第四章 §4.5 三角函数的图象与性质（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（人教B版）

§4.5　三角函数的图象与性质 课标要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在上的性质． 知识梳理 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 [2kπ－π，2kπ] 单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 对称中心 (kπ，0) 对称轴 方程 x＝kπ＋ x＝kπ 常用结论 1．对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．(　×　) (2)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　×　) (3)若f(2x＋T)＝f(2x)，则T是函数f(2x)的周期．(　×　) (4)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　×　) 2．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上单调递增 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 答案　ABC 解析　由题意得f(x)＝－cos x， 对于A，T＝＝2π，故A正确； 对于B，因为y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在上单调递增，故B正确； 对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误． 3．函数f(x)＝2tan图象的对称中心的坐标是(　　) A. B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案　D 解析　令2x－＝，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 所以函数f(x)＝2tan图象的对称中心的坐标是，k∈Z. 4．函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝________. 答案　5　＋2kπ(k∈Z) 解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z). 题型一　三角函数的定义域和值域 例1 (1)函数y＝的定义域为(　　) A. B.(k∈Z) C.(k∈Z) D．R 答案　C 解析　由cos x－≥0，得cos x≥， ∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)． (2)如果函数f(x)＝sin＋＋a在区间上的最小值为，则a的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为当x∈时，x＋∈， 所以sin∈， 当x＝时，sin有最小值－. 可得f(x)＝sin＋＋a的最小值为－＋＋a＝，解得a＝. 思维升华 三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域． 跟踪训练1 (1)函数y＝tan的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　函数y＝tan＝－tan， 令x－≠＋kπ，k∈Z， 解得x≠＋kπ，k∈Z， ∴函数y的定义域是. (2)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　因为f(x)＝cos 2x＋6cos ＝cos 2x＋6sin x＝1－2sin2x＋6sin x ＝－22＋， 又sin x∈[－1,1]， 所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5. 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 例2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为π B．点是y＝f(x)图象的对称中心 C．点是y＝f(x)图象的对称中心 D．直线x＝是y＝f(x)图象的对称轴 答案　AD 解析　f(x)＝sin x(sin x－cos x) ＝sin2x－sin xcos x ＝－sin 2x ＝－sin＋， T＝＝π，故A正确； 当x＝－时，2x＋＝0， 此时sin＝0， 则函数关于点对称，故B错误； 当x＝时，2x＋＝，此时sin＝1， 则函数关于直线x＝对称，故C错误； 当x＝时，2x＋＝，此时sin＝－1， 则函数关于直线x＝对称，故D正确． (2)已知函数f(x)＝cos是奇函数，且φ∈，则φ的值为________． 答案　 解析　由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z)， 又因为φ∈， 所以当k＝0时，φ＝符合题意． 思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． (3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可． 跟踪训练2 (1)(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x| C．y＝cos D．y＝tan 答案　ABC 解析　A中，y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π； B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； C中，y＝cos的最小正周期T＝＝π； D中，y＝tan的最小正周期T＝. (2)(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称，则f ＝________. 答案　 解析　函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，其图象关于直线x＝对称， 则 ∵|φ|<，∴ω＝2，φ＝， 故f(x)＝2sin， 则f ＝2sin＝. 