第五章 §5.4 平面向量中的综合问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§5.4　平面向量中的综合问题 重点解读　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等． 题型一　平面向量在几何中的应用 例1 (1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是(　　) A．若·＝·＝·，则P是△ABC的垂心 B．若＝λ，则直线AP必过△ABC的外心 C．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心 D．若＋＋＝0，则N是△ABC的重心 答案　ACD 解析　对于A，由题意可得·－·＝·(－)＝·＝0， 所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确； 对于B，如图设＝，＝，则||＝||＝1， 以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形， 则＝＋＝＋， 所以＝λ＝λ， 又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误； 对于C，因为||＝||＝||，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确； 对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意＋＝2＝－，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确． (2)(2023·南宁模拟)△ABC的外心O满足＋＋＝0，||＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　设AB的中点为D， 则＋＋＝0可化为2＋＝0， 即为＝－， ∴ O，D，C三点共线且CD⊥AB， ∴△ABC为等腰三角形， 由垂径定理得||2＝||2＋||2， 设△ABC外接圆的半径为R， 则R2＝＋2， 解得R＝1，CD＝1＋， ∴S△ABC＝|AB||CD|＝×× ＝. 思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题． 跟踪训练1 在四边形ABCD中，＝＝(3，)，且满足 ＋＝，则||等于(　　) A．2 B．6 C. D．2 答案　D 解析　由＝＝(3，)， 得四边形ABCD为平行四边形， 设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p， 则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1， 则m·n＝－⇒cos〈m，n〉＝－， 所以〈m，n〉＝120°， 因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线， 因此四边形ABCD是菱形，而||＝2， 所以||＝||＝2. 题型二　和向量有关的最值(范围)问题 命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题 例2 在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为线段BE上任一点(不含端点)，若＝x＋y，则＋的最小值是(　　) A．8 B．10 C．13 D．16 答案　D 解析　如图， 因为＝x＋y， 又＝3， 所以＝x＋3y， 由向量共线定理的推论，可知x＋3y＝1， 则(x＋3y)＝1＋＋＋9≥ 10＋2＝16， 当且仅当＝，即x＝y时，等号成立， 故＋的最小值为16. 命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题 例3 (2023·郑州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，若M是线段AC上任意一点，则·的最小值是(　　) A．－ B．－1 C．－2 D．－4 答案　B 解析　设＝λ(λ∈[0,1])，＝＋＝－(1－λ)·＋， ·＝[－(1－λ)＋]·(λ)＝－λ(1－λ)||2＋λ· ＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos 60°＝3λ(3λ－2)， 由二次函数性质知， 当λ＝时，3λ(3λ－2) 取得最小值－1， 故·的最小值是－1. 命题点3　与模有关的最值(范围)问题 例4 已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，] C．[，＋1] D．[2－，2＋] 答案　A 解析　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1， ∴－1≤|c|≤＋1. 思维升华 向量求最值(范围)的常用方法 (1)利用三角函数求最值(范围)． (2)利用基本不等式求最值(范围)． (3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)． (4)数形结合，应用图形的几何性质求最值． 跟踪训练2 (1)(2024·绵阳模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　　) A. B．3 C．4 D．3 答案　B 解析　因为C为AB的中点， 所以＋＝2， 从而|＋|＝|2|＝2||， 可知||的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离， d＝＝， 所以|＋|min＝2×＝3. (2)如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为边AB上的任意一点(包含端点)，O为AC的中点，则·的取值范围是(　　) A．[2,10] B．[－2,8] C．[2,8] D．[4,20] 答案　A 解析　方法一　设＝λ(λ∈[0,1])， 因为O为AC的中点， 所以＝(＋)＝(－＋)， 所以＝(－)． 又＝－＝λ－， 所以·＝(－)·(λ－)＝ (λ||2＋||2)＝8λ＋2， 因为λ∈[0,1]，所以8λ＋2∈[2,10]， 所以·∈[2,10]． 方法二　 建立如图所示的平面直角坐标系， 则O(2,1)，D(0,2)，B(4,0)，设E(m，0)(0≤m≤4)， 所以＝(2，－1)，＝(m，－2)， 所以·＝2m＋2. 因为0≤m≤4，所以2m＋2∈[2,10]， 即·∈[2,10]． 课时精练 一、单项选择题 1．(2023·邢台模拟)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积S等于(　　) A. B．