第一章 §1.5 基本不等式的综合应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§1.5　基本不等式的综合应用 课标要求　1.掌握基本不等式及其常见变形.2.会求与基本不等式有关的恒成立问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用． 题型一　基本不等式的常见变形应用 例1　(1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 答案　C 解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b， ∴b>>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. 故b>>>a. (2)《几何原本》中的几何代数法是以几何法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.≥(a>0，b>0) D.≥(a>0，b>0) 答案　C 解析　根据图形，利用射影定理得 CD2＝DE·OD， 又OD＝AB＝，CD2＝AC·CB＝ab， 所以DE＝＝， 由于OD≥CD， 所以≥(a>0，b>0)． 由于CD≥DE， 所以≥＝(a>0，b>0)． 思维升华　基本不等式的常见变形 (1)ab≤2≤. (2)≤≤≤(a>0，b>0)． 跟踪训练1　(1)已知实数a，b，则“ab≥0”是“a＋b≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为a＋b≥2等价于(－)2≥0， 所以a≥0，b≥0，ab≥0； 显然ab≥0推不出a＋b≥2， 所以“ab≥0”是“a＋b≥2”的必要不充分条件． (2)(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.≥ B．ab≤ C.＋≥2 D.≤ 答案　BC 解析　因为ab>0，故当a<0，b<0时，不等式≥不成立，故A不正确； 由重要不等式得ab≤恒成立，当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确； 因为ab>0，所以>0，>0，则＋≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，故C正确； 因为a2＋b2≥2ab，所以(a＋b)2≥4ab，当a<0，b<0时满足ab>0，但a＋b<0，此时≤，故D不正确． 题型二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 例2　(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－∞，－1]∪[9，＋∞) C．(－9，－1) D．[－9,1] 答案　A 解析　因为x>0，y>0，且＋＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，且＋＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． (2)若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) 答案　C 解析　令f(x)＝， 由题意可得a≤f(x)min， f(x)＝x＋＋3≥2＋3＝5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， a≤f(x)min＝5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5]． 思维升华　∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； ∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a. 跟踪训练2　对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A．{m|－2<m<2} B．{m|m>2} C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2} 答案　C 解析　因为对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立， 即mx<x2＋1对任意的x∈(－∞，0)恒成立， 即m>＝x＋对任意的x∈(－∞，0)恒成立， 因为x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)， 所以x＋＝－≤－2＝－2， 当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号， 所以m>－2. 题型三　基本不等式的实际应用 例3　第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格． (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解　(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元)． 所以能获得的总利润为240万元． (2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元， 单套利润为x－50－＝x－50－， 因为15－0.1x>0，所以0<x<150， 所以单套利润为 y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号． 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元． 思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3　第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2 － 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价． 解　(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8， 整理得 t2－65t＋1 000≤0， 解得25≤t≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元． (2)依题意知，当x>25时， 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解， 等价于当x>25时，a≥＋＋有解， ∵＋≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)， ∴a≥10.2. ∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 课时精练 一、单项选择题 1．若a>1，b>1，且a≠b，则a2＋b2，2ab，a＋b，2中的最大值是(　　) A．a2＋b2 B．2ab C．a＋b D．2 答案　A 解析　因为a>1，b>1，所以a2＋b2>a＋b， 根据基本不等式可知a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立， 因为a≠b，所以a2＋b2>2ab， 同理a＋b>2， 综上所述，上述四个式子中的最大值为a2＋b2. 2．已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点，则＋的最小值为(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　依题意，二次函数f(x)＝ax2－2x＋2b(a>0)的图象与x轴仅有一个交点， 令ax2－2x＋2b＝0， 所以Δ＝(－2)2－4a·2b＝0，所以ab＝1， 因为a>0，所以b>0， 所以＋≥2＝2，当且仅当＝， 即a＝，b＝时，等号成立． 3．若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 答案　B 解析　设底面圆半径为r，则圆柱的高为2， 圆柱侧面积为S＝2πr·2＝4πr≤4π·＝8π， 当且仅当r＝，即r＝时等号成立． 4．在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为△ABC的面积为2， 所以S△ABC＝bcsin A＝bcsin ＝2， 得bc＝8， 在△ABC中，由正弦定理得 ＋＝＋ ＝＋＝＋ ＝＋－ ≥2－＝2－＝， 当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立． 5．(2023·潮州模拟)若正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4,1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1,4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 答案　C 解析　因为正实数x，y满足＋＝1， 则x＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， 当且仅当＝，且＋＝1， 即x＝2，y＝8时，等号成立， 所以x＋的最小值为4， 要使不等式x＋≥m2－3m恒成立， 则m2－3m≤4，解得－1≤m≤4， 所以实数m的取值范围是[－1,4]． 6．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a＋b＝6，c＝4，则此三角形面积的最大值为(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由题意，得p＝5，S＝＝＝＝·≤·＝×＝2， 当且仅当a＝b＝3时，等号成立， ∴此三角形面积的最大值为2. 二、多项选择题 7．已知2a＝3b＝6，则a，b满足(　　) A．a>b B.＋<1 C．ab>4 D．a＋b>4 答案　ACD 解析　由2a＝3b＝6， 得a＝log26＝，b＝log36＝， ∵log63>log62>0，∴>，即a>b， 故A正确； ＋＝log62＋log63＝log66＝1，故B错误； ab＝>＝4，故C正确； a＋b＝＋＝>＝4，故D正确． 8．已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是(　　) A．ex＋ey的最小值为2e2 B．lg x＋lg y的最大值为lg 4 C．x2＋y2的最小值为8 D．x(y＋4)的最大值为16 答案　ABC 解析　由于ex＋ey≥2＝2＝2e2，当且仅当ex＝ey，即x＝y＝2时取等号，故A正确； 由基本不等式得xy≤2＝4， 故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确； x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确； 由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0,4)， 故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D错误． 三、填空题 9．若直线ax＋y＝0与直线2x＋by－1＝0平行，其中a，b均为正数，则a＋2b的最小值为________． 答案　4 解析　由两直线平行可得ab＝2， 因为a，b均为正数， 所以利用基本不等式可得a＋2b≥2＝4， 当且仅当a＝2，b＝1时，等号成立． 故a＋2b的最小值为4. 10．(2024·淮北模拟)已知正数x，y满足x＋y＝1，若不等式＋>m对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为________． 答案　(－∞，9) 解析　因为x>0，y>0， 所以＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋4＝9， 当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号， 所以实数m的取值范围为(－∞，9)． 四、解答题 11．设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2. (1)求a，b的值； (2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)<m·2x－3成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2， 解得a＝1，b＝0. (2)由(1)知f(x)＝4x－2x， 所以f(x)<m·2x－3可化为m>2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈(－∞，3]， 使得m>2x＋3·2－x－1成立． 则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min， 设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]， 令t＝2x，则t∈(0,8]， 设p(t)＝t＋－1，t∈(0,8]， 则p(t)≥2－1，当且仅当t＝时取等号， 所以当t＝时，h(x)取得最小值2－1. 故m的取值范围是(2－1，＋∞)． 12．受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N+)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为a万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)若对任意100≤x≤200(x∈N+)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数m的取值范围． 解　(1)调整后研发人员的年人均投入为 (1＋2x%)a万元， 则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)， 整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450， 又因为x∈N+， 所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50. (2)(500－x)(1＋2x%)a≥xa，两边同时除以ax得≥m－， 整理得m≤＋＋9； 由a≥a，解得m≥＋1， 故＋1≤m≤＋＋9(100≤x≤200，x∈N+)恒成立， ＋＋9≥2＋9＝19， 当且仅当＝， 即x＝100时等号成立，所以m≤19， 因为100≤x≤200，x∈N+， 所以当x＝200时，＋1取得最大值15， 所以m≥15，所以15≤m≤19， 即实数m的取值范围为[15,19]． 学科网（北京）股份有限公司 $