第五章 §5.2 平面向量基本定理及坐标表示（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 课标要求　1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 知识梳理 1．平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数． (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′. 平面上不共线的两个向量e1，e2组成的集合称为平面上的一组基{e1，e2}． 2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝(x2－x1，y2－y1)． 4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 常用结论 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G. 自主诊断 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基．(　×　) (2)基中可以含有零向量．(　×　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　×　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(　√　) 2．若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能构成平面内所有向量的一组基的是(　　) A．{e1，e1＋e2} B．{e1－2e2，2e1＋e2} C．{e1－2e2，e1＋2e2} D．{e1－e2，e2－e1} 答案　D 解析　因为e2－e1＝－(e1－e2)，故e1－e2与e2－e1共线，不能构成基． 3．若向量a＝(3，－4)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　由题意得3m＝4，则m＝. 4．(2023·石嘴山模拟)已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是________． 答案　(－2,15) 解析　设点O为坐标原点， ∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP， ∴2＝3， 即2(－)＝3(－)， ∴＝3－2＝3(2,3)－2(4，－3)＝(－2,15)． ∴点P的坐标为(－2,15)． 题型一　平面向量基本定理的应用 例1 (1)设{e1，e2}为平面内的一组基，则下面四组向量中不能作为基的是(　　) A．{e1＋e2，e1－e2} B．{4e1＋2e2，2e2－4e1} C．{2e1＋e2，e1＋e2} D．{e1－2e2，4e2＋2e1} 答案　C 答案　C 解析　平面向量的基由两个不共线的非零向量组成，C选项中，2e1＋e2＝2，即2e1＋e2和e1＋e2为共线向量，所以它们不能作为基．其他选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基． (2)(2023·西安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，＝，＝，则等于(　　) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案　C 解析　设＝a，＝b， 因为＝，所以＝＋＝－a－b， 因为＝，所以＝＋＝a＋b， 设＝m＋n， 则－a＝m＋n， 解得m＝，n＝， 即＝＋. 思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基，并运用该基将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 跟踪训练1 (1)平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法中正确的是(　　) A．向量a，b的方向相同 B．向量a，b中至少有一个是零向量 C．向量a，b的方向相反 D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0 答案　D 解析　因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 所以根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A，B，C不正确； 因为a，b不共线，所以当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0，故D正确． (2)(2023·太原模拟)已知在矩形ABCD中，E为AB边中点，AC，DE交于点F，则等于(　　) A．－＋ B.－ C.－ D．－＋ 答案　D 解析　如图，取CD中点G，连接BG，交AC于点H， ∵BE＝DG，BE∥DG， ∴四边形BEDG为平行四边形， ∴BG∥DE，又E为AB中点， ∴AF＝FH，同理可得CH＝FH， ∴＝＝(＋)， ∴＝＋＝－＋(＋) ＝－＋. 题型二　平面向量的坐标运算 例2 (1)已知A(－1,2)，B(3,0)，点P在直线AB上且||＝2||，则点P的坐标为(　　) A. B．(7,2) C.或(7，－2) D．(2,1)或(7，－2) 答案　C 解析　设点P的坐标为(x，y)， ∵A(－1,2)，B(3,0) ∴＝(x＋1，y－2)，＝(3－x，－y)． 由点P在直线AB上且||＝2||， 得＝2或＝－2. ∴或 解得或 ∴点P的坐标为或(7，－2)． (2)(2024·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令AB＝2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)， λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)， 因为＝λ＋μ， 所以 解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝， 所以λ＋μ的值为. 思维升华 (1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解． (2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 跟踪训练2 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵a－2b＋3c＝0， ∴c＝－(a－2b)． ∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)， ∴c＝－(a－2b)＝. (2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基表示c，则(　　) A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3b C．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b 答案　D 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，a＝，b＝，c＝， 则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)， 所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)， 设向量c＝ma＋nb， 则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)， 所以解得 所以c＝3a－2b. 题型三　向量共线的坐标表示 例3 (1)(2023·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝________. 答案　 解析　a＝(－1,2)，b＝(m，－3)， 则a＋2b＝(－1＋2m，－4)， 由题意得(a＋2b)∥a， 故4＝2(－1＋2m)，解得m＝. (2)已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ等于(　　) A．－3 B．3 C．1 D．－1 答案　D 解析　设＝(x，y)， 则由∥a知x＋y＝0， 所以＝(x，－x)． 若＝λ＋(1－λ)，则(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)， 即 所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1. 