6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.3.2  第2课时  二项式定理的综合应用

[课时跟踪检测]

1.（x2+2）展开式中的常数项是 （　　）

A.-3 B.-2

C.2 D.3

解析：选D　展开式的通项为Tk+1=（-1）k=（-1）k.令10-2k=2或10-2k=0，解得k=4或k=5.故（x2+2）·展开式中的常数项是（-1）4×+2×（-1）5×=3.

2.（1-x）4（1-）3展开式中x2的系数是 （　　）

A.-6 B.-3

C.0 D.3

解析：选A　（1-x）4展开式的通项为Tk+1=（-1）kxk，（1-）3展开式的通项为Tr+1=（-1）r，当k=0时，=2，即r=4>3，不符合题意；当k=1时，=1，即r=2，此时x2的系数为（-1）·（-1）2=-12；当k=2时，=0，即r=0，此时x2的系数为·（-1）2·1=6，所以x2的系数是-12+6=-6.

3.今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 025天后是 （　　）

A.星期二 B.星期三

C.星期四 D.星期五

解析：选C　因为82 025=（1+7）2 025=+×7+×72+…+×72 025，所以82 025被7除的余数为1，故经过82 025天后是星期四，故选C.

4.[多选]（1+x2）（2+x）4的展开式中 （　　）

A.x3的系数为40 B.x3的系数为32

C.常数项为16 D.常数项为8

解析：选AC　（1+x2）（2+x）4=（2+x）4+x2（2+x）4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是（2+x）4中x3的系数·2=8，另一部分是（2+x）4中x的系数·23=32，所以x3的系数是8+32=40；展开式中常数项只有（2+x）4展开式中的常数项，为24=16.

5.若（x2-a）的展开式中x6的系数为30，则a= （　　）

A. B.

C.1 D.2

解析：选D　展开式的通项是Tk+1=·x10-k·=·x10-2k，的展开式中含x4，x6项的系数分别为，.因为（x2-a）的展开式中含x6的项由x2与展开式中含x4的项的乘积以及-a与展开式中含x6的项的乘积两部分构成，得-a=120-45a=30，解得a=2.

6.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b（mod m），比如：35≡25（mod 10）.已知：n=-10+102-103+…+1010，满足n≡p（mod 7），则p可以是              （　　）

A.44 B.32

C.35 D.29

解析：选A　n=-10+102-103+…+1010=（1-10）10=910，910=（7+2）10=710+79×2+×78×22+…+×7×29+×210，所以n除以7的余数是210=1 024，1 024除以7的余数是2，选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0，29除以7的余数是1.

7.记M=“720的不同正因数的个数”，N=“（1+x-y）5的展开式中x2y2项的系数”，则              （　　）

A.2M-N=0 B.M-N=0

C.M-N>0 D.M+N<0

解析：选B　因为720=24×32×5，所以720的正因数有5×3×2=30个，即M=30，又（1+x-y）5展开式的项可以看作从5个盒子中各取出一个元素相乘，每个盒子中均有1，x，-y，要得到x2y2，需从2个盒子中取出x，2个盒子中取出-y，1个盒子中取出1，所以N==30，所以M=N，即M-N=0.

8.[多选]（a-x）（1+x）6的展开式中，x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论正确的是              （　　）

A.a=3

B.展开式中常数项为3

C.展开式中x4的系数为30

D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64

解析：选ABD　设（a-x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，

令x=1，得a0+a1+a2+…+a7=64（a-1），①

令x=-1，得a0-a1+a2-…-a7=0，②

①-②，得2（a1+a3+a5+a7）=64（a-1），

因为展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，

即a1+a3+a5+a7=64，

所以2×64=64（a-1），解得a=3，

即（3-x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.

令x=0，得a0=3，即展开式中常数项为3.

①+②，得2（a0+a2+a4+a6）=64×2，

所以a0+a2+a4+a6=64，

即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64.

（3-x）（1+x）6的展开式中x4的系数为3×-1×=25.故选ABD.

9.（a+y）6的展开式中，含x-1y4项的系数为-15，则a= （　　）

A.-2 B.-1

C.±1 D.±2

解析：选C　（a+y）6的展开式的通项为a6-r·yr，令r=4，可得a6-ryr=15a2y4，所以含x-1y4项的系数为-15a2，即-15a2=-15，解得a=±1.

10.[多选]对于二项式（n∈N*），以下判断正确的有 （　　）

A.存在n∈N*，使展开式中有常数项

B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项

D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项

解析：选AD　的展开式的通项为=·3r·，r=0，1，2，…，n，的展开式的通项为=·，k=0，1，2，…，n.则二项式