6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用 [课时跟踪检测] 1.（x2+2）展开式中的常数项是 （　　） A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析：选D　展开式的通项为Tk+1=（-1）k=（-1）k.令10-2k=2或10-2k=0，解得k=4或k=5.故（x2+2）·展开式中的常数项是（-1）4×+2×（-1）5×=3. 2.（1-x）4（1-）3展开式中x2的系数是 （　　） A.-6 B.-3 C.0 D.3 解析：选A　（1-x）4展开式的通项为Tk+1=（-1）kxk，（1-）3展开式的通项为Tr+1=（-1）r，当k=0时，=2，即r=4>3，不符合题意；当k=1时，=1，即r=2，此时x2的系数为（-1）·（-1）2=-12；当k=2时，=0，即r=0，此时x2的系数为·（-1）2·1=6，所以x2的系数是-12+6=-6. 3.今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 025天后是 （　　） A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 解析：选C　因为82 025=（1+7）2 025=+×7+×72+…+×72 025，所以82 025被7除的余数为1，故经过82 025天后是星期四，故选C. 4.[多选]（1+x2）（2+x）4的展开式中 （　　） A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 解析：选AC　（1+x2）（2+x）4=（2+x）4+x2（2+x）4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是（2+x）4中x3的系数·2=8，另一部分是（2+x）4中x的系数·23=32，所以x3的系数是8+32=40；展开式中常数项只有（2+x）4展开式中的常数项，为24=16. 5.若（x2-a）的展开式中x6的系数为30，则a= （　　） A. B. C.1 D.2 解析：选D　展开式的通项是Tk+1=·x10-k·=·x10-2k，的展开式中含x4，x6项的系数分别为，.因为（x2-a）的展开式中含x6的项由x2与展开式中含x4的项的乘积以及-a与展开式中含x6的项的乘积两部分构成，得-a=120-45a=30，解得a=2. 6.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b（mod m），比如：35≡25（mod 10）.已知：n=-10+102-103+…+1010，满足n≡p（mod 7），则p可以是 （　　） A.44 B.32 C.35 D.29 解析：选A　n=-10+102-103+…+1010=（1-10）10=910，910=（7+2）10=710+79×2+×78×22+…+×7×29+×210，所以n除以7的余数是210=1 024，1 024除以7的余数是2，选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0，29除以7的余数是1. 7.记M=“720的不同正因数的个数”，N=“（1+x-y）5的展开式中x2y2项的系数”，则 （　　） A.2M-N=0 B.M-N=0 C.M-N>0 D.M+N<0 解析：选B　因为720=24×32×5，所以720的正因数有5×3×2=30个，即M=30，又（1+x-y）5展开式的项可以看作从5个盒子中各取出一个元素相乘，每个盒子中均有1，x，-y，要得到x2y2，需从2个盒子中取出x，2个盒子中取出-y，1个盒子中取出1，所以N==30，所以M=N，即M-N=0. 8.[多选]（a-x）（1+x）6的展开式中，x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论正确的是 （　　） A.a=3 B.展开式中常数项为3 C.展开式中x4的系数为30 D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64 解析：选ABD　设（a-x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a7=64（a-1），① 令x=-1，得a0-a1+a2-…-a7=0，② ①-②，得2（a1+a3+a5+a7）=64（a-1）， 因为展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64， 即a1+a3+a5+a7=64， 所以2×64=64（a-1），解得a=3， 即（3-x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 令x=0，得a0=3，即展开式中常数项为3. ①+②，得2（a0+a2+a4+a6）=64×2， 所以a0+a2+a4+a6=64， 即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64. （3-x）（1+x）6的展开式中x4的系数为3×-1×=25.故选ABD. 9.（a+y）6的展开式中，含x-1y4项的系数为-15，则a= （　　） A.-2 B.-1 C.±1 D.±2 解析：选C　（a+y）6的展开式的通项为a6-r·yr，令r=4，可得a6-ryr=15a2y4，所以含x-1y4项的系数为-15a2，即-15a2=-15，解得a=±1. 10.[多选]对于二项式（n∈N*），以下判断正确的有 （　　） A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 解析：选AD　的展开式的通项为=·3r·，r=0，1，2，…，n，的展开式的通项为=·，k=0，1，2，…，n.则二项式（n∈N*）的展开式的通项为·3r···，未知数x的次数为+4k-n=--+4k，令--+4k=0，即3r+n=8k，r=1，k=1，n=5是其中一组解，此时，·3r···=×3×=75，故展开式中有常数项，且常数项不为0，故A正确，B错误；令--+4k=1，即3r+n+2=8k，r=0，k=1，n=6是其中一组解，此时，·3r···=×30×x3××x-2=6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 11.（5分）在（2x-1）6的展开式中，x3的系数是　　　　.（用数字作答）  解析：由题意得，（2x-1）6的展开式中含x3的项为x（2x）2（-1）4+（2x）4（-1）2=-180x3，所以展开式中x3的系数为-180. 答案：-180 12.（5分）在（ax-y+z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），若f（3，2，2）=，则a的值为　　　　.  解析：因为在（ax-y+z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），所以xmynzk项的系数f（m，n，k）=am·（-1）n，即f（m，n，k）=（-1）nam·，由f（3，2，2）=，可得（-1）2a3=，即35×6a3=，所以a=. 答案： 13.（5分）已知（2-）n（n∈N*，n<10）的展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，则（x2-x+y）n的展开式中x5y2的系数为　　　　.  解析：由题意得+=2，即n2-21n+98=0，因为n∈N*，n<10，所以n=7，所以（x2-x+y）n=（x2-x+y）7.（x2-x+y）7的展开式中含x5y2的项为（x2-x）5y2，因为（x2-x）5的展开式中x5的系数为-，所以（x2-x+y）7的展开式中x5y2的系数为×（-）=-21. 答案：-21 14.（10分）在（1+x+x2）n（n∈N）的展开式中，把xk的系数记作，称为三项式系数.数列，，…，称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1. （1）试写出三项式的2次和3次系数列；（3分） （2）类比杨辉三角中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）；（3分） （3）写出两个三项式n次系数列的性质（不需要给出证明）.（4分） 解：（1）由题意（1+x+x2）2=（x+x2）2+2（x+x2）+1=1+2x+3x2+2x3+x4，三项式的2次系数列为1，2，3，2，1；（1+x+x2）3=（1+2x+3x2+2x3+x4）（1+x+x2）=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，三项式的3次系数列为1，3，6，7，6，3，1. （2）1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1 规律：每一个数等于它上面一行三个数的和. （3）性质1：在（1+x+x2）n中，令x=1，可得+++…+=3n， 性质2：在（1+x+x2）n中，令x=-1，可得-+-…+=1. 15.（15分）已知（mx-1）（x-1）11+2x12=a0+a1x+a2x2+…+a10x10+a11x11. （1）求m的值；（5分） （2）求a1+a3+a5+a7+a9+a11的值；（5分） （3）证明：a0+2a1+4a2+…+210a10+211a11能被3整除.（5分） 解：（1）由（mx-1）（x-1）11+2x12的展开式中x12的系数为m+2， 所以m+2=0，即m+2=0，解得m=-2. （2）由（-2x-1）（x-1）11+2x12=a0+a1x+a2x2+…+a10x10+a11x11， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a10+a11=2， 令x=-1，得（2-1）×（-1-1）11+2=a0-a1+a2-a3+…+a10-a11=-2 046， 两式相减得a1+a3+a5+a7+a9+a11==1 024. （3）证明：令x=2，可得a0+2a1+4a2+…+210a10+211a11=-5×111+2×212=213-5 =（3-1）13-5=×313-×312+…+×3--5=3×（×312-×311+…+）-6，所以a0+2a1+4a2+…+210a10+211a11能被3整除. 学科网（北京）股份有限公司 $