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 例3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 答案　C 解析　依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确； 对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确； 对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确； 对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确． (2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________． 答案　，k∈Z 解析　f(x)＝sin的单调递减区间是g(x)＝sin的单调递增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为，k∈Z. 延伸探究 若例3(2)中的函数不变，求其在[0，π]上的单调递减区间． 解　令A＝，k∈Z，B＝[0，π]， ∴A∩B＝∪， ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. 命题点2　根据单调性求参数 例4 已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由x∈，可得2x－φ∈， 又由0<φ<，且f(x)在上单调递增， 可得－φ≤，所以≤φ＜. 当x∈时，2x－φ∈， 由f(x)在上有最小值，可得－φ>， 所以φ<.综上，≤φ<. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知f(x)＝cos， 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z， 则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 又x∈， ∴f(x)在上的单调递减区间为. (2)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A. B. C. D．π 答案　A 解析　f(x)＝cos x－sin x＝cos， 由题意得a>0， 因为f(x)＝cos在[－a，a]上单调递减， 所以解得0<a≤， 所以a的最大值是. 课时精练 一、单项选择题 1．若函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为，则ω等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为函数y＝cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为， 所以＝，则T＝π， 所以T＝＝π，解得ω＝1. 2．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝cos，则f(x)在[－2,0]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 答案　D 解析　∵x∈[－2,0]， ∴2x－∈， ∵－<－4－<－π<－<0， ∴函数f(x)＝cos在[－2,0]上先减后增． 3．已知函数f(x)＝2cos，设a＝f ，b＝f ，c＝f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 答案　A 解析　a＝f ＝2cos ， b＝f ＝2cos ， c＝f ＝2cos ， 因为y＝cos x在[0，π]上单调递减， 又0<<<<π， 所以a>b>c. 4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴， 所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 由题意知，当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0， 则f(x)＝sin， 则f ＝sin＝. 5．(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝sin|x|－cos 2x，则下列结论错误的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)的最小正周期为π C．f(x)的最小值为－ D．f(x)的最大值为2 答案　B 解析　因为f(－x)＝sin|－x|－cos(－2x)＝sin|x|－cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确； 若f(x)的最小正周期为π，则f(x＋π)＝f(x)恒成立，即sin|x＋π|－cos 2(x＋π)＝sin|x|－cos 2x，即sin|x＋π|＝sin|x|恒成立，而当x＝时，sin ≠sin ，所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的，则B错误； 由f(x)是偶函数，只需考虑x≥0时的最值即可，当x≥0时，f(x)＝sin x－cos 2x＝2sin2x＋sin x－1＝22－，因为sin x∈[－1,1]，所以22－∈，即f(x)的值域为，则C和D正确． 6．(2023·安康模拟)记函数f(x)＝sin＋b(ω∈N+)的最小正周期为T，若<T<π，且y＝f(x)的最小值为1.则y＝f(x)图象的一个对称中心为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由函数的最小正周期T满足<T<π， 得<<π，解得2<ω<4， 又因为ω∈N+，所以ω＝3， 所以f(x)＝sin＋b， 又函数y＝f(x)的最小值为1，所以b＝2， 所以f(x)＝sin＋2， 令3x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z， 所以对称中心为(k∈Z)，只有C符合题意(k＝2)． 二、多项选择题 7．(2024·株洲模拟)下列关于函数f(x)＝cos x＋asin x(a≠0)的说法正确的是(　　) A．存在a，使f(x)是偶函数 B．存在a，使f(x)是奇函数 C．存在a，使f(x＋π)＝f(x) D．若f(x)的图象关于直线x＝对称，则a＝1 答案　AD 解析　函数f(x)＝cos x＋asin x ＝sin(x＋θ)， 其中sin θ＝，cos θ＝，θ∈(0，π)， 当a＝0时，f(x)＝cos x为偶函数，故A正确； 对于B，无论a取何值，函数f(x)＝sin(x＋θ)都不可能为奇函数，故B错误； 对于C，f(x＋π)＝sin(x＋π＋θ)＝－sin(x＋θ)≠f(x)，故C错误； 对于D，当x＝时，函数f(x)取得最大值或最小值，故＋a＝±，解得a＝1，故D正确． 8．(2023·西安模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调，且f ＝－f ＝1，则(　　) A．ω＝3 B．φ＝－ C．ω＝2 D．φ＝ 答案　CD 解析　因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调， 所以＝·≥－＝，所以0<ω≤2， 因为f ＝－f ＝1， 所以sin＝－sin＝1， 所以ω＋φ＝＋2k1π， ω＋φ＝＋2k2π，k1，k2∈Z， 故ω＝π＋2(k2－k1)π， 所以ω＝2＋4(k2－k1)，k2，k1∈Z， 因为0<ω≤2，k2－k1∈Z，所以ω＝2， 则φ＝＋2k1π，k1∈Z， 又0<|φ|<，所以φ＝. 三、填空题 9．函数y＝的定义域为________． 答案　(k∈Z) 解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z)． 方法二　要使函数y＝有意义，即使sin x－cos x≥0，即sin≥0，即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即原函数的定义域为(k∈Z)． 10．写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝________. ①∀x∈R，f ＝f(x)； ②∀x∈R，f(x)≤f 恒成立． 答案　－cos 4x(答案不唯一) 解析　由∀x∈R，f ＝f(x)可知，函数的周期为， 由∀x∈R，f(x)≤f 恒成立可知，函数在x＝处取到最大值， 则f(x)＝－cos 4x满足题意， 一方面根据余弦函数的周期公式，T＝＝，满足∀x∈R，f ＝f(x)， 另一方面，f ＝－cos π＝1＝f(x)max，满足∀x∈R，f(x)≤f 恒成立． 11．若函数f(x)＝7sin在区间上单调，则实数a的最大值为________． 答案　 解析　因为x∈， 所以x＋∈， 又在y＝sin x的单调递减区间内， 所以a＋≤， 解得a≤， 所以a的最大值为. 12．已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为________． 答案　 解析　∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]， ∴sin x＝－cos y∈[－1,1]， ∴cos y∈，即cos y∈， ∵sin x－sin2y＝－cos y－(1－cos2y) ＝cos2y－cos y－＝2－1， 又cos y∈， 利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，sin x－sin2y取最大值，(sin x－sin2y)max＝2－1＝. 四、解答题 13．设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域． 解　(1)由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝＋(k∈Z)． 又0<ω<，所以ω＝， 所以函数f(x)的最小正周期为3π. (2)由(1)知f(x)＝2sin＋m， 因为f(π)＝0， 所以2sin＋m＝0， 解得m＝－2， 所以f(x)＝2sin－2， 当0≤x≤时，－≤x－≤， 可得－≤sin≤1. 所以－3≤f(x)≤0， 故函数f(x)在上的值域为[－3,0]． 14．(2023·新乡模拟)已知函数f(x)＝asin－2cos2(a>0)，且满足________． 从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期； (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解　(1)函数f(x)＝asin－2cos2 ＝asin－cos－1 ＝asin－cos－1 ＝asin＋sin－1 ＝(a＋1)sin－1， 若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin－1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π， 且f(x)的最小正周期T＝＝π， 所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin－1. 若选择条件③f(x)的图象过点， 则f ＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1. 所以f(x)＝2sin－1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令f(x)＝1，得sin＝1， 解得2x－＝＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z. 若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或x＝， 所以实数m的取值范围是. 15．(2024·抚顺模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的周期是 B．f(x)的值域是{y|y≠0，y∈R} C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z 答案　D 解析　函数f(x)的周期是2π，故A错误； f(x)的值域是[0，＋∞)，故B错误； 当x＝时，x－＝≠，k∈Z， ∴直线x＝不是函数f(x)图象的一条对称轴，故C错误； 令kπ－<x－<kπ，k∈Z， 可得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，故D正确． 16．(2023·无锡模拟)设函数f(x)＝sin在上的值域为[M，N]，则N－M的取值范围是______． 答案　 解析　函数f(x)＝sin的周期T＝π， 而－α＝<， 当函数f(x)在上单调时， N－M＝ ＝ ＝|cos 2α|≤， 当函数f(x)在上不单调时，由正弦函数的图象性质知， 当f(x)在上的图象关于直线x＝α＋对称时，N－M最小， 此时2－＝kπ＋，k∈Z， 即α＝＋，k∈Z， 因此(N－M)min＝ ＝ ＝ ＝＝， 所以N－M的取值范围是. 谢谢! 学科网（北京）股份有限公司 $