7.4.1 二项分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教A版）

7.4　二项分布与超几何分布　　　 　　 7.4.1　二项分布 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]　 [课时目标] 1.掌握n重伯努利试验的概念，掌握二项分布及其数字特征. 2.理解n重伯努利试验的模型，能用二项分布解决简单的实际问题. 1.n重伯努利试验 定义 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验 特征 （1）同一个伯努利试验重复做n次； （2）各次试验的结果相互独立 注意点 在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验 2.二项分布的概念 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0<p<1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X=k）=pk·（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B（n，p）. |微|点|助|解| 两点分布与二项分布的联系 （1）两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果. （2）两点分布是n=1时的二项分布. 3.二项分布的均值和方差 （1）若X服从两点分布，则E（X）=p，D（X）=p（1-p）. （2）若X~B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1-p）. 基础落实训练 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在n重伯努利试验中，各次试验结果之间没有影响. （　　） （2）在n重伯努利试验中，各次试验成功的概率可以不同. （　　） （3）在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样. （　　） （4）某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮命中的次数X是一个随机变量，且X~B（10，0.6）. （　　） （5）若X~B（5，0.4），则E（X）=2，D（X）=3. （　　） 答案：（1）√　（2）×　（3）√　（4）√　（5）× 2.若X~B（10，0.8），则P（X=8）等于 （　　） A.×0.88×0.22 B.×0.82×0.28 C.0.88×0.22 D.0.82×0.28 解析：选A　∵X~B（10，0.8）， ∴P（X=8）=×0.88×0.22，故选A. 3.已知随机变量X服从二项分布B，则E（X）= （　　） A.4 B. C.2 D.1 解析：选C　由随机变量X服从二项分布B，可得E（X）=np=4×=2. 题型（一）　n重伯努利试验 [例1]　某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为，设ξ为成活棕榈树的棵数. （1）求ξ的分布列； （2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率. 解：（1）易知ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4， 且P（ξ=0）==， P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==， P（ξ=4）==， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P （2）记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得， P（A）=P（ξ≤2）=++=， 所以需要补种棕榈树的概率为. 　　|思|维|建|模| n重伯努利试验概率求解的关注点 （1）解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式. （2）运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种（即要么发生，要么不发生），在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率. 　　[针对训练] 1.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求： （1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率； （2）其中恰有3次击中目标的概率； （3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 解：（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P=××××=. （2）因为各次射击的结果互不影响，所以符合n次独立重复试验的概率模型.该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为P=××=. （3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况.故所求概率为P=××=. 题型（二）　二项分布的均值与方差　　　　　 [例2]　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E（X）为3，标准差为. （1）求n和p的值，并写出X的分布列； （2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率. 解：由题意知，X~B（n，p），P（X=k）=pk（1-p）n-k，k=0，1，…，n. （1）由E（X）=np=3，D（X）=np（1-p）=， 得1-p=，从而n=6，p=.X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P （2）记A=“需要补种沙柳”，则P（A）=P（X≤3）， 得P（A）=+++=， 所以需要补种沙柳的概率为. 　　|思|维|建|模| 　　解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则E（X）=p，D（X）=p（1-p）；若X服从二项分布，即X~B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1-p）. 　　[针对训练] 2.已知随机变量X~B（6，p），且E（X）+D（X）=，则p= （　　） A. B. C. D. 解析：选C　因为随机变量X~B（6，p），所以E（X）=6p，D（X）=6p（1-p），因为E（X）+D（X）=，所以6p+6p（1-p）=，解得p=或p=（舍去）. 3.某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次. （1）求他们中成功咨询的人数X的分布列； （2）求E（X）与D（X）的值. 解：（1）依题意知X~B，且P（X=k）=××，k=0，1，2，3. P（X=0）=××=， P（X=1）=××=， P（X=2）=××=， P（X=3）=×=. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）由X~B及二项分布的性质得，E（X）=np=3×=，D（X）=np（1-p）=3××=. 题型（三）　二项分布的实际应用 [例3]　我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； （2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 解：（1）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3， P（X=0）==，P（X=1）=··=，P（X=2）=·×=，P（X=3）==. ∴X的分布列如下： X 0 1 2 3 P ∵X~B，∴E（X）=3×=. （2）击中一次被扑灭的概率为P1=×=，击中两次被火扑灭的概率为P2=×××=，击中三次被火扑灭的概率为P3==， ∴所求概率P=++=. 　　|思|维|建|模| 二项分布的实际应用问题的求解步骤 （1）根据题意设出随机变量. （2）判断随机变量是否服从二项分布. （3）求出参数n和p的值. （4）根据二项分布的均值、方差的计算公式求解. 　　[针对训练] 4.为提高学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，已知高一，高二年级每个学生通过测试的概率分别为，. （1）从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率； （2）若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为，则高一年级至少选派多少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级. 解：（1）设高二年级参加测试人数为n，通过测试人数为X，则X~B，由题意得，n=6， ∴P（X≤4）=1-P（X=5）-P（X=6） =1--=. （2）D（X）=n××=， ∵==，∴n=50，∴E（X）=， 设高一年级参加测试人数为m，通过测试人数为Y，则Y~B，易知E（Y）=， 由题意，E（Y）≥E（X），即≥，得m≥=55，∴高一年级至少派56人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级. 学科网（北京）股份有限公司 $