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 跟踪训练3 (1)(2024·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　A 解析　因为a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)， 所以a＋b＝(4，sin α)， 又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c， 所以4cos α＝2sin α，则tan α＝＝2. (2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________________． 答案　(2,4) 解析　∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD， ∴＝2， 设点D的坐标为(x，y)， 则＝(4－x，2－y)， 又＝(1，－1)， ∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)， 即∴ ∴点D的坐标为(2,4)． 课时精练 一、单项选择题 1．下列各组向量中，{e1，e2}不能作为平面的一组基的是(　　) A．e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2) B．e1＝(4，－2)，e2＝(－2,1) C．e1＝(3,3)，e2＝(－1,1) D．e1＝(2,3)，e2＝(－1,3) 答案　B 解析　对于A，C，D，因为两向量不共线， 所以{e1，e2}能作为一组基； 对于B，因为e1＝－2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作为一组基． 2．(2024·齐齐哈尔模拟)已知a＝(2,1)，b＝(3x2－1，x)，若a∥b，则x等于(　　) A．1或－ B．－ C.或 D. 答案　A 解析　因为a∥b，所以3x2－1－2x＝0，解得x＝1或x＝－. 3．(2023·洛阳模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2,3)，|a|＝2，则a等于(　　) A．(－6,4) B．(－4,6) C．(4，－6) D．(6，－4) 答案　C 解析　∵a与b的方向相反， ∴a＝λb(λ<0)． 设a＝(x，y)，则(x，y)＝λ(－2,3)， 于是由|a|＝2， 得x2＋y2＝52，即4λ2＋9λ2＝13λ2＝52， ∴λ2＝4， 又λ<0，∴λ＝－2， ∴a＝(4，－6)． 4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为(　　) A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2) 答案　C 解析　由题意知，G是△ABC的重心，设C(x，y)， 则有解得 故点C的坐标为(4，－2)． 5．(2024·银川模拟)在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　B 解析　如图所示，设＝m，＝n，且＝xa＋yb， 则＝xa＋yb ＝x＋y ＝n－m， 又因为＝n－m， 所以 解得所以＝a＋b. 6．(2023·漳州模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝＋，＝λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6， 则B(6,0)，D(0,6)，C(6,6)， E(6,3)，F(3,6)， ∴＝＋＝(6,0)＋(0,6)＝(4,5)， ∴G(4,5)，＝(－2,2)，＝(－3,3)， ∴＝，∴λ＝. 二、多项选择题 7．已知向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　) A．|a|＝|b| B．4a－3b＝(5，－3) C．{a，b}可以作为平面向量的一组基 D．(a－b)∥b 答案　BC 解析　选项A，|a|＝2，|b|＝，即|a|≠|b|，A错误；选项B,4a－3b＝(5，－3)，B正确；选项C,2×1－0×1≠0，即a，b不共线，则{a，b}可以作为平面向量的一组基，C正确；选项D，a－b＝(1，－1)，由1×(－1)－1×1≠0，即a－b与b不共线，D错误． 8．(2023·昆明模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B. C．1 D．－1 答案　ABD 解析　因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)． 假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1. 所以只要m≠1，A，B，C三点即可构成三角形． 三、填空题 9．(2023·南京模拟)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量的坐标是________． 答案　 解析　∵点A(1,3)，B(4，－1)，∴＝(3，－4)， 可得||＝＝5， 因此，与向量同方向的单位向量的坐标为 ·＝(3，－4)＝. 10.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. 答案　6 解析　方法一　 如图，作平行四边形OB1CA1， 则＝＋， 因为与的夹角为120°， 与的夹角为30°， 所以∠B1OC＝90°. 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2， 所以||＝2，||＝4， 所以||＝||＝4， 所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2， 所以λ＋μ＝6. 方法二　 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1,0)，B， C(3，)． 由＝λ＋μ， 得解得所以λ＋μ＝6. 四、解答题 11.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，B，C在第一象限，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形OABC的形状，并求出其周长． 解　(1)在平面直角坐标系中， 由||＝2，知A(2,0)， 设B(xB，yB)， 又∠OAB＝，||＝1， 则xB＝2＋cos＝，yB＝sin＝， ∴B. 又＝(－1，)， ∴＝＋＝＋(－1，)＝， ∴C. (2)由(1)可得＝， ＝， ∴＝3. ∴∥，||＝3||＝3. 又||＝＝2，||＝2， ∴四边形OABC为等腰梯形． ∵||＝2，||＝1，||＝2，||＝3， ∴四边形OABC的周长为8. 12.如图，在△OCB中，A是BC的中点，D是边OB上靠近点B的三等分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a和b分别表示，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解　(1)因为＝＋＝＋2 ＝＋2(－)＝2－， 已知＝a，＝b， 所以＝2a－b. 因为＝－＝－， 所以＝2a－b－b＝2a－b. (2)设＝μ(μ>0)， 所以＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝(1－μ)＋μ. 因为＝＝b，＝2a－b， 所以＝2μa＋b. 又因为＝λ＝λa，且a，b不共线， 所以由平面向量基本定理知λ＝2μ，且－μ＝0， 解得μ＝，λ＝. 13．向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势．已知对任意平面向量＝(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A(1,2)，点B(1－，2＋2)，点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为(　　) A．(1,3) B．(－3,1) C．(2,5) D．(－2,3) 答案　C 解析　∵A(1,2)，B(1－，2＋2)， ∴＝(－，2)， ∵点B绕点A沿顺时针方向旋转等价于点B绕点A沿逆时针方向旋转， ∴＝ ＝(1,3)， ∴P(2,5)． 14．(多选)如图，扇形OAB的半径为1，且⊥，点C在弧AB上运动，若＝x＋y，则2x＋y的值可能是(　　) A. B．1 C．2 D. 答案　BCD 解析　由题意得，·＝0， ||＝||＝||＝1， 由＝x＋y等式两边同时平方， 得||2＝x2||2＋y2||2＋2xy·， 所以1＝x2＋y2， 令∠AOC＝α，则x＝cos α，y＝sin α，α∈， 则2x＋y＝2cos α＋sin α＝sin(α＋θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，θ∈， 因为θ≤α＋θ≤＋θ， 所以≤sin(α＋θ)≤1， 所以1≤sin(α＋θ)≤，即1≤2x＋y≤. 学科网（北京）股份有限公司 $