第三章 §3.4 函数中的构造问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考数学大一轮复习讲义（湘教版 甘）

§3.4　函数中的构造问题 重点解读　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 题型一　利用f(x)与x构造函数 例1　(2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0， 且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2) 答案　D 解析　设g(x)＝，x≠0. 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(－x)＝f(x)． 因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数， 所以g(－2)＝－g(2)． 因为f(－2)＝0， 所以g(－2)＝g(2)＝0. 当x>0时，g′(x)＝<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 此时不等式>0的解集是(0,2)． 因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递减， 所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2)． 综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 思维升华　(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)． (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 跟踪训练1　(2023·苏州模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log2·f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 答案　B 解析　因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)， 所以函数f(x)是偶函数， 令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数， g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 由题意知，当x∈(－∞，0]时， f(x)＋xf′(x)<0成立， 所以g(x)在(－∞，0]上单调递减， 又g(x)是奇函数， 所以g(x)是减函数， 因为20.6>1,0<ln 2<1，log2＝－3<0， 所以log2<0<ln 2<1<20.6， 又a＝g(20.6)，b＝g(ln 2)，c＝g， 所以c>b>a. 题型二　利用f(x)与ex构造函数 例2　(2023·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)<f′(x)恒成立，其中e是自然对数的底数，则(　　) A．f(2 022)<ef(2 023) B．ef(2 022)<f(2 023) C．ef(2 022)＝f(2 023) D．ef(2 022)>f(2 023) 答案　B 解析　设g(x)＝，则g′(x)＝， 因为f(x)<f′(x)，即f′(x)－f(x)>0， 所以g′(x)>0，g(x)为增函数， 则<，即ef(2 022)<f(2 023)． 思维升华　(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)． (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 跟踪训练2　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 答案　(3，＋∞) 解析　设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， ∴F(x)是增函数． 又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3. ∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3， 即F(x)>F(3)， ∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)． 题型三　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 例3　(2024·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则下列说法正确的是(　　) A．f <－f <－f  B．－f <f <－f  C．－f <－f <f  D．－f <f <－f  答案　D 解析　由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，令g(x)＝f(x)sin x，则g(x)为偶函数， 又当x>0时，g′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x>0， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则g＝g<g<g， 即－f <f <－f ， 即－f <f <－f . 思维升华　函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； F(x)＝， F′(x)＝； F(x)＝f(x)cos x， F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； F(x)＝， F′(x)＝. 跟踪训练3 已知函数f(x)的定义域为，且对∀x∈，有f′(x)cos x<f(x)sin x，则关于x的不等式2f(x)<的解集为________． 答案　 解析　令φ(x)＝f(x)·cos x，x∈， ∴φ′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x， 依题意知，φ′(x)<0， ∴φ(x)是减函数， ∵x∈， ∴cos x>0， 故2f(x)< 可化为f(x)·cos x<f ， 即φ(x)<φ， 故<x<， ∴原不等式的解集为. 课时精练 一、单项选择题 1．定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)<2，若f(m)－f(1－2m)≥6m－2，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B. C．[－1，＋∞) D. 答案　B 解析　令g(x)＝f(x)－2x， 则g′(x)＝f′(x)－2<0，则g(x)在R上是减函数， 又f(m)－f(1－2m)≥6m－2等价于f(m)－2m≥f(1－2m)－2(1－2m)， 即g(m)≥g(1－2m)，由单调性得m≤1－2m， 解得m≤. 2.(2023·汉中统考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)－f′(x)>0，且有f(2)＝2，则f(x)>2ex－2的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　B 解析　设F(x)＝， 则F′(x)＝＝<0， ∴F(x)为减函数． 又f(2)＝2，则F(2)＝＝. ∵f(x)>2ex－2等价于>， 即F(x)>F(2)， ∴x<2，即所求不等式的解集为(－∞，2)． 3．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则(　　) A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1) B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1) C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1) D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1) 答案　C 解析　由题意可知，函数f(x)在R上是减函数， f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0. 构造函数h(x)＝exf(x)，定义域为R， 则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0， 所以h(x)在R上是减函数， 所以h(2)<h(1)，所以e2f(2)<ef(1)， 即ef(2)<f(1)，故A，B错误； 构造函数g(x)＝，定义域为R， 则g′(x)＝＝>0， 所以g(x)在R上是增函数， 所以g(2)>g(1)，所以>， 即f(2)>ef(1)，故D错误，C正确． 4．已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)<0 B．9f(－3)<f(1) C．4f(2)>f(－1) D．f(1)<f(2) 答案　C 解析　令x＝0，则2f(0)＋0>0， 所以f(0)>0，故A错误； 令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)， 当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>0， 得g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为偶函数f(x)的定义域为R， 所以g(x)＝x2f(x)为偶函数，g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以g(－3)＝g(3)>g(1)， 所以9f(－3)>f(1)，故B错误； 所以g(2)>g(1)＝g(－1)，4f(2)>f(－1)，故C正确； 由题意，不妨假设f(x)＝c>0(c为常数)符合题意， 此时f(1)＝f(2)＝c，故D错误． 二、多项选择题 5．(2023·黔西模拟)定义在[0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋xf′(x)<0恒成立，则必有(　　) A．3f(3)<2f(2) B．3f(3)>2f(2) C．3f(3)>5f(5) D．3f(3)<5f(5) 答案　AC 解析　设函数g(x)＝xf(x)，x∈[0，＋∞)， 则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 因为f(x)＋xf′(x)<0恒成立， 所以g′(x)<0， 所以g(x)是减函数， 所以g(2)>g(3)>g(5)， 即2f(2)>3f(3)>5f(5)， 故A，C正确；B，D错误． 6．已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有f′(x)cos x＋f(x)sin x<0成立，则(　　) A．f >f  B.f >f  C．f >f  D.f >f  答案　CD 解析　根据题意，令g(x)＝，x∈， 则其导数g′(x)＝， 又由x∈，且恒有 f′(x)cos x＋f(x)sin x<0， 可得g′(x)<0，即函数g(x)为上的减函数． 由<，则有g>g， 即>， 所以f >f ，故C正确； 又由<，则有g>g， 即>， 所以f >f ，故D正确． 三、填空题 7．(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________． 答案　(2，＋∞) 解析　令g(x)＝f(x)－x2－3x， 则g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立， 所以g(x)是减函数． 又f(2x－3)<2x(2x－3)， 即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0， 又f(1)－12－3×1＝0，即g(2x－3)<g(1)， 所以2x－3>1，解得x>2， 所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为 (2，＋∞)． 8．已知函数f(x)定义在上，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f ＝，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________． 答案　 解析　∵f(x)＜f′(x)tan x， ∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈， 令g(x)＝，x∈， ∴g′(x)＝＞0， ∴g(x)在上为增函数， 由f(x)＞sin x，得＞1＝， 即g(x)>g，∴x＞， 又0<x<，∴<x<， ∴不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $