8.2 第2课时 一元线性回归模型的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

8.2 第2课时 一元线性回归模型的综合问题 [课时跟踪检测] 1.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其经验回归方程为=-3+x，若xi=20， yi=30，则的值为 （　　） A.1 B.3 C.-3 D.-1 解析：选B　因为xi=20，所以==2，因为yi=30，所以==3.又因为样本点中心（，）在回归直线=-3+x上，所以=-3+，即3=-3+2，解得=3，故选B. 2.据统计，某产品的市场销售量y（万台）与广告费用投入x（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知y与x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是=0.3x+，则的值是 （　　） A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 解析：选A　由题可知==5，==4，将，代入经验回归方程可得4=0.3×5+⇒=2.5. 3.[多选]对于变量x和变量y，数据（-1，-1），（1，1），（x1，y1），（x2，y2），…，（x18，y18）的样本点的中心为（4.5，9），其经验回归方程为=x，若去除前两个已知样本点后得到的新的经验回归方程为=x+，则对于新的样本数据，下列说法正确的是 （　　） A.新的样本点的中心为（5，10） B.x与y具有正相关的关系 C.新的经验回归方程=x+与经验回归方程=x是相同的 D.随着变量x的增加，变量y的增加速度增大 解析：选AB　对于A，由题意得-1+1+x1+x2+…+x18=4.5×20，-1+1+y1+y2+…+y18=9×20， 所以x1+x2+…+x18=90，y1+y2+…+y18=180，所以=5，=10， 所以新的样本点的中心为（5，10），故A正确. 对于B，易知=x过点（4.5，9），所以9=4.5×，解得=2， 所以x与y具有正相关的关系，故B正确. 对于C，根据最小二乘估计可得 化简得xiyi=2+2， 所以新的经验回归方程=x+与经验回归方程=x不相同，故C错误. 对于D，因为经验回归方程为直线方程，所以随着变量x的增加， 变量y的增加速度不变，故D错误.故选AB. 4.（5分）2025年9月1日至23日（日期代码分别为1，2，…，23），某餐馆在区域M内投放广告单数量y（万张）与日期代码x满足经验回归方程=，则=　　　　（精确到小数点后两位）.   参考数据：y1y2y3…y23=e89.7，=12. 解析：对=的两边取自然对数，得ln =x+0.38，所以ln y与x具有线性相关关系. 因为ln（y1y2y3…y23）=ln e89.7=89.7，所以=3.9， 所以3.9=12+0.38，所以≈0.29. 答案：0.29 5.（5分）某学校为了解学生中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在线性相关关系，搜集了7位男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高x/cm 166 173 174 178 180 183 185 体重y/kg 57 62 59 71 67 75 78 根据表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为=x-136.55. （1）=　　　　；   解析：（1）由题表中数据可得， ==177，==67， 所以67=×177-136.55，解得=1.15. （2）由（1）知=67，故（yi-）2=（-10）2+（-5）2+（-8）2+42+02+82+112=390， 则有R2=1-≈0.87， 因为0.8<0.87<0.9， 所以该经验回归方程对应模型的拟合效果良好. 答案：（1）1.15　（2）良好 6.（10分）高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x与答题正确率y（%）的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下表所示数据： x 1 2 3 4 y 20 30 50 60 （1）求y关于x的经验回归方程，并预测答题正确率是100%的强化训练次数（保留整数）；（5分） （2）现用（i=1，2，3，4）表示统计数据的“强化均值”（保留整数），若“强化均值”的标准差在区间[0，2）内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效?（5分） 解：（1）由所给数据计算得=2.5，=40， xiyi-4　=70，-4=5， 所以=-=40-14×2.5=5， 所以所求经验回归方程是=14x+5.令100=14x+5，解得x≈7.所以预测答题正确率是100%的强化训练次数为7. （2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9，其平均数是7，所以“强化均值”的标准差是s==<2， 所以这个班的强化训练有效. 7.（10分）某乡政府为提高当地农民的收入，指导农民种植药材，并取得了较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 平均收入 y/千元 59 61 64 68 73 （1）根据表中数据，现有y=a+bx与y=c+dx2两种模型可以拟合y与x之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）（5分） （2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个模型哪一个的拟合效果更好，并据此预测2025年该农户种植药材的平均收入.（5分） 参考数据：（ti-）（yi-）=217，（ti-）2=374，其中ti=. 解：（1）由题表得=×（1+2+3+4+5）=3，=×（59+61+64+68+73）=65， 所以（xi-）（yi-）=35，（xi-）2=10， =-=65-3.5×3=54.5. 设t=x2，则y=c+dx2=c+dt， 易得=×（12+22+32+42+52）=11， 所以=-≈65-0.6×11=58.4. 所以两种模型的回归方程分别为=3.5x+54.5，=0.6x2+58.4. （2）对于=3.5x+54.5，其残差平方和为（59-58）2+（61-61.5）2+（64-65）2 +（68-68.5）2+（73-72）2=3.5. 对于=0.6x2+58.4，其残差平方和为（59-59）2+（61-60.8）2+（64-63.8）2+（68-68）2+（73-73.4）2 =0.24. 因为0.24<3.5，所以模型=0.6x2+58.4的拟合效果更好. 当x=7时，=0.6×72+58.4=87.8，故预测2025年该农户种植药材的平均收入为87.8千元，即8.78万元. 8.（10分）大气污染物PM2.5（大气中直径小于或等于2.5 μm的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度受车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点24 h内的车流量x（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3），得到的数据如表所示： 监测点编号 1 2 3 4 5 车流量x/千辆 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9 PM2.5的平均 浓度y/（μg/m3） 66 72 113 34 35 （1）建立y关于x的一元线性回归模型，并用样本相关系数加以说明（一般地，样本相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）认为线性相关性较强，否则认为线性相关性较弱）；（8分） （2）我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24 h平均浓度为75 μg/m3，该地为使PM2.5 24 h平均浓度不超过68.6 μg/m3，拟对车流量作适当控制，请你根据本题数据估计车流量控制的最大值.（2分） 解：（1）由题表得==1.2， ==64， xiyi=1.3×66+1.2×72+1.6×113+1.0×34+0.9×35=418.5， =1.32+1.22+1.62+1.02+0.92=7.5， =662+722+1132+342+352=24 690， 所以=115x-74. 因为|0.97|>0.75， 所以y与x的线性相关性较强. （2）令115x-74≤68.6，得x≤1.24， 故估计车流量控制的最大值为1.24千辆. 学科网（北京）股份有限公司 $