7.2 第2课时 离散型随机变量的分布列 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

7.2 第2课时 离散型随机变量的分布列 [课时跟踪检测] 1.随机变量X的分布列为P（X=k）=，k=1，2，3，4，c为常数，则P= （　　） A. B. C. D. 解析：选B　由题意得+++=1，即c=1，解得c=，所以P=P（X=1）+P（X=2）=×=. 2.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 6a2-a 3-7a 则常数a的值为 （　　） A. B. C.或 D.1或 解析：选A　由离散型随机变量分布列的性质知，∴a=，故选A. 3.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X=3）= （　　） A. B. C. D. 解析：选D　“X=3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P（X=3）===.故选D. 4.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色则停止抽取，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P（X≤2）= （　　） A. B. C. D. 解析：选A　令X=k表示前k个球为白球，第k+1个球为红球，此时P（X=0）==，P（X=1）=×=，P（X=2）=××=，则P（X≤2）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=++=. 5.[多选]已知随机变量X的分布列为P（X=n）=（n=0，1，2），其中a是常数，则下列说法正确的是 （　　） A.P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=1 B.a= C.P（0≤X<2）= D.P（X≥1）= 解析：选ABC　由P（X=n）=（n=0，1，2），得P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=1，即++=1，解得a=，故A、B正确；P（0≤X<2）=P（X=0）+P（X=1）=+=，故C正确；P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=+=，故D错误. 6.[多选]已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1.则下列结论正确的是 （　　） A.共有24对相交棱 B.P（ξ=0）= C.P（ξ=）= D.P（ξ=1）= 解析：选AC　若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有=24对相交棱，因此P（ξ=0）===，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P（ξ=）==，于是P（ξ=1）=1-P（ξ=0） -P（ξ=）=1--=，故C正确，D错误. 7.[多选]设随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的是 （　　） ξ 1 2 3 4 5 P a1 a2 a3 a4 a5 A.P（ξ≤2）=1-P（ξ≥3） B.当an=（n=1，2，3，4）时，a5= C.若{an}为等差数列，则a3= D.{an}的通项公式可能为an= 解析：选ABC　P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2），1-P（ξ≥3）=1-P（ξ=3）-P（ξ=4）-P（ξ=5）=P（ξ=1）+P（ξ=2），∴P（ξ≤2）=1-P（ξ≥3），故A正确；当an=（n=1，2，3，4）时，a5=1----==，故B正确；若{an}为等差数列，则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=1，∴a3=，故C正确；当{an}的通项公式为an==-时，a1+a2+a3+a4+a5=1-+-+-+-+-=1-=≠1，故D错误. 8.（5分）某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如表，其中a，b，c成等差数列，且c=ab.则这名运动员得3分的概率是　　　　.  X 0 2 3 P a b c 解析：由题意得2b=a+c，c=ab，a+b+c=1，且a≥0，b≥0，c≥0，联立得a=，b=，c=，故得3分的概率是. 答案： 9.（5分）若随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 3 P a b 则a2+b2的最小值为　　　　.  解析：由分布列的性质，知a+b=，又a2+b2≥=，则a2+b2的最小值为. 答案： 10.（5分）已知随机变量X的分布列如表所示. X -2 -1 0 1 2 3 P 若Y=X2，P（Y<x）=，则实数x的取值范围为　　　　.   解析：由随机变量X的分布列知，Y的可能取值为0，1，4，9，且P（Y=0）=，P（Y=1）=+==，P（Y=4）=+==，P（Y=9）=. 可得Y的分布列如表所示. Y 0 1 4 9 P ∵P（Y<x）=，∴P（Y<x）=1-P（Y=9）=P（Y=0）+P（Y=1）+P（Y=4）， ∴实数x的取值范围是（4，9]. 答案：（4，9] 11.（5分）设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P（X=i）=pi>0（i=1，2，…，n），pi=1，定义M（X）=pipn+1-i.若p1pn=，则当n=3时，M（X）的最大值为　　　　.  解析：当n=3时，p1p3=，则M（X）=pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+=+[1-（p1+p3）]2，∵p1>0，p3>0，p1p3=，∴p1+p3≥2=，当且仅当p1=p3=时，等号成立.所以≤p1+p3<1，0<1-（p1+p3）≤，∴M（X）≤+=，即M（X）的最大值为. 答案： 12.（10分）已知离散型随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （1）求3X+2的分布列；（3分） （2）求|X-1|的分布列；（3分） （3）求X2的分布列.（4分） 解：（1）由题意，知3X+2=-4，-1，2，5，8， 则3X+2的分布列为 3X+2 -4 -1 2 5 8 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2）由题意，知|X-1|=0，1，2，3，则|X-1|的分布列为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 （3）由题意，知X2=0，1，4，则X2的分布列为 X2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.5 13.（10分）从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记-1分，取出黄球记零分. （1）以X表示所得分数，求X的分布列；（7分） （2）求得分X>0时的概率.（3分） 解：（1）依题意，当取到2个白球时，随机变量X=-2； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X=-1； 当取到2个黄球时，随机变量X=0； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X=1； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X=2； 当取到2个黑球时，随机变量X=4， 所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4， 则P（X=-2）==，P（X=-1）==，P（X=0）==，P（X=1）==， P（X=2）==，P（X=4）==， 所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 4 P （2）由（1）得P（X>0）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=4）=++=， 所以得分X>0时的概率为. 14.（10分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（3分） （2）已知每检测一件产品需花费100元，设检测结束时所需要的检测总费用为X元，求X的分布列.（7分） 解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）=×=. （2）由题意可知，X的可能取值为200，300，400.则P（X=200）==，P（X=300）==，P（X=400）==. 所以X的分布列为 X 200 300 400 P 学科网（北京）股份有限公司 $