第一章 §1.6 一元二次方程、不等式（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§1.6　一元二次方程、不等式

课标要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．

 知识梳理

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系

 

2.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

3．简单的绝对值不等式

|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．

常用结论

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；

(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；

(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．

2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．

 

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)

(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)

(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)

2．已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________.

答案　R

解析　已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R.

3．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________．

答案　(－3,0]

解析　当k＝0时，满足题意；

当k≠0时，

解得－3<k<0，

所以－3<k≤0.

4．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则a＋b＝________.

答案　－1

解析　由题意知，方程x2－ax－b＝0的解为x＝2或x＝3，

由根与系数的关系，得解得

所以a＋b＝5－6＝－1.

题型一　求解一元二次不等式

命题点1　不含参的不等式

例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　)

A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}

B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}

C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}

D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件

答案　ABD

解析　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确；

因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；

由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，

解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；

由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．

 

命题点2　含参的不等式

例2　已知二次函数f(x)＝x2－ax－2a2，a∈R.

(1)若f(1)<0，求实数a的取值范围；

(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集．

解　(1)由已知得f(1)＝1－a－2a2<0，

即(a＋1)(2a－1)>0，

解得a<－1或a>.

所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪.

(2)f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，

令f(x)＝0，得x1＝2a，x2＝－a，

当2a<－a，即a<0时，解得x<2a或x>－a；

当2a＝－a，即a＝0时，解得x≠0，

当2a>－a，即a>0时，解得x<－a或x>2a.

综上所述，当a<0时，

解集为(－∞，2a)∪(－a，＋∞)；

当a＝0时，解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

当a>0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，＋∞)．

思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有