ω＝2. 2．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝sin＋sin ωx(ω>0)，f(x1)＝0，f(x2)＝，且|x1－x2|＝π，则ω的最小值为(　　) A. B. C．1 D．2 答案　A 解析　因为f(x)＝sin＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin， f(x1)＝0，f(x2)＝，且|x1－x2|＝π， 所以函数f(x)的最小正周期T满足T＝π(k∈N)，则T＝(k∈N)， 所以ω＝＝(k∈N)， 又ω>0，故当k＝0时，ω取最小值. 3．若直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin在区间上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9 B．7 C．11 D．3 答案　C 解析　因为直线x＝是曲线y＝sin(ω>0)的一条对称轴， 则ω－＝kπ＋，k∈Z， 即ω＝4k＋3，k∈Z， 当x∈时，ωx－∈， 因为f(x)在上不单调， 所以π－>，解得ω>9， 所以ω的最小值为11. 4．(2023·开封模拟)已知将函数f(x)＝2sin ·(ω>0)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0，π)上有3个极值点，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　f(x)＝2sin ＝2sin cos －2sin2＝sin ωx－(1－cos ωx)＝sin ωx＋cos ωx－＝2sin－， 令g(x)＝f ＝2sin－＝－2cos－， 因为ω>0， 所以当x∈(0，π)时，ωx＋∈， 又因为g(x)在(0，π)上有3个极值点，则由余弦函数的性质可得3π<ωπ＋≤4π，解得<ω≤. 5．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若方程|f(x)|＝1在区间(0,2π)上恰有5个实根，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由方程|f(x)|＝＝1， 可得sin＝±， 所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)， 因为ω>0， 所以当x∈(0,2π)时，ωx＋∈， 所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…， 因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根， 所以<2ωπ＋≤， 解得<ω≤，即ω的取值范围是. 6．(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，x＝－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是(　　) A．11 B．13 C．15 D．17 答案　C 解析　由题意，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴， 所以f ＝±1，即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z，① 又f ＝0，所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z，② 由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z， 又f(x)在区间上有最小值无最大值， 所以T≥－＝， 即≥，解得ω≤16. 综上，先检验ω＝15， 当ω＝15时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，又|φ|≤， 所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈， 当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意． 故ω的最大值是15. 二、多项选择题 7．(2024·海淀区模拟)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，那么常数ω的一个取值可以为(　　) A. B. C. D．1 答案　ABC 解析　f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增， 则ω·≤，ω·≥－， ∴0<ω≤， ∴选项ABC符合题意． 8．(2023·郑州模拟)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列判断正确的是(　　) A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2 B．存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为 D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为 答案　CD 解析　因为f(x)＝1－2cos2 ＝－cos＝sin， 所以周期T＝＝. 对于A，由条件知，周期为2π，所以＝2π， 解得ω＝，故A错误； 对于B，函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝sin的图象， 若其关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)， 故对任意整数k，ω∉(0,2)，故B错误； 对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π， 解得≤ω<，故C正确； 对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确． 三、填空题 9．(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案　[2,3) 解析　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0， 则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 10．(2024·杭州模拟)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ).若x＝－为函数f(x)的零点，x＝为函数f(x)的图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则ω的最大值为________． 答案　 解析　由题意得k1，k2∈Z， 则 又f(x)在上单调， 则－＝≤＝，解得0<ω≤5， 即0<＋≤5，k1，k2∈Z， 则－<k2－k1≤， 当k2－k1＝2时，ω＝，此时φ＝， f(x)＝sin， 当x∈时，x＋∈， ∴f(x)单调递减，符合题意，故ωmax＝. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $