6.1 第2课时 两个计数原理的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教A版）

6.1 第2课时　两个计数原理的应用 [课时跟踪检测] 1.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （　　） A.243 B.252 C.261 D.279 解析：选B　能够组成三位数的个数为9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8=648，故能够组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252. 2.某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门，每个部门至少1个名额，那么不同的名额分配方案总数为 （　　） A.6 B.10 C.15 D.21 解析：选A　按照2，2，1和3，1，1两种方案分配名额，将3个名额分到一个部门，另两个部门各1个名额有3种分法.将1个名额分到一个部门，另两个部门各2个名额有3种分法.根据分类加法计数原理，共有3+3=6种分配方案. 3.在由0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有 （　　） A.512个 B.192个 C.240个 D.108个 解析：选D　能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3=60（个）；另一类是末位为5，由分步乘法计数原理，共有4×4×3=48（个）.由分类加法计数原理得所求的四位数共有60+48=108（个）. 4.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 （　　） A.60 B.48 C.36 D.24 解析：选B　长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6=36，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”的个数为6×2=12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48.故选B. 5.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是 （　　） A.120 B.140 C.240 D.260 解析：选D　由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×（1×4+3×3）=260（种）.故选D. 6.2025届高二数学竞赛中对尖端生采用暂时屏蔽措施，某校有A，B，C，D，E五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A，B，C三位同学，但A不是第一名，D，E两名同学只知道在6至9名，且D的成绩比E好，则这5位同学总分名次种数可能是 （　　） A.6 B.24 C.22 D.12 解析：选B　第一步排A有两种可能：第2名或第5名； 第二步排B和C有两种可能；第三步排D和E，D有6，7，8名三种可能； 当D为第6名时，E有7，8，9名三种可能，当D为第7名时，E有8，9名两种可能， 当D为第8名时，E只有第9名一种可能，所以第三步的种数为3+2+1=6； 根据分步乘法计数原理，所有名次排位的种数为2×2×6=24. 7.如图所示—☆—☆—◇—◇—◇—，5颗串珠用一根细线串起，现将它们依次取出（只允许从两边取出），一次取一颗，两颗☆☆串珠被连续取出的概率是 （　　） A. B. C. D. 解析：选D　依题意，前4次取珠，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种情况，因此不同取法种数为24，第1，2次取“☆☆”，再取另3颗珠有4种方法；第2，3次取“☆☆”，则第1次取右起第一颗，共有2种方法；第3，4次取“☆☆”，则第1，2次取右起两颗，有1种取法；第4，5次取“☆☆”，则第1，2，3次取右起三颗，有2种取法，因此两颗☆☆串珠被连续取出的方法种数是4+2+1+2=9，所以所求概率为P==. 8.将标有序号1，2，3的三个小球放入标有序号1，2，3，4的四个盒子里，每个盒子最多一个小球，且要求小球和盒子的序号均不对应相同，则所有放法的种数为 （　　） A.7 B.9 C.11 D.13 解析：选C　若盒子序号为1，2，3，则球的序号依次为2，3，1或3，1，2，共有2种放法；若盒子序号为1，2，4或1，3，4或2，3，4，根据对称性可知不同的方法种数相同，例如盒子序号为1，2，4，则球的序号依次为2，3，1或2，1，3或3，1，2，共有3种放法；所以所有放法的种数为2+3×3=11. 9.某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是 （　　） A.18 B.24 C.36 D.72 解析：选C　由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；英语翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3=18（种）分配方案.②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；英语翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，有3种方法，共3×2×3=18（种）分配方案.由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36（种）. 10.[多选]用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则下列结论正确的是 （　　） A.组成的三位数的个数为60 B.在组成的三位数中，偶数的个数为30 C.在组成的三位数中，“凹数”的个数为20 D.在组成的三位数中，“凹数”的个数为30 解析：选BC　对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为4×4×3=48，故A错误； 对于B，将组成的三位数中的偶数分为两类，①个位为0，则有4×3=12（个），②个位为2或4，则有2×3×3=18（个），所以在组成的三位数中，偶数的个数为12+18=30，故B正确； 对于C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3=12（个），②十位为1，则有3×2=6（个），③十位为2，则有2×1=2（个），所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12+6+2=20，故C正确，D错误. 11.（5分）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，答对甲题得100分，答错得-100分；答对乙题得90分，答错得-90分.若4位同学的总得分为0，则这4位同学不同的得分情况种数是　　　　.  解析：分两类：第一类，都选甲题，则两人正确两人错误，所有可能的情况有6种；第二类，都选乙题，则两人正确两人错误，所有可能的情况有6种；第三类，若两人选甲题，两人选乙题，并且一对一错，则所有的情况有6×2×2=24（种）.综上，这4位同学不同的得分情况有6+6+24=36（种）. 答案：36 12.（5分）甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京、上海、广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有　　　　种.  解析：根据题意，甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京、上海、广州三个地方实习，每人只能去一个城市，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3=81种选择；若北京没人去，即四位实习生选择了去上海、广州，每人有2种选择，则4人一共有2×2×2×2=16种选择，即北京一定要有人去的实习安排方案有81-16=65（种）. 答案：65 13.（10分）如图，一个矩形花园被分成5部分.若在这5部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种不同颜色的花，求有多少种不同的种植方法. 解：先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植的花进行分类： ①若C与B相同，则D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2=48（种）； ②若C与B不同，则C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2=48（种）. 综上，共有96种不同的种植方法. 14.（10分）已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. （1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况?（5分） （2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况?（5分） 解：（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为4×2×3×2×1=48. （2）分以下两种情况讨论： ①测试2次找到所有次品，不同的测试情况种数为2×1=2种； ②测试3次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品， 则不同的测试情况种数为2×2×4=16种. 综上所述，不同的测试情况种数为2+16=18. 学科网（北京）股份有限公司 $