7.1.2 全概率公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

7.1.2　全概率公式 [课时跟踪检测] 1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选B　设“甲中奖”为A事件，“乙中奖”为B事件，则P（B）=P（B|A）P（A）+P（B|）P（）=×+×=，故选B. 2.已知P（A）=，P（）=，P（B|A）=0，P（B）=，则P（B|）= （　　） A. B. C. D. 解析：选B　由全概率公式得P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=×0+×P（B|）=，解得P（B|）=，故选B. 3.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　设从i号仓出发最终从1号仓出的概率为Pi，所以解得P1=. 4.某陶瓷厂上釉车间有A，B两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检A生产线的产品的概率为，抽检B生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得A生产线的次品率为12%，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为10%，据此估计B生产线的次品率为 （　　） A.9% B.8.67% C.8% D.6% 解析：选D　设事件N为“抽检得到的产品为次品”，事件M1，M2分别表示抽检A，B两条生产线的产品，则P（M1）=，P（M2）=，P（N|M1）=0.12，设P（N|M2）=p，因此P（N）=P（N|M1）P（M1）+ P（N|M2）P（M2）=0.12×+p×=0.1，解得p=0.06，所以估计B生产线的次品率为6%. 5.[多选]若0<P（A）<1，0<P（B）<1，则下列式子成立的是 （　　） A.P（A|B）= B.P（AB）=P（A）P（B|A） C.P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|） D.P（A|B）= 解析：选BCD　由条件概率的计算公式知A错误，B、C显然正确.因为P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|），所以P（A|B）==，知D正确. 6.盒中有a个红球，b个黑球，现随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　设事件A=“第一次抽出的是黑球”，事件B=“第二次抽出的是黑球”，则B=AB+B，由全概率公式得P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）.由题意P（A）=，P（B|A）=，P（）=，P（B|）=，所以P（B）=+=. 7.[多选]有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%. 则下列结论正确的是 （　　） A.任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B.任取一个零件，它是次品的概率为0.052 5 C.如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D.如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 解析：选BCD　根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A，B，C，该零件为次品为事件D，则P（A）=0.25，P（B）=0.3，P（C）=0.45，P（D|A）=0.06，P（D|B）=P（D|C）=0.05，对于A，任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率P（AD）=P（A）P（D|A）=0.06×0.25=0.015，故A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.052 5，故B正确；对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率P（B|D）====，故C正确；对于D，记取到的零件不是第3台车床加工的为事件E，则P（E）=0.25+0.3=0.55，则P（DE）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）=0.06×0.25+0.05×0.3=0.03，所以P（D|E）===，即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确. 8.（5分）现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为　　　　.  解析：依题意，随机地取一个地区的报名表选到每个地区的概率为，所以取到的是女生报名表的概率为×+×+×=. 答案： 9.（5分）某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为2∶1∶1，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为0.2，0.3，p（0<p<1），若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率不大于0.275，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，则p的取值范围是　　　　.  解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率为0.2×+0.3×+p×=0.175+0.25p≤0.275，解得p≤0.4，因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，所以p≥0.3，故p的取值范围是[0.3，0.4]. 答案：[0.3，0.4] 10.（5分）甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为　　　.  解析：设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”，事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i=0，1，2.由全概率公式得P（A）=P（B0）P（A|B0）+P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=·+·+·=. 答案： 11.（5分）若甲盒中有5个红球、3个白球、2个黑球，乙盒中有x个红球、2个白球、3个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，设B= “从乙盒中取出的球是红球”，若P（B）≤，则x的最大值为　　　　.  解析：设A=从甲盒中取出的球是红球， 则P（A）==，P（）=， P（B|A）=，P（B|）=， 则P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=×+×=. 所以≤，即x≤.因为x是正整数， 所以x≤7.所以x的最大值为7. 答案：7 12.（10分）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为. （1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率；（4分） （2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率.（6分） 解：（1）设“甲至少有两轮获胜”为事件A， 则P（A）=3××+=. （2）设“选中甲与机器人比赛”为事件A1， “选中乙与机器人比赛”为事件A2，“战胜机器人”为事件B， 根据题意得P（A1）=P（A2）=， P（B|A1）=，P（B|A2）=， 由全概率公式得P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=×+×=. 所以战胜机器人的概率为. 13.（10分）有两个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，求某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，若取出的是红球，则此球来自1号箱的概率为多少? 解：设事件Bi表示“球取自i号箱”（i=1，2），事件A表示“取得红球”，其中B1，B2互斥，A发生总是伴随着B1，B2之一同时发生， 即A=B1A∪B2A，且B1A，B2A互斥， P（A）=P（B1A）+P（B2A）， 所以P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=×+×=. P（A）=，P（AB1）=P（B1）P（A|B1）=×=， P（B1|A）===， 即此球来自1号箱的概率为. 14.（15分）某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球. （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（5分） （2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；（6分） （3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.（4分） 解：（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”， 事件B表示“两个球都是红球”， 则P（A）=1-=， P（AB）==， 故P（B|A）===. （2）设事件C表示“从乙箱中抽球”， 则事件表示“从甲箱中抽球”， 事件D表示“抽到红球”， 则P（C）==，P（）==， P（D|C）=，P（D|）=， 可得P（D）=P（CD）+P（D） =P（C）P（D|C）+P（）P（D|） =×+×=. （3）在（2）的条件下P（C|D） ===. 学科网（北京）股份有限公司 $