第七章 专题微课 离散型随机变量及其分布列 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

第七章 专题微课 离散型随机变量及其分布列 [课时跟踪检测] 1.（10分）某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求m的值；（2分） （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；（3分） （3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在[40，70）的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在[50，60）内的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.（5分） 解：（1）根据题意得（m+2m+0.015+0.02×2+0.03）×10=1，解得m=0.005. （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为 =45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5. （3）根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在[40，50），[50，60），[60，70）各段的同学人数比例为1∶3∶4，所以样本中三段分数的同学为1人，3人，4人， 所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==， P（ξ=2）==，P（ξ=3）==， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E（ξ）=0×+1×+2×+3×=. 2.（15分）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长 /分钟 [0， 10） [10， 20） [20， 30） [30， 40） [40， 50] 频数 30 50 80 30 10 （1）估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数；（4分） （2）若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取k次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为Y. ①当k=3时，求Y的分布列和数学期望；（7分） ②若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于90%，至少需抽取多少次?（参考数据：ln 5≈1.609，ln 2≈0.693）（4分） 解：（1）将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为200×70%=140， 前两组累计频数为30+50=80<140，前3组累计频数为30+50+80=160>140， 故第70百分位数落在区间[20，30）， 则第70百分位数约为20+×10=27.5. （2）①潜在高粘性用户的频率为=， 易得Y~B，Y的可能取值有0，1，2，3， 则P（Y=0）==， P（Y=1）=××=， P（Y=2）=××=， P（Y=3）==， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P E（Y）=3×=. ②设至少需抽取n次，则1-≥0.9， 即≤0.1， 即n≥=≈≈10.3， 故至少需抽取11次. 3.（15分）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品.据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的. （1）求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；（7分） （2）若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立.问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大?（8分） 解：（1）由题知，X可取2，4，6，8， 则P（X=2）==，P（X=4）==， P（X=6）==，P（X=8）==， 所以X的分布列为 X 2 4 6 8 P 故E（X）=2×+4×+6×+8×=. （2）法一　由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P=+=， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为Y，则Y~B， 故P（Y=k）=··（k=0，1，…，5），所以假设当Y=k时，概率最大，则 解得3≤k≤4，而P（Y=3）=P（Y=4）=. 故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大. 法二　由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P=+=， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为Y，则Y~B， 故P（Y=k）=··（k=0，1，…，5）， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P 从分布列中可以看出，概率最大为P（Y=3）=P（Y=4）=，所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大. 4.（15分）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为pn. （1）记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望；（5分） （2）证明数列是等比数列，并求数列{pn}的通项公式；（5分） （3）为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数.（5分） 解：（1）依题意，第二天选择水果的概率为p=×+×=，第二天选择牛奶的概率为p'=×+×=，第二天选择水果的人数X的可能值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）=××=，P（X=2）==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E（X）=0×+1×+2×=. （2）依题意，pn+1=pn+（1-pn）=pn+，由pn+1-=，而p1-=-， 所以数列是以-为首项，为公比的等比数列，pn-=-×， 数列{pn}的通项公式为pn=-×. （3）由（2）知，pn=-×，当n=30时，×非常小，趋近于0，p30≈，pn≈（n>30），即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的，所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果的人数为×15=10，分发牛奶的人数为15-10=5. 学科网（北京）股份有限公司 $