5 C．10 D．20 答案　B 解析　因为＝(1,2)，＝(－4,2)， 所以·＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD， 又||＝＝， ||＝＝2， 所以四边形ABCD的面积S＝||||＝ ××2＝5. 2．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则·的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 则C(6,0)，A(0,8)，D(3,4)， 设M(x，0)，－6≤x≤6， 则＝(3－x，4)，＝(6－x，0)， 所以·＝(3－x，4)·(6－x，0)＝x2－9x＋18， 因此，当x＝时，·取得最小值－. 3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案　B 解析　在△ABC中，|－| ＝|＋－2|， 即||＝|(－)＋(－)|， 即|－|＝|＋|， 所以(－)2＝(＋)2， 即||2－2·＋||2 ＝||2＋2·＋||2， 得4·＝0. 因为与均为非零向量， 则⊥， 即∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形． 4．(2024·北京模拟)已知e是单位向量，向量a满足≤a·e≤1，则|a|的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,1] C. D. 答案　C 解析　依题意，a·e＝|a||e|cos〈a，e〉＝|a|cos〈a，e〉， ∵≤|a|cos〈a，e〉≤1， ∴cos〈a，e〉>0，≤|a|≤， 又∵0<cos〈a，e〉≤1，∴|a|≥. 5．(2024·沈阳模拟)已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　已知a，b是单位向量， 由|xa＋b|≥， 得(xa＋b)2≥，则x2＋2(a·b)x＋≥0， 依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立， 则Δ＝4(a·b)2－1≤0， 解得－≤a·b≤， 而cos〈a，b〉＝＝a·b， 则－≤cos〈a，b〉≤， 又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以≤〈a，b〉≤， 所以向量a，b的夹角的取值范围为. 二、多项选择题 6．设点D是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的有(　　) A．若＝(＋)，则点D是边BC的中点 B．若＝，则直线AD经过△ABC的垂心 C．若＝2－，则点D在边BC的延长线上 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半 答案　ABD 解析　对于A，∵＝(＋)， 即－＝－，即＝， 即点D是边BC的中点，故A正确； 对于B，·＝ ＝(－||＋||)＝0，即AD⊥BC， 故直线AD过△ABC的垂心，故B正确； 对于C，∵＝2－， 即－＝－， 即＝， 即点D在边CB的延长线上，故C错误； 对于D，∵＝x＋y，且x＋y＝， 设＝2， 则＝2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1， 故M，B，C三点共线，且||＝2||， 即△BCD是△ABC面积的一半，故D正确． 7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧(包含B，D)上的任意一点，且＝x＋y，则下列结论正确的是(　　) A．x＋y的最大值为 B．x＋y的最小值为 C.·的最大值为4 D.·的最小值为4－4 答案　ACD 解析　分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则B(2,0)，D(0,2)． 设P(2cos θ，2sin θ)， θ∈， 则＝(2,0)，＝(0,2)，＝(2cos θ，2sin θ)， 所以＝cos θ＋sin θ，＝(2－2cos θ，－2sin θ)，＝(－2cos θ，2－2sin θ)， 由条件知x＝cos θ，y＝sin θ，x＋y＝ sin∈[1，]，故A正确，B错误； ·＝4sin θ∈[0,4]，·＝4－4sin∈[4－4，0]，故C，D正确． 三、填空题 8．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________． 答案　4 解析　方法一　由题意得|a|＝1，|b|＝2， a·b＝sin θ－cos θ＝2sin， 所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b ＝4×12＋22－8sin ＝8－8sin. 所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16， 故|2a－b|的最大值为4. 方法二　因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)， 所以2a－b＝(2cos θ＋，2sin θ－1)， 所以|2a－b|＝ ＝ ＝. 故|2a－b|的最大值为 ＝4. 方法三　由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4. 9．(2023·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________． 答案　 解析　∵λ，μ为正实数，＝， 故＝4， ∴＝λ＋4μ， 又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1， ∴λμ＝·λ·4μ≤2＝， 当且仅当λ＝，μ＝时取等号， 故λμ的最大值为. 10．(2023·福州模拟)已知平面向量a，b满足a·b＝|a|＝|b|＝2，若e为单位向量，则|a·e＋b·e|的最大值为________． 答案　2 解析　∵a·b＝|a|＝|b|＝2， 设a与b的夹角为θ， 则a·b＝|a||b|·cos θ＝2×2×cos θ＝2， ∴cos θ＝， 又θ∈[0，π]，则θ＝， 不妨设a＝(2,0)，b＝(1，)， 再设e＝(cos α，sin α)， 则|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e| ＝|(3，)·(cos α，sin α)| ＝|3cos α＋sin α|＝≤2， 即|a·e＋b·e|≤2， ∴|a·e＋b·e|